姜云囡 古土城

[摘 要] “西蒙數(shù)學教學法”是建立在“人類自適應(yīng)學習”理論基礎(chǔ)上，將人工智能和現(xiàn)代認知心理學研究成果運用于數(shù)學教學的現(xiàn)代教學法. “5W2H”分析法是由美國政治學家拉斯維爾提出的“5W”模式發(fā)展而成的一種系統(tǒng)化分析方法. 應(yīng)用“西蒙教學法”與“5W2H”分析法組織教學，借助認知心理學原理和多維度的分析方法，將教師的“教”與學生的“學”有機統(tǒng)一，有助于改進公式教學.

[關(guān)鍵詞] 西蒙數(shù)學教學法；自適應(yīng)學習；例中學；做中學；“5W2H”分析法；公式教學

“西蒙數(shù)學教學法”是建立在“人類自適應(yīng)學習（Adaptive Learning）”理論基礎(chǔ)上，將人工智能和現(xiàn)代認知心理學研究成果運用于數(shù)學教學的現(xiàn)代教學法，其核心理念是將陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識呈現(xiàn)出來，通過“例中學、做中學”使學生深入學習數(shù)學. “5W2H”分析法是由美國政治學家拉斯維爾提出的“5W”模式發(fā)展而成的一種系統(tǒng)化分析方法，它涉及為什么研究（Why ）、研究主體是誰（Who ）、研究什么（What）、何時研究（When ）、何地研究（Where）、怎樣研究（How ）和研究的多少（How much）等七個問題.

問題分析

完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是八年級上冊第十四章“整式乘法與因式分解”第2節(jié)的內(nèi)容，是初中代數(shù)的一個重要組成部分，是學生已經(jīng)掌握單項式乘法、多項式乘法及平方差公式基礎(chǔ)上的拓展. 此公式聯(lián)結(jié)著整式乘法與因式分解，具有雙向推理的數(shù)學含義，是基本而重要的代數(shù)初步知識，是初中數(shù)學中關(guān)聯(lián)知識點較多、應(yīng)用率較高的一個公式，在各類型的數(shù)學考查中應(yīng)用較為頻繁和廣泛，在后續(xù)數(shù)學學習中具有重要意義——對以后學習因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及圖形面積計算等都有舉足輕重的作用.

完全平方公式的教學重點在于，體會完全平方公式的發(fā)現(xiàn)和推導過程，理解公式的結(jié)構(gòu)特征，并會運用公式進行相應(yīng)的計算. 學生的易錯點在于直接遷移分配律，即計算（a+b）2時得到a2+b2. 學生在該部分知識的理解和應(yīng)用上反映出的問題具有持久性和反復性，甚至有學生直至初中畢業(yè)都不能正確使用此公式.

解決思路

八年級學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數(shù)學能力有限，理解完全平方公式的幾何解釋、推導過程、結(jié)構(gòu)特點有一定的困難. 結(jié)合八年級學生的年齡和心理特征，可采用“問題解決”的形式貫穿課堂，盡可能多地讓學生動手操作、運算、討論，突出完全平方公式的探索過程，并用語言表述其結(jié)構(gòu)特征，進一步發(fā)展學生的合情推理能力、合作交流能力和數(shù)學化能力.

（一）教法

以“啟發(fā)探究式”為主線開展教學活動. 教學中通過創(chuàng)設(shè)問題情境，不斷提出富有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生的探究欲望. 在教學過程中注意照顧差異，進行分層教學：如分層提問、分層練習、分層激勵評價，使教學適合不同層次學生的最近發(fā)展區(qū)，使各個層次的學生都學有所獲，得到充分發(fā)展.

（二）學法

借助“西蒙數(shù)學教學法”設(shè)計導學案，讓學生的學習有章可循. “西蒙數(shù)學教學法”是由諾貝爾獎獲得者、國際著名科學家、認知心理學之父赫伯·西蒙與中科院心理學家朱新明教授合作提出，后由中科院心理所205課題組的主要成員謝明初教授整合、推廣. 這是建立在“人類自適應(yīng)學習”理論基礎(chǔ)上，將人工智能和現(xiàn)代認知心理學研究成果運用于數(shù)學教學的現(xiàn)代教學法，其核心理念是將陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識呈現(xiàn)出來，通過“例中學、做中學”幫助學生深入學習數(shù)學. 利用導學案引導學生積極思考探索，從“被動學習”變?yōu)椤爸鲃訉W習”，經(jīng)歷“觀察、類比、發(fā)現(xiàn)、歸納”的過程，多種感官參與教學活動，在合作中解決問題，在探索中發(fā)展思維能力，真正成為學習的主體.

