□王喜清

關(guān)于數(shù)學(xué)美及其常規(guī)教學(xué)問題的再思考

□王喜清

編者按

從數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律美的普遍性意義出發(fā)，在常規(guī)教學(xué)中，透過數(shù)學(xué)美的外在形式，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在美的規(guī)律，可以有效啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，或許是目前數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的一個(gè)突破口。對(duì)此，王喜清等老師在這方面做了一些探究和思考，本期特刊登他們的研究成果，供大家借鑒討論。

數(shù)學(xué)美是主觀和客觀的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)美不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)外在形式上，更廣泛蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律中。從數(shù)學(xué)美的普遍性意義出發(fā)，在常規(guī)教學(xué)中，透過外在形式，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在美的規(guī)律，以此啟迪學(xué)生思維，是目前數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的一個(gè)突破口。

數(shù)學(xué)美 內(nèi)在規(guī)律美 常規(guī)教學(xué)

王永春教授所著的《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》一書研讀活動(dòng)中，筆者以梯形面積教學(xué)為例談到了“常規(guī)教學(xué)中，從數(shù)學(xué)美的普遍性意義出發(fā)，用數(shù)學(xué)美啟迪學(xué)生思維”的話題。一些教師頗感興趣，隨之也出現(xiàn)不同觀點(diǎn)之間的碰撞，有些人質(zhì)疑數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律美的客觀性、普遍意義和數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)中數(shù)學(xué)美的廣泛性價(jià)值。作為回應(yīng)和研究，本人再談幾個(gè)相關(guān)的話題，供數(shù)學(xué)教育教學(xué)同行們研討。

一、數(shù)學(xué)美的主觀性和客觀性、個(gè)性和共性

在美學(xué)發(fā)展史上，對(duì)美的認(rèn)識(shí)，存在“主觀”“客觀”觀點(diǎn)之爭。美學(xué)發(fā)展至今，關(guān)于美的觀點(diǎn)，大多認(rèn)為是客觀性和主觀性的結(jié)合。我國美學(xué)家李澤厚、美學(xué)專家滕守堯、數(shù)學(xué)界以及數(shù)學(xué)教育界的徐利治、徐本順、殷啟正、吳振奎、張廷楚等，都辯證地從美的主觀和客觀結(jié)合的角度看待美。比如，李哲厚、蔣孔陽等根據(jù)馬克思的觀點(diǎn)，都認(rèn)為自然美的本質(zhì)是“自然的人化”。李澤厚在《美學(xué)論集》第173頁中指出：像飄渺的銀河、粗糲的礁石、噴發(fā)的火山、漂流的冰山……都是人化了的自然，是人的精神的無機(jī)界，可以成為自然美而引起人的美感。眾所周知，數(shù)學(xué)中充滿了辯證法，辯證思考數(shù)學(xué)美的主觀性和客觀性，更符合數(shù)學(xué)的本質(zhì)。徐本順和殷啟正認(rèn)為：科學(xué)美的形式是物質(zhì)的。人們所觀察的客觀的現(xiàn)象和規(guī)律是美的附體，人們?nèi)ビ^賞它時(shí)，如果它是宜人的，那么個(gè)人的主觀想象，在品味、體驗(yàn)中得到觀賞的滿足，產(chǎn)生愉悅，往往美感就產(chǎn)生了。看到滾滾的麥浪，聯(lián)想到這是勞動(dòng)人民創(chuàng)造的結(jié)晶，會(huì)產(chǎn)生美感，這正是美的主觀和客觀的融合結(jié)果。

你看到客觀的朝霞、彩虹、孔雀、黃山，你一定會(huì)說它們是美的；而你看到一堆臭狗屎，你肯定有厭惡感的。這些都反映了美的客觀性。如果沒有像“美的環(huán)境、美的行為、美的語言”等客觀的存在，如果審美對(duì)象在客觀上不存在美的因素，美就成了無源之水，美的行為也就沒有了準(zhǔn)則。如果沒有一個(gè)個(gè)體現(xiàn)對(duì)稱、整齊、簡潔、和諧、數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律等數(shù)學(xué)美的對(duì)象為附體，我們學(xué)生的數(shù)學(xué)美感從何而來？美是主觀和客觀的統(tǒng)一，人們往往是在對(duì)客觀現(xiàn)象的比較中發(fā)現(xiàn)美的。

王永春教授指出：對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)就是能夠認(rèn)識(shí)或感受數(shù)學(xué)內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法等方面的美，是對(duì)數(shù)學(xué)外在形式的美好感受和內(nèi)在本質(zhì)的理性欣賞。這段話體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美的主觀性和客觀性的統(tǒng)一，同時(shí)也點(diǎn)出了數(shù)學(xué)美的層次，是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中要牢記的理念。數(shù)學(xué)美是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。

