陳燕

[摘 要] 認知邏輯是學生在學習過程中自然表現出來的認知順序與規(guī)律，反映著不同階段的學習需要. 基于數學教材但超越數學教材，讓數學知識的生成更符合學生的認知需要，是有效教學的保證. 本文以初中數學中的“勾股定理”為例，闡述基于學生認知邏輯的數學教學.

[關鍵詞] 初中數學；認知邏輯；勾股定理

初中數學教學至少有兩條教學主線：一條是知識主線，即根據數學知識的展開順序實施教學，這是最常見的教學主線，通常情況下有什么樣的知識順序（更多的決定于教材），就有什么樣的教學順序. 有意思的是，伴隨著教材的改革，每一次都能說出改變的道理與必要性，這常常給教師帶來疑惑：如果這一次知識順序的調整有其必要性，那調整之前的知識順序就不合理了嗎？如果本次變化合理，那還會有下一次的變化嗎？當然，這個問題不是本文討論的重點，此處不贅言. 另一條是認知主線，即按照學生的認知邏輯去實施教學. 筆者以為，相對于知識主線，認知主線往往更貼近學生的學習需要，因此在教學中應該予以更多的重視. 當然，作為一線數學教師，大規(guī)模地調整知識主線是不太可能的，但就一個知識不完全拘泥于教材的設計，而是根據學生的認知發(fā)展邏輯去設計并實施教學，那是有可能的，且可能更切合自己所教學生的學習需要. 本文以“勾股定理”一課的教學為例，談談筆者對學生認識邏輯的把握及其教學.

基于學生認知邏輯的教學分析

勾股定理是初中數學的重要內容，在歷史上有“千古第一定理”的美稱. 如何在初中生的認知中建構良好的關于勾股定理的認知結構，既需要基于教材的設計，即對知識的發(fā)生進行邏輯思考，也需要基于學生認知邏輯的思考.

從勾股定理本身來看，其給出的是直角三角形兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方的規(guī)律，但在一般的教學中常常都是從“勾三股四弦五”來引入課題的，筆者以為這樣的引入很具趣味性，但作為課題的引入，其作用似乎又沒有完全發(fā)揮出來. 比如，給學生一個邊長分別為3，4，5的直角三角形，讓學生去探索其中的關系，這樣的舉例會讓學生有哪些想法呢？這些想法對于勾股定理的建構又有什么好處呢？這一簡單的問題在實際教學中似乎并沒有受到太多的重視，因此其教學價值也就沒有完全發(fā)揮出來. 又如那個經典的關于畢達哥拉斯去朋友家發(fā)現地磚上關于直角三角形的一種特殊的三角關系的數學史話，其對學生的興趣激發(fā)幾乎是直覺性的，但其對于學生進一步建構勾股定理甚至是數學學習的認識又起到了多大的作用？這似乎也沒有太多的探究成果可供借鑒. 又如，在勾股定理的建構過程中，學生是否可以經由一些具體的親身體驗或者思維體驗，來對勾股定理有一個循序漸進式的深入認識過程，以讓勾股定理的出現不再是借鑒他人或者歷史的研究成果，而是表現出一種真正的自我探究屬性呢？嘗試者似乎也不是很多.

而所有的這些問題實際上都是圍繞學生的認知邏輯進行的，也就是說，無論是間接的知識學習與建構，還是直接的體驗與探究，實際上都是學生認知驅動的結果. 只有建立了這一認識，勾股定理的有效建構才具備“教”這一實施可能.

那么，學生在勾股定理一課的學習中，認知邏輯應遵循什么樣的規(guī)律呢？筆者根據自身的教學經驗做出這樣的總結：第一，學生對勾股定理的表達易于接受，一是因為該定理表述的對象及關系十分清楚，二是因為學生對“勾三股四弦五”的記憶有著一種天然的良好記憶. 這似乎意味著3，4，5這三個數字可以成為一個有效的教學切入點. 第二，學生在認識勾股定理的過程中有一個從特殊到一般的過程，也就是說，學生往往對“勾三股四弦五”的認識更為直接和有效. 相對而言，具有一般意義的a2+b2=c2則略顯抽象. 這符合初中生的思維特點與認知規(guī)律，畢竟從特殊向一般才是教學規(guī)律，反之則不符合學生的認知規(guī)律. 第三，學生的認知必要的時候應當建立在實踐體驗的基礎之上，這樣更容易驅動學生的認知發(fā)展.

借助學生的認知邏輯驅動教學

基于以上分析，筆者在“勾股定理”的教學中嘗試采取三個步驟，以促進學生對勾股定理的有效構建.