解決思路如圖1：

實施與改進過程

根據(jù)以上分析及思路，對“完全平方公式”的教學改進如下.

（一）實施過程——改進方案1

1. 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)動機

在知識引入階段，拋出問題：數(shù)學王子有一種速算法，如果一個兩位數(shù)的個位數(shù)是5，那他就能1秒口算出這個兩位數(shù)的平方，比如352=1225，652=4225，你知道他有什么技巧嗎？

設(shè)問1？搖 如果一個兩位數(shù)的個位數(shù)是5，十位數(shù)是a，則這個兩位數(shù)表示為________，它的平方是________，怎樣求出這個平方的結(jié)果？

設(shè)問2？搖 （從簡單算起）試計算（x+y）2，它等于x2+y2嗎？（a+b）2等于a2+b2嗎？

設(shè)問3 將字母換成數(shù)字，計算兩數(shù)和的平方，如計算（1+2）2，它等于12+22嗎？

2. 引發(fā)質(zhì)疑，暗度陳倉

讓學生重新思考問題“（a+b）2=？”，引導學生分別從代數(shù)和幾何的角度去計算結(jié)果.

3. 探究歸納，建構(gòu)新知

代數(shù)法：（a+b）2=（a+b）（a+b）=______=______.

幾何法：如圖2，一個邊長為a的正方形，如果將它的邊增加b，得到的正方形面積可以怎么表示？

（引導學生分別用不同的形式表示大正方形的總面積，并進行比較）

（1）整體看：邊長為______的大正方形，S=______.

（2）部分看：四塊圖形面積的和，S=______. （將圖形面積進行分割再求和）

提問：由上面的問題可得到怎樣的結(jié)論？（運用不同的方法進行計算，結(jié)果一樣）

接著請學生嘗試用文字語言敘述公式，通過文字語言和數(shù)學符號語言的轉(zhuǎn)換，進一步理解公式的結(jié)構(gòu)特征.

4. 嘗試應(yīng)用，遷移知識

例題 計算（7+m）2，并思考：誰相當于公式中的a？誰相當于公式中的b？如何按照公式書寫結(jié)果？

（a+b）2=a2+2 a b+b2

（7+m）2=72+2×7×m+m2=______

（做完此題后）觀察公式和例題并思考：這個公式的結(jié)構(gòu)特征是怎樣的？a和b可以表示什么？

遷移練習？搖 計算：（1）（x+5）2；（2）（4m+3n）2.

提示 （搭建腳手架輔助思考）在式子（x+5）2中，______可以看作是公式中的a，______可以看作是公式中的b，利用完全平方公式，即有（x+5）2=（ ）2+ 2·（ ）·（ ）+（？搖？搖 ）2=______.

小結(jié)？搖 運用完全平方公式進行計算，得到的多項式由三項構(gòu)成，即兩個平方項，一個二倍項. 平方項的符號都為______.

類比推導？搖 推導差的完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab+b2.

小結(jié) 結(jié)果仍是兩個平方項和一個二倍項. 平方項的符號都為______，二倍項的符號由括號里的兩項決定. （兩項同號為正，異號則為負）

變式練習？搖 計算：（1）（x-5）2；（2）（4m-3n）2.

總結(jié)？搖 公式中的a，b可以是數(shù)、單個字母、積形式的單項式，甚至可以是多項式，教師需強調(diào)不要遺漏二倍項，及其符號的確定問題.

5. 練習鞏固，拓展能力

A.分層練習.

夯實基礎(chǔ)：（1）（3s+4）2；（2）（5m-3）2.

拓展延伸：（3）（4s+7t）2；（4）（-4s-7t）2；（5）（5m-2b）2；（6）（-5m+2b）2.

綜合提升：（7）（a+b-c）2.