當(dāng)然我們不能否認(rèn)美的主觀性。一件衣服，你看是美的，可她看卻不美。主觀性是發(fā)現(xiàn)客觀美的心理基礎(chǔ)。不承認(rèn)美的主觀性，也就無法發(fā)現(xiàn)客觀的美。由于美是主觀和客觀的結(jié)合，所以人們對(duì)美的認(rèn)識(shí)有時(shí)是相對(duì)穩(wěn)定的。唐代人以“胖”為美，一些浪漫群體以穿衣服“奇異開放”為美，少數(shù)民族穿衣服有各自的喜好，兒童大多喜歡看鮮艷的色彩……我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，要在學(xué)生群體中抓住美的主觀和客觀關(guān)系的穩(wěn)定性，以客觀的數(shù)學(xué)形式適時(shí)點(diǎn)燃一些學(xué)生群體心中的數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生解完題后產(chǎn)生美的滋味，我國數(shù)學(xué)美專家徐本順強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)。

美感是存在因人而異的，這是個(gè)性，這是美的主觀性的體現(xiàn)。沒有美的主觀性和對(duì)美的認(rèn)識(shí)的個(gè)性，大自然的美就不能被具體人所認(rèn)識(shí)。但對(duì)美的認(rèn)識(shí)也有共性：一幅美麗的畫，會(huì)引起眾多人的美感，一幅由幾何圖形構(gòu)成的圖案，往往會(huì)引起幾乎全班學(xué)生的美感，這體現(xiàn)了美的共性，也體現(xiàn)了美的客觀性。當(dāng)然，“知識(shí)無論如何講，某學(xué)生也不感到美”，這個(gè)現(xiàn)象存在，但不是普遍現(xiàn)象。不承認(rèn)美的共性，我們就無法在班級(jí)用數(shù)學(xué)美啟迪全體學(xué)生；不承認(rèn)思維的共性，我們就無法面對(duì)全體學(xué)生講課，我國的班級(jí)授課制就得取消，這是不現(xiàn)實(shí)的。

二、探究常規(guī)教學(xué)中的數(shù)學(xué)美值得思考

徐本順和殷啟正認(rèn)為：人們大多數(shù)認(rèn)為自然美、社會(huì)美和藝術(shù)美是美的三種基本內(nèi)容。然而在人類實(shí)踐活動(dòng)中還有一種美尚未引起人們的重視，這就是科學(xué)美。自然規(guī)律展示的簡單性、完整性和秩序關(guān)系、靈感突發(fā)時(shí)引起的沖動(dòng)，這些引起的愉快含審美愉快。這些科學(xué)美的形式反映了物質(zhì)運(yùn)動(dòng)所形成的規(guī)律性的東西。

英國美學(xué)家夏夫茲博里認(rèn)為，“趣味”是人的本性中天然存在的一種專門欣賞美的器官，可見數(shù)學(xué)興趣與數(shù)學(xué)美的緊密聯(lián)系。數(shù)學(xué)外在的形式以及不被人們注意的內(nèi)在規(guī)律引起的學(xué)習(xí)情趣、靈感、頓悟等都含大量的美感因素。徐本順、殷啟正指出，歐幾里德是以數(shù)學(xué)美作為發(fā)展的動(dòng)力的偉大先驅(qū)?？梢姅?shù)學(xué)美的普遍意義。

關(guān)于數(shù)學(xué)美，王永春教授強(qiáng)調(diào)了“數(shù)學(xué)外在形式的美好感受、內(nèi)在本質(zhì)的理性欣賞和數(shù)學(xué)思想”。這里的“內(nèi)在本質(zhì)”就包含了“數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律”。

事實(shí)上，客觀世界的一些內(nèi)在規(guī)律美比較隱藏，因而往往不會(huì)被人發(fā)現(xiàn)，正如梯形內(nèi)涵的美不能被一些人發(fā)現(xiàn)一樣。身體有結(jié)構(gòu)美，但以往大家并不知道。當(dāng)我們學(xué)習(xí)黃金分割后，看到人體結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)出的0.618，才發(fā)現(xiàn)人體結(jié)構(gòu)是這么美。梯形面積公式推導(dǎo)中，似乎不存在什么數(shù)學(xué)美。但與梯形相聯(lián)系的長方形體現(xiàn)了美的對(duì)稱性，與梯形面積推導(dǎo)相聯(lián)系的平行四邊形構(gòu)成的圖案體現(xiàn)了美的奇異性，梯形面積自身與平行四邊形面積關(guān)系體現(xiàn)了美的統(tǒng)一性。當(dāng)我們透過平行四邊形的外在形式美，而在思考中發(fā)現(xiàn)梯形和平行四邊形的內(nèi)在規(guī)律，品味運(yùn)用平行四邊形解決梯形面積的類比法等數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，梯形面積將與美的形式、美的規(guī)律及美的思考融合，美感將會(huì)產(chǎn)生。