1. 第一步：表象構建

勾股定理講的是直角三角形邊的關系，最終體現為數的關系或者表達式的關系. 作為從特殊到一般的教學順序，教師應當先讓學生基于數的認識來構建三角形. 于是筆者在引入的時候先提出這樣一個問題：有這樣的連續(xù)三個非負整數a，b，c，它們之間正好滿足a2+b2=c2，你能算出這三個數分別是多少嗎？這個看似與主題無關的問題，實際上很能激發(fā)學生的興趣. 待到學生發(fā)現這三個數就是3，4，5之后，筆者繼續(xù)提問：“在中國很早的時候就有人發(fā)現，如果一個三角形的邊長剛好是這三個數的話，那這個三角形就是——”提出這個問題時，筆者故意停頓不說出答案，而是讓學生去猜想. 這個時候，學生就會借助自己的想象力去構建可能的圖形.

在這個過程中，學生的想象開啟了認知起點，會將三個特殊的數值與三角形的形狀進行聯想，這就為直角三角形邊的關系奠定了思維基礎. 事實上，在此過程中，有不少學生會想到可能是直角三角形，也有學生在課外閱讀的時候看到過“勾三股四弦五”的故事，還聽說過“三強韓趙魏，九章勾股弦”的趣事，這些均可為構建直角三角形的三邊關系表象奠定基礎.

2. 第二步：切身體驗

隨后筆者設計了一個學生體驗，讓學生用一根事先準備好的用兩種顏色間隔開來且間距相等的細線，讓學生從上面取十二等份（兩頭可留一點打結），然后借助剛才的思維去連接成一個三角形，接著觀察三角形的形狀. 這是一個將剛才構建出來的表象具體化的過程，在這個過程中，學生會通過自己的實踐，進一步完善自己的認知，進而讓直角三角形及其邊的平方關系成為自己認知中更為熟悉的一個組成部分.

3. 第三步：認識定理

有了上面兩步的基礎，其后的勾股定理的構建關鍵就在于從特殊到一般，即看似偶然的32+42=52是不是具有一般意義上的a2+b2=c2的含義. 而這也恰恰是筆者起初讓學生猜想連續(xù)數的平方關系的時候，用a，b，c來表示的原因. 顯然，具體的數值表示的是特殊，而符號表示的是一般，這個時候需要的就是嚴格的數學證明，問題是學生能不能想到這一點呢？當筆者提出“是不是所有的直角三角形都具有這樣的關系”時，不同學生的反應顯示了其認知特點的不同：有的學生會再根據其他的直角三角形，量出其邊長關系，然后判斷其是否符合；而還有的學生則是想到用符號表示三角形的邊長，嘗試用數學證明的方法進行驗證. 這說明，不同學生的認知規(guī)律不同. 而筆者做的則是根據不同學生的特點，再一次進行幾次特殊情形的研究，然后引導他們認識到最有力的證明還是用符號表示邊長的一般方法，于是思路就轉向教材上的方法. 其后就是同行們相對熟悉的教學過程，此處不再贅述.

這樣的三個步驟遵循了學生認知發(fā)展的規(guī)律與邏輯，對勾股定理的構建過程由淺入深、由特殊到一般、從感性到理性，符合數學知識形成的規(guī)律，筆者以為是一個有效的教學過程. 而從學生的理解與應用來看，該教學過程也確實讓學生在勾股定理的應用中有相對于以往更為熟練的理解與應用.

認知邏輯決定著認知建構效果

回到文章開頭所提的觀點，數學知識的構建要么基于知識的發(fā)展邏輯，要么基于認知發(fā)展邏輯. 顯然，后者更具有因材施教的意義. 在教師的教學中，根據自身的教學經驗甚至是自己學生時代的學習經驗，去判斷學生在某個知識學習中可能的想法，是把握學生認知邏輯的關鍵.

實際上，在“勾股定理”的教學中，另一環(huán)節(jié)也可以證明基于學生的認知邏輯實施教學是有效的，那就是在得出勾股定理之后，有學生提出：如果一個三角形滿足a2+b2=c2，那這個三角形就一定是直角三角形嗎？這實際上是一個勾股定理的逆命題的判斷問題，這也說明該學生此時思考的已經不是勾股定理成立與否的問題（這意味著學生已經接納、理解了勾股定理），而是更高層次的問題了. 這一問題的提出，實際上反映的就是學生思維的遞進，即這是認知邏輯的一種體現. 而這個問題的解決，同樣可以以此時學生的認知為起點，進一步基于學生的認知邏輯去實施教學.

總之，初中數學教學中更有效的教學思路，應當是基于學生的認知邏輯去實施教學. 在此思想引導之下，在尊重教材知識編排的基礎上去重構教材，以讓教學順序更好地適應學生的認知需要，就是真正有效的數學教學.