B. 學生自行出題，同學之間互考.

C. 互助學習. 對接收新知識較慢的學生，借助幫扶形式，一對一或者一對幾進行幫助.

D. 數(shù)學王子的速算法揭秘：（10a+5）2=（10a）2+2·10a·5+52=100a2+100a+25=100a（a+1）+25. 通過完全平方公式解釋速算的技巧.

6. 歸納小結(jié)，內(nèi)化新知

A. 采用學生回顧、發(fā)言，教師引導、補充的形式進行歸納.

完全平方公式： ①文字表述；②幾何意義；③公式特征；④解題關(guān)鍵；⑤注意事項；⑥靈活運用.

數(shù)學語言表示：（a+b）2=a2+b2+2ab.

符號語言表示： （□+○）2=□2+○2+2□○，其中□和○可以是任意代數(shù)式.

B. 分層布置作業(yè)，各有所獲.

第一層：（1）（x+3y）2；（2）（4m-5）2；（3）（-1+2x）2；（4）（-7a-8）2.？搖

第二層：（5）（7p+2q）2；（6）（-3m-5n）2.

第三層：（7）（m+n+5）2；（8）1092.

（二）改進方案1的“5W2H”分析

1. What——學習的主題是什么？

完全平方公式的理解與應(yīng)用是基礎(chǔ)目標，學習的側(cè)重點在于避免遺漏二倍項. 初學時，學生難以理解二倍項的由來，展開教學時應(yīng)在二倍項的來龍去脈上多花筆墨，引導學生發(fā)現(xiàn)公式的產(chǎn)生過程并及時應(yīng)用.

2. Who—— 誰來完成？

在教師的指導下，學生依據(jù)設(shè)計的導學案，循序漸進地鋪開學習. 教師提出啟發(fā)性的問題，帶動學生質(zhì)疑假公式（a+b）2=a2+b2，然后演練、發(fā)現(xiàn)公式，歸納公式結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用公式. 學生作為主體，自始至終有師生合作，不否定教師的主導作用.

3. When—— 何時引入教學？

此處的時間應(yīng)指“完全平方公式”教學的合適時機. 導入處利用數(shù)學王子的速算法創(chuàng)設(shè)了一個有趣的問題情境，為學習新知識設(shè)下懸念，激發(fā)學生一探究竟.（When 1）

學習分配律m（a+b）=ma+mb和積的乘方公式（ab）n=anbn后，多數(shù)學生計算（a+b）2時會得到a2+b2. 學生依葫蘆畫瓢，猜想得此結(jié)果是正常的，這種知識的負遷移，是因為思維的干擾而出現(xiàn)了錯誤. 若猜想（a+b）2等于a2+b2，接著讓學生將字母換成數(shù)字，如計算（1+2）2，則用剛才發(fā)現(xiàn)的“公式”會得到12+22=5，但正確結(jié)果應(yīng)該為32=9，到此，學生出現(xiàn)困惑，便會思考、驗證（a+b）2=a2+b2是否正確. 這一環(huán)節(jié)，以學生已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)，提出本節(jié)課要解決的問題，引發(fā)學生深入探究的欲望. （When 2）

4. Where——何處入手？

先從代數(shù)角度入手，引導學生根據(jù)平方的意義將式子還原成（a+b）（a+b）的形式，再用多項式乘法去計算結(jié)果，從而得到（a+b）2=a2+2ab+b2.

為了加強知識發(fā)生、發(fā)展過程的教學，再結(jié)合幾何圖形驗證完全平方公式，此部分教學利用多媒體進行演示，增強了直觀性.

兩種推導方法，有代數(shù)與幾何的結(jié)合，又滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，使學生了解了和的完全平方公式的幾何意義，再一次經(jīng)歷兩數(shù)和的完全平方公式的探索過程，初步了解了公式的結(jié)構(gòu)特征. 實施后發(fā)現(xiàn)，幾何法的推導，對全體學生而言，要求過高，屬于二層目標，可將其當作課后了解的內(nèi)容，減輕中下層學生的負擔.