高斯的自然數(shù)和的巧妙計(jì)算：（1+100）×100÷ 2，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，而該計(jì)算公式和梯形的面積公式有緊密聯(lián)系S=（a+b）×h÷2，此時(shí)，梯形的面積公式恰恰體現(xiàn)了美。在教學(xué)中，我們用“5+6+7+8+9+ 10=（5+10）×6÷2”這個(gè)類似高斯的方法啟迪學(xué)生探討梯形面積求法，這一類比思考顯然體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想美。以數(shù)學(xué)美啟迪學(xué)生思維，核心目標(biāo)是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解并掌握梯形面積公式，即以美啟真（以美啟真——羅增儒）。王永春教授指出：數(shù)學(xué)思想方法有一種內(nèi)在的、獨(dú)特的美，從數(shù)學(xué)知識(shí)提煉出思想方法，是一種升華的美。數(shù)學(xué)思想方法是普遍的，可見，數(shù)學(xué)美也是普遍的，數(shù)學(xué)美不僅僅蘊(yùn)含在一些特殊數(shù)學(xué)內(nèi)容中。形式美主要是對(duì)形式本身的欣賞結(jié)果，此時(shí)可能并沒感覺到它內(nèi)涵的美。一些美沒通過形式表現(xiàn)出來，而潛藏在人往往意識(shí)不到之處，美學(xué)家稱這種現(xiàn)象為“積淀”（《美學(xué)引論》第66頁）。一個(gè)梯形面積的推導(dǎo)，你若能揭示其中隱藏的美，就能引起學(xué)生的美感。不要認(rèn)為外在形式極其明顯的、震驚的美導(dǎo)致的美感才是美感。我們從常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)中去捕捉數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含的美，從以往忽視含“美”的數(shù)學(xué)載體中引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行數(shù)學(xué)美思考，去探討數(shù)學(xué)教學(xué)，這個(gè)無疑具有普遍意義和現(xiàn)實(shí)意義。

三、面對(duì)具體審美對(duì)象，美感的產(chǎn)生要經(jīng)過的時(shí)間

從宏觀看，審美心理當(dāng)然不是短期形成的，要經(jīng)歷長期的審美實(shí)踐。值得注意的是，兒童從出生后認(rèn)識(shí)世界開始，就不斷接觸客觀世界中的美。如美麗的風(fēng)景、媽媽和教師穿的美麗的衣服、美麗的圖片……這些在潛移默化中感染兒童，久而久之，以潛意識(shí)積淀了淺層的審美經(jīng)驗(yàn)。這些審美經(jīng)驗(yàn)成為誘發(fā)美感的前提。事實(shí)上，兒童面對(duì)具體場景和對(duì)象，有時(shí)美感確實(shí)需要經(jīng)歷一個(gè)較長的時(shí)間才產(chǎn)生，而有時(shí)卻在當(dāng)時(shí)就產(chǎn)生了。在某具體場景中對(duì)某一事物產(chǎn)生美感不一定非得都經(jīng)歷漫長的時(shí)間，因?yàn)檫@里有以往審美經(jīng)驗(yàn)的參與。面對(duì)審美對(duì)象，一旦激活以往積淀的審美經(jīng)驗(yàn)，不同信息神經(jīng)元突然聯(lián)系，美感就會(huì)立刻產(chǎn)生。學(xué)生看到花，會(huì)立刻感到美，脫口說出“花真美”。當(dāng)你的同事問你“她穿的衣服好不好看”時(shí)，難道你會(huì)說“等我回家研究一下，體驗(yàn)完后再回答你”？在安徽大學(xué)中文系文藝?yán)碚摻萄惺揖帉懙摹睹缹W(xué)引論》中認(rèn)為，美感是有層次的，美感具有直覺性，即對(duì)美不加思索而產(chǎn)生情感反應(yīng)。愛迪生認(rèn)為，美立刻在想象里滲透出一種內(nèi)在的欣喜和滿足，不需預(yù)先經(jīng)過考慮。我們不能簡單地說“面對(duì)所有的審美對(duì)象，美感都要經(jīng)歷漫長的時(shí)間才產(chǎn)生”。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生在美的感染下有時(shí)即刻產(chǎn)生美感現(xiàn)象，是可信的。

