□楊凱明

喚醒已有經驗 凸顯意義建構
——對“植樹問題”的再思考

□楊凱明

數學教學要扎根于學生的學習基礎和生活經驗。除了要考慮所教內容的顯性知識，更要充分挖掘教學內容蘊含的數學思想方法，并重視數學知識之間的聯系，加強數學思想方法的滲透，注重用數學思想方法來指導和帶動具體知識內容的教學，從而讓學生在意義理解中建構知識。

數學思想 除法 線段圖

【教前思考】

“植樹問題”是人教版教材五年級上冊“數學廣角”的教學內容，本節(jié)課應向學生滲透建模、數形結合、一一對應等數學思想方法。教師在教學中，往往要通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生從中發(fā)現規(guī)律，掌握植樹問題的數學模型，然后再用發(fā)現的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實際問題。

很多一線教師對這節(jié)課進行了有效的實踐，基本流程如下。

第一環(huán)節(jié)：出示“同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹苗？”畫線段圖來表示題意，發(fā)現100米太長，很難表示出來。怎么辦呢？把“100米”改成“20米”，這樣為研究問題提供了方便，也體現“化繁為簡”的思想。

第二環(huán)節(jié)：突出線段圖的教學，運用教具幫助學生直觀理解植樹問題的數學模型。展示學生不同的圖示，在理解了“間隔”的意義后，讓學生說說需要栽幾棵樹。請學生在黑板上用學具樹擺一擺，理解“與棵數一一對應的間隔數”，討論得出棵數與間隔數之間的關系。再讓學生在“100米”上加以驗證，從而建立起一條線段兩端都種這類植樹問題的基本數學模型：距離÷間距=棵數，棵數=間隔數+1。對于一端種、一端不種和兩端都不種兩種情況，繼續(xù)通過畫線段圖的方法幫助學生分析、理解，運用教具，抓住棵數和間隔數之間一一對應的關系，找出一般規(guī)律來解決問題。即一端種，一端不種：棵數=間隔數；兩端都不種：棵數=間隔數-1。

第三環(huán)節(jié)：以“植樹問題”為背景幫助學生認識電線桿問題、路燈問題、鋸木問題等都與“植樹問題”有著相同的數學結構，讓學生建構相應的數學模型。

思考：上面的教學過程按照“生活原型—找到規(guī)律—應用”的思路展開，重視規(guī)律的生成和運用。在解決“植樹問題”時，教師往往要求學生熟背公式，然后變化問題情境訓練解題技能。學生的理解和記憶的任務很重，在教學過程中，學生首先要理解以下四個概念：距離（20米）、間距（5米）、間隔數（4個）、棵數（5棵），要掌握“距離、間距與間隔數”和“間隔數與棵數”之間的關系，能運用三種情況，即兩端都種、一端種，一端不種和兩端都不種。在解決問題時，學生最困難的還是識別“植樹問題”的類型，要把幾種情況與數量關系一一對應起來。

基于以上的認識，我們能不能從數學的源頭來思考“植樹問題”的教學呢？“植樹問題”是與除法有關的，而除法又是從平均分而來。那么，我們是否可以從除法的意義入手，從點和段之間的關系來研究植樹問題。在著名特級教師俞正強老師的引領下，筆者在“俞正強名師網絡工作室”研修活動中，就此進行了實踐。

【課堂實錄】

一、準備練習

20米長的線段，每5米分一段，可以分成幾段？

師：你會算嗎？

生：20÷5=4（段）。

師：為什么用除法？

生：總量是20，每份是5，要求20里面有幾個5，用除法解決。

生：平均每5米一段。

師：平均分的事情，所以用除法。（板書：平均分）

師：你能把這道題用線段圖表示出來嗎？

學生匯報，師示范并提問：分成了幾段？

（評析：把“植樹問題”作為用除法解決問題的一種特殊情況，從除法的意義入手展開教學，找到學生知識的最近發(fā)展區(qū)，由易到難，激活學生學習的經驗和基礎。讓“植樹問題”這一復雜的問題回到知識的“發(fā)生地”，即除法的意義的理解，特別是包含除意義的理解。）

二、例題教學

出示例題：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹苗？

1.學生獨立思考。（出現4棵或者5棵的答案）

生：20÷5=4（棵）。

生:20÷5=4，4+1=5（棵）。

師：你覺得怎么分析能讓同學們聽得更明白？（引導學生畫線段圖）

2.用線段圖分析題意。

生：每隔5米栽一棵，平均分成4段。20除以5等于4,4表示4段，不是4棵。應該是4加上1等于5棵。

師：為什么要加上1？

請學生上講臺來指：從線段圖上看出，平均分成4段，有5棵樹可以種。

師：從線段圖上看，樹是種在哪里的？

生：點上，5個點就是5棵樹。（用學具樹擺一擺）

師：樹是種在點上的。20米路，平均分成4段，有5個點，可以種5棵樹。

師用學具樹示范：把樹種在點上，體會點數與段數一一對應的思想。

3.研究段數和點數的關系。

師：4段有5個點。1段有幾個點？2段有幾個點？3段有幾個點……

師：點數和段數有怎樣的關系？［點數（棵數）=段數+1］

4.應用：把“全長20米的小路”改成“30米”“35米”“40米”“100米”……一共要栽多少棵？

（評析：將“兩端都種”作為“植樹問題”的基本模型，歸納出點數與段數的關系，滲透數形結合、一一對應的數學思想?！澳阌X得怎樣分析能讓同學們聽得更明白”，突出線段圖的教學，通過幾何直觀幫助學生來理解“植樹問題”。讓學生自己畫一畫、說一說、擺一擺，感受“樹是種在線段圖的點上”，棵數即點數。）

