楊永華　孫文中

摘 要

基于圖表數(shù)據(jù)求一次函數(shù)解析式但又沒有明確告訴函數(shù)類型的習(xí)題，先用一次函數(shù)的兩個特征判斷函數(shù)類型再求解。用表格數(shù)據(jù)或平行線等分線段定理及平行線分線段成比例定理兩種方式深化一次函數(shù)的兩個特征。

[關(guān)鍵詞]

平行線；驗證；特征

人教版初中數(shù)學(xué)教材中有5個定義都用“形如……”的形式定義概念。一次函數(shù)是其中之一，這樣的定義形式貌似空洞，實則有內(nèi)涵，定義方式很恰當(dāng)也很合理，使得教學(xué)內(nèi)容有深淺、有寬窄，留有空間，富有彈性，給學(xué)有余力以及學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)提供了素材，給教師創(chuàng)新教材提供了空間；教師依據(jù)課標(biāo)創(chuàng)造性地使用新教材，就能達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新能力的育人宗旨，也能發(fā)現(xiàn)別樣洞天。

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第90頁講一次函數(shù)的概念時，課本設(shè)計了1個“問題2”和4個“思考”，寫出關(guān)系式后給出了定義：一般地，形如y=kx+b（k，b常數(shù)，k≠0）函數(shù)叫做一次函數(shù)；在課本第90頁第5行的思考中提出了問題：“思考下列問題中，變量之間的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？如果是，請寫出函數(shù)關(guān)系式，這些函數(shù)解析式有什么共同特征？”，在此課本標(biāo)有兩個注解（1）：“這里需要先引導(dǎo)學(xué)生寫出函數(shù)解析式，再根據(jù)式子發(fā)現(xiàn)它們在形式上的共同特點”。“（2）一次函數(shù)的定義是根據(jù)它的解析式的形式特征給出的”。

關(guān)于一次函數(shù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）《教師學(xué)習(xí)指導(dǎo)》第109頁中有明確的論述：“要通過對較為豐富實例的歸納和抽象，正確刻畫一次函數(shù)的概念，把握好一次函數(shù)的實質(zhì)。設(shè)置實際情景引入概念、研究解決實際問題，這既是學(xué)習(xí)一次函數(shù)的出發(fā)點，又是學(xué)習(xí)一次函數(shù)的落腳點，既是重點，又是難點.教師要投入足夠的時間和精力，務(wù)求教學(xué)有所突破，確保教學(xué)有實效”。在第110頁中：“需要指出的是，對于一次函數(shù)，教師應(yīng)當(dāng)突出自變量與應(yīng)變量之間的一種按比例變化的特征，這是一次函數(shù)特有的，其他函數(shù)沒有的”。

課本要求正確理解“它們在形式上的共同特點”，課標(biāo)要求“正確刻畫一次函數(shù)的概念，把握好一次函數(shù)的實質(zhì)”；“教師應(yīng)當(dāng)突出自變量與應(yīng)變量之間的一種按比例變化的特征”。如何理解“它們在形式上的共同特點”？如何理解“把握好一次函數(shù)的實質(zhì)”？如何突出“自變量與應(yīng)變量之間的一種按比例變化的特征”？課本和課標(biāo)在此都隱性地提出了要求，教學(xué)內(nèi)容寬松深淺的彈性如何利用，對于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維至關(guān)重要.教師在一次函數(shù)教學(xué)時要利用好這個創(chuàng)新發(fā)展的空間，在復(fù)習(xí)時加強知識的橫向聯(lián)系有深化，才能達(dá)到課本和課標(biāo)的要求。下面就一次函數(shù)的教學(xué)談一點想法.旨在交流研討共同創(chuàng)新。

一、一次函數(shù)教學(xué)時兩個建議

建議1：利用列表找出兩個特征，課前準(zhǔn)備預(yù)習(xí)作業(yè)，具體做法分四個步驟：（下面是預(yù)習(xí)作業(yè)的電子文稿的主要過程，為了敘述方便已填寫完整略去了設(shè)問）。