美感有感知階段、審美經(jīng)驗(yàn)階段和審美創(chuàng)造階段等不同的層次。教學(xué)中，學(xué)生產(chǎn)生美感的因素不光是教學(xué)現(xiàn)場教師的語言，還有以往學(xué)習(xí)和生活中積淀的審美經(jīng)驗(yàn)。在梯形面積教學(xué)片段的導(dǎo)入中，我們先展示的是用平行四邊形組成的圖案，這個(gè)幾乎所有的學(xué)生都會(huì)說它是美的。這個(gè)圖案既含形式美，還能和人鋪地板的生活意義結(jié)合，即將“形式”社會(huì)化和人為化了，會(huì)激活以往學(xué)生積淀的審美經(jīng)驗(yàn)。以往的審美經(jīng)驗(yàn)、審美的主觀和客觀因素與當(dāng)時(shí)的場景融合，我們的學(xué)生會(huì)不加思索而產(chǎn)生美感，這個(gè)是符合現(xiàn)實(shí)的。我們推導(dǎo)平行四邊形面積時(shí)，學(xué)生是在前面圖案美的感染下思考平行四邊形的，抽象的平行四邊形與生活結(jié)合了，人為化了。梯形剪拼成長方形，會(huì)產(chǎn)生對(duì)稱美，長方形自身蘊(yùn)含對(duì)稱美，這成為激發(fā)形式美美感的前提。加上教師的點(diǎn)撥，學(xué)生回憶以往就有了體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)，也會(huì)很快發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律美。

四、以學(xué)生審美經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)美為線索進(jìn)行教學(xué)，是一個(gè)有效教學(xué)方法

與我們教師相比，小學(xué)生的審美經(jīng)驗(yàn)在水平上存在差距，我們不能用成人的審美水平來推斷學(xué)生。因而在以數(shù)學(xué)美啟發(fā)學(xué)生思考時(shí)梯度不能過陡，對(duì)同一思維長度，階梯要相對(duì)加密。當(dāng)然，我們將啟迪思維階梯加密，不同于嚼碎了喂給學(xué)生。嚼碎了再吐給學(xué)生，是注入式，而我們是啟發(fā)式，是一步一步用數(shù)學(xué)美啟迪——以美啟真。事實(shí)上對(duì)于平行四邊形和梯形隱藏的數(shù)學(xué)美，就連一些成人都難發(fā)現(xiàn)，對(duì)學(xué)生若不將啟迪的階梯加密，他們是難以領(lǐng)悟的。

處處以數(shù)學(xué)美為線索展示知識(shí)，是否會(huì)把一個(gè)主觀的、情緒體驗(yàn)的內(nèi)容作為教學(xué)目標(biāo)？是否會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣？對(duì)第一個(gè)問題，我們要清楚，任何認(rèn)知都離不開情感的參與，這是新課程改革提出的一個(gè)基本思想。新課程理念反對(duì)將情感和認(rèn)知割裂開而弱化情感效應(yīng)。美感屬于情感，以數(shù)學(xué)美啟迪，無疑會(huì)創(chuàng)設(shè)出情感和認(rèn)知融合的情境，使美感成為認(rèn)知的動(dòng)力。我們以數(shù)學(xué)美激發(fā)學(xué)生思考，最后得到梯形的面積公式，此時(shí)的數(shù)學(xué)美事實(shí)是為認(rèn)知服務(wù)的，并不是認(rèn)知為數(shù)學(xué)美服務(wù)的。對(duì)第二個(gè)問題，根據(jù)感覺的適應(yīng)性和美感的間歇性，總用一種教學(xué)方式教學(xué)，會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但數(shù)學(xué)美的形式和內(nèi)涵是豐富的，同是以數(shù)學(xué)美啟迪，只要你不斷更換數(shù)學(xué)美的形式和內(nèi)容，學(xué)生是不會(huì)厭倦的。

以上根據(jù)當(dāng)前學(xué)習(xí)研討中對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)的爭鳴談幾點(diǎn)看法。挖掘數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)中的數(shù)學(xué)美，有可能是一片沒被開辟的處女地，但為了數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)美的普遍意義及發(fā)展，我們要在困難中去開辟它。從數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律美的普遍性意義出發(fā)，在常規(guī)教學(xué)中，透過數(shù)學(xué)美的外在形式，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在美的規(guī)律，以此啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思維，是目前數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的一個(gè)突破口。

[1]滕守堯.審美心理描述[M].北京：中國社會(huì)科學(xué)出版社，1985.

[2]徐本順，殷啟正.數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[3]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師大出版社，2014.

（黑龍江省七臺(tái)河市教育研究院 215004）