三、比較異同

比較這兩題有什么相同點和不同點。

1.20米長的線段，每5米分一段，可以分成幾段？

2.在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹苗？

生：都要用到除法，20÷5=4（段）。

生：兩道題目畫的線段圖是一樣的。

生:都是平均分的。

師：不同點呢？

生：第1題求幾段，第2題求幾棵？

師：段數和棵數有什么不同？

［評析：通過比較兩道題的相同點（都是20米，每5米一段，可以分成4段），進一步溝通植樹問題與除法的意義之間的聯系。在強調平均分的同時，讓學生明白樹要種在點上。教師追問“段數和棵數有什么不同”，抓住點和段的區(qū)別（一一對應的關系），來鞏固段數和點數（棵數）的關系。］

四、應用模型

教師引導學生看線段圖思考：除了樹可以種在點上，生活中還有什么事情把什么放在點上的？

生：電工在路邊裝路燈時，路燈就相當于放在“點”上。

教師屏幕出示：在一條全長20米的街道一旁裝路燈，每隔5米裝一盞。一共要裝多少盞路燈？

生：工人叔叔架設電線桿，電線桿就相當于放在“點”上。

教師適時出示：工人們正在架設電線桿，相鄰兩根間的距離是200米。在總長4000米的筆直路上，一共要架設多少根電線桿？

師：我還準備了一道同學們沒講到的植樹問題。

出示：5路公共汽車行駛路線全長18千米，相鄰兩站之間的路程都是1千米。一共設多少個車站？

提問：在這里誰相當于樹，放在“點”上的？

出示情境①：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，結果路的一端有一幢房子，一共要栽多少棵樹苗？

比較：跟兩端都栽有什么不同？

生：少了一棵，只要種4棵。5減去1等于4棵。

板書：一端栽，一端不栽

點數（棵數）=兩端都栽的棵數-1

出示情境②：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，結果路的兩端都有房子，一共要栽多少棵樹苗？

引導學生與兩端都栽的棵數進行比較，得出：5減去2等于3棵。

板書：兩端都不栽

點數（棵數）=兩端都栽的棵數-2

［評析：通過舉例“生活中還有什么事情把什么放在點上的“，不遺余力和學生一起尋找類似植樹問題的實例，借助類比聯想讓學生自主建構模型，清晰對植樹問題的認識。在“兩端都種”模型的基礎上，引出兩個具體情境（一端栽，一端不栽和兩端都不栽），分別用“5-1”和“5-2”的方法得出結果］。

五、鞏固練習

練習一：學校里有一條長60米的走廊，計劃在走廊一旁擺花，每隔3米擺一盆。

（1）如果兩端都各擺一盆花，那么共需多少盆花？

（2）如果只有一端擺，那么共需多少盆花？

（3）如果兩端都不擺，那么共需多少盆花？

練習二：一根木頭長15米，每5米鋸一段，需要鋸幾次？

【思考】

“植樹問題”本質上是除法的問題，它只是除法的意義在生活中的延伸。學生借助現實中的生活情境，建立“植樹問題”的表象，通過畫圖，直觀地理解段數和點數的關系，從而將“植樹問題”納入到已有的認知結構中。俞正強老師認為：平均分有兩種，一種是完全平均分（如10÷2），帶來段的應用和點的應用，像行程問題、工程問題（關于份數和每份數的）都是段的應用。而植樹問題、裝路燈、鋸木頭等都是平均分中點的問題。另一種是不完全平均分（如9÷2），即有余數的除法，用來解決如租船等有余數的除法。

這種按“理解平均分的意義——意義應用”展開的教學，彰顯了學生學的價值，再不用像傳統教法那樣承載那么重的記憶負擔。其一，“植樹問題”在小學數學知識體系里不是孤立存在的，把“20米長的線段，每5米分一段，可以分成幾段？”和“在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹苗？”聯系在一起進行教學，正是為了喚起學生已有的知識經驗，以完善對平均分的認識。我們可以這樣理解，例題是對準備題的生活應用。其二，抓住“兩端都種”（研究點比段多1），以它為模型，順勢帶出另外兩種“植樹問題”的解決方法，一端種，一端不種就是在兩端都種的基礎上減1，兩端都不種就是在兩端都種的基礎上減2。

我們把“植樹問題”扎根于學生的學習基礎和生活經驗，通過猜想、驗證、舉例、判斷等活動，逐步建構模型。換一個角度看待問題，讓學生理解重點，自己解決問題、建構知識。

[1]俞正強.小學數學課堂學習[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

（浙江省義烏市江濱小學 322000）