5. How——怎樣處理教學內(nèi)容？

根據(jù)西蒙數(shù)學教學法的理論，編排導學案，精心設(shè)置趣味性和教育意義的問題情境，吊起學生的胃口；再以連續(xù)設(shè)問促使學生思考，造成認知沖突，為后面公式的探究提供了內(nèi)驅(qū)力. 引導學生對公式進行推導來培養(yǎng)他們的合情推理能力. 在后面的知識遷移中，遵循“從易到難”“從簡單到復雜”的原則設(shè)計題組，讓學生通過“例中學”“做中學”，熟知完全平方公式的本質(zhì)，并能用之計算.

在公式的推導過程及計算（7+m）2的例題和遷移練習（x+5）2中，均有計算步驟的分解，提供可模仿的、有跡可循的學習材料，便于學生自我學習.

推導出兩數(shù)和、兩數(shù)差的完全平方公式后，以及課堂的最后環(huán)節(jié)均安排了小結(jié)，歸納公式的結(jié)構(gòu)特征.

運用公式計算，先要記憶它的結(jié)構(gòu). 在下階段的改進方案中，可輔以口訣幫助學生記憶公式，以便熟練運用.

6. Why——對于How，為什么這樣安排？

建構(gòu)主義學習觀認為：知識并不能簡單地由教師或其他人傳授給學生，而只能由每個學生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗，主動地加以建構(gòu). 學習要經(jīng)歷一定的過程，才能達到認識和理解. 教師不應(yīng)當只扮演“奉送真理”的教育者，應(yīng)當成為明智的指路人、輔導員，幫助學生主動學習、學會思考.

學習金字塔理論也說明：學習方法不同，學習效果大不一樣. 因此，教師要學會調(diào)整甚至改變教學方式和角色，充分尊重學生在學習活動中的主體地位，引導學生自覺地參與合作學習. 學生要努力轉(zhuǎn)變學習方法，要由被動聽轉(zhuǎn)到主動學，要多種器官綜合使用，要耳、眼、腦、口、手并用.

因此，教師要提供有思考價值的材料，讓學生有的放矢地學習. 課堂教學要對教材進行二次開發(fā)，對教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)進行整合，以適應(yīng)不同學生的需求. 借助導學案，教師可以通過巡視、輔導、面批，得到及時反饋，診斷和了解學生的學習情況，進而對學生進行針對性的指導. 基于西蒙數(shù)學教學法設(shè)計的導學案，更貼合學生實際. 它立足于認知心理學的角度，考慮學生認知發(fā)展水平和接受能力，根據(jù)認知規(guī)律設(shè)置問題，通過任務(wù)驅(qū)動進入學習過程，在尊重數(shù)學科學體系的前提下，精心設(shè)計認知起點，采用小步教學、搭建腳手架等方式來展開數(shù)學知識，使學生易于接受、樂于挑戰(zhàn).

在后面的互助學習中，通過特殊照顧，使接受知識較慢的部分同學跟上學習節(jié)奏. 利用小組合作、互助學習可提高學習有效性，也符合“我”校啟發(fā)潛能教育的理念，充分發(fā)揮優(yōu)秀學生的潛力，體現(xiàn)學生的價值.

練習和作業(yè)的分層，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需求. 第一層夯實基礎(chǔ)，照顧多數(shù)學生的能力水平；第二層、第三層則是拓展延伸，對學有余力的學生進行發(fā)散思維的訓練，促使他們對所學知識與技能進行拓展和遷移，滲透應(yīng)用意識.

7. How much——學到什么程度？需花費多少時間與精力？

分層次設(shè)定學習要求對大部分學生而言，需要了解完全平方公式的幾何背景，會運用公式進行簡單計算（一層目標）；中等以上學生要求會推導完全平方公式，理解公式的本質(zhì)，靈活計算（二層目標）；對優(yōu)秀生，則定位為要熟知公式的推導與應(yīng)用，充分掌握完全平方公式的本質(zhì)，并能運用公式計算某些數(shù)的平方、復雜多項式的平方，體會公式從一般到特殊的過程和從特殊到一般的應(yīng)用價值（三層目標）. 方案1對優(yōu)等生的分層練習或作業(yè)中，僅有正向應(yīng)用公式的訓練且習題量不夠，可增加逆向應(yīng)用公式的題目，給其逆向思維訓練的機會，確保不同層次的學生都獲得不同程度的發(fā)展.

根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線的規(guī)律，要避免對公式的遺忘，尤其是對二倍項的遺忘，需要在學習新知后的兩周內(nèi)反復練習，形成記憶，兩周后應(yīng)不定時地進行檢測、重溫，以鞏固教學成果.

（三）實施過程——改進方案2

1. 幾何法驗證公式放在課后完成，供學有余力的學生多角度理解公式的含義.

2. 小結(jié)公式特點時，加上口訣輔助記憶. 因為有的學生屬于聽覺型，而有的學生則數(shù)學思維較欠缺，但文字、語言思維有優(yōu)勢，所以編寫或借鑒他人的口訣幫助學生記憶，是多一種渠道讓其學習、鞏固. 完全平方公式可用口訣“首平方，尾平方，首尾二倍一邊放”.

3. 分層練習或作業(yè)，增加三層題目.

A. （正向應(yīng)用訓練）計算：（1）972；（2）9982.

B. （逆向應(yīng)用訓練）（1）若x2+mx+9是一個完全平方式，則m的值是______；

（2）已知a+b=10，ab=7，求a2+b2的值.

4. 加課后跟蹤

A. 通過對學習結(jié)果進行評價，將學生分成已過關(guān)和未過關(guān)兩組. 將未過關(guān)學生分成4～5組，將各種層次的學生均衡分配，每組指定一位知識點過關(guān)同學做組長，對組員的學習情況進行跟蹤和反饋，同時進行組內(nèi)輔導，通過“以兵帶兵”的形式以點帶面，保證大面積提高學習質(zhì)量. （具體方法如圖3）

B. 將公式學習分成三個階段：公式區(qū)分辨識階段、公式基礎(chǔ)訓練階段、公式變形變式訓練階段. 在第二輪學習中，教師遴選習題，難度適中，題量以五分鐘為宜，滿分10分，利用課前、早讀、午讀等時間進行小測，教師批改后向小組長反饋，組長為做錯題目的同學進行一對一輔導.

C. 每個小組以多次小測成績區(qū)分過關(guān)與否，未過關(guān)同學重新組成一組，再進行第三輪的學習與評價，直至全體通過為止. 其中公式區(qū)分辨識階段和公式基礎(chǔ)訓練階段力求全班通過，公式變形變式訓練階段視學生的學習情況確定通過率.

反思與收獲

數(shù)學學習強調(diào)的是讓學生通過觀察、實驗、分析、綜合、歸納、類比等一系列活動，去感知、發(fā)現(xiàn)、理解知識的產(chǎn)生過程. 很多知識點在正面?zhèn)魇跁r因為有教師的詳細分析、方法指點及不厭其煩的強調(diào)，課堂學習中學生跟著教師的思路走，不難接受知識內(nèi)容，但過后往往出現(xiàn)諸多低級錯誤，或?qū)Ω拍畹幕煜?，或?qū)椒▌t的應(yīng)用錯誤，這是因為學生對知識的產(chǎn)生過程不甚理解，未能將其融會貫通. 這時，設(shè)置的問題能引發(fā)學生思考就顯得異常重要了. 教師應(yīng)力求讓學生產(chǎn)生對知識的渴求，再引導他們應(yīng)用、對比，使其在質(zhì)疑、求異的過程中發(fā)現(xiàn)真知.

基于教法、學法的考慮，在“西蒙數(shù)學教學法”的理論指導下，“完全平方公式”借助導學案為載體展開教學，這是有教師指導的建構(gòu)主義，而非無方向的費時費力的盲從摸索. 從學生認知水平出發(fā)而設(shè)置的問題、梯度合理的習題，讓學生在“例中學”與“做中學”里拾級而上. 在改進后的教學中，通過探究發(fā)現(xiàn)與學案導學，在之后的信息反饋中，學生對完全平方公式的掌握程度達90%以上，這歸功于他們經(jīng)歷了對公式進行“否定之否定”的自主探索過程.

“教學有法，教無定法. ”最好的教學方法是讓學生理解和深度參與，改變學生“被教、被管、被考”的被動角色，樹立學生自立、自強的“主人”意識，令學生的學習不再是一種被動地吸收知識的過程，而是通過研究、探索、思考、概括、交流等方式，親身經(jīng)歷學習的全過程，從而獲得知識.

教會學生“疑問”“做中學”“學中做”，三者結(jié)合，才是“做學問”.