課前預(yù)習(xí)作業(yè)：

（一）先讓學(xué)生把1個“問題2”和4個“思考”列表填寫完整，（目的：學(xué)生填寫表格的目的是讓學(xué)生參與到課堂教學(xué)活動中來，填寫過程中還涉及到的自變量X的估算和取值范圍，讓學(xué)生親身體驗理解自變量取值范圍是有實際意義的，不是人為限制的.如思考（1）中已經(jīng)限定自變量只能在20～25之間取數(shù)，溫度在20℃以下和25℃以上蟋蟀鳴叫規(guī)律不明顯；思考（2）要估算成年人的身高，成年人應(yīng)該是18歲以上；思考（3）和（4）自變量不能取負(fù)數(shù)，都是有實際意義的，有些常識性的知識學(xué)生是要懂的）。

問題2：登山隊大本營所在地的氣溫為5℃，海拔每升高1km氣溫下降6℃，登山隊由大本營向上登高Xkm，他們所在位置的氣溫為Y℃，試用函數(shù)的解析式表示y與x的關(guān)系。

思考：下列問題中，變量之間的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？如果是，請寫出函數(shù)關(guān)系式，這些函數(shù)解析式有什么共同特征？（注解提示要求寫出形式上是共同特征）

（1）有人發(fā)現(xiàn)，在20℃～25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫的次數(shù)c與溫度t（單位℃）有關(guān)，即c的值約是t（20≤t≤25）的7倍與35的差。

（二）觀察這5個式子：①y=-6x+5，②C=7t-35，③G=h-105，④y=0.1x+22，⑤y=-5x+50，形式都像y=kx+b.

定義：一般地，形如y=kx+b（k，b常數(shù)，k≠0）函數(shù)叫做一次函數(shù)；

（三）利用問題2表格中數(shù)據(jù)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)之間的規(guī)律：

[x＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&…＼&y=-6x+5＼&5＼&-1＼&-7＼&-13＼&-19＼&…＼&]

1.自變量x依次增加1、應(yīng)變量y依次減少6。

特征1：x變化量Δx相同時，y變化量Δy也相等。

2.選定上表中第1、4、5列（任意選定三列）：

Δx1 = 3-0 = 3 ； Δx2 = 4-3 = 1 ；

Δy1 = -13-5=-18； Δy2 =-19-（-13）=-6；

即得： [Δx1Δx2=31=3]；[Δy1Δy2=-18-6=3]；

故：[Δx1Δx2=Δy1Δy2].

特征2： x 、 y的變化量Δx 與Δy是對應(yīng)成比例的。

（四）用思考中的4個實例驗證上述兩個規(guī)律（略）。

建議2：復(fù)習(xí)一次函數(shù)時利用平行線的性質(zhì)深化兩個特征。

用表格中數(shù)據(jù)觀察得到的兩個特征還是很抽象，有些學(xué)生理解是有困難的.為了使學(xué)生更充分地理解和內(nèi)化兩個特征，建議復(fù)習(xí)一次函數(shù)時利用平行線的性質(zhì)深化兩個特征。

事實上，這兩個特征可以用平行線的性質(zhì)得到驗證。

做法是：

（1）如圖1分別過x軸上1、2、3三個刻度點做x軸的垂線，垂足分別是E、F、G，與直線AD相交B、C、D三點，可得到BE∥CF∥DG；因為EF=FG，由平行線等分線段定理得到：BC=CD；過直線上B、C、D三點向y軸做垂線，垂足分別是H、N、M，可得到HB∥CN∥DM，因為BC=CD，由平行線等分線段定理得到：HN=MN；即：

[BE∥CF∥DGEF=FG]→[BC=CDHB∥CN∥DM]→HN=MN

因此得到規(guī)律1：x變化量Δx相同時，y變化量Δy也相等.

（2）如圖2，過直線l上任意三點B、C、D分別做x軸和y軸的垂線，

由BE∥CF∥DG；根據(jù)平行線分線段成比例定理得到：[EFFG=BCCD]；

由BH∥CN∥DM；根據(jù)平行線分線段成比例定理得到：[BCCD=HNMN]；

即可得到：[EFFG=HNMN]；也即得到：[EFFG=HNMN]。

即：[EFFG=BCCD]→[EFFG=HNMN]

規(guī)律2：x、y的變化量Δx與Δy是對應(yīng)成比例的。

二、一次函數(shù)兩個特征的應(yīng)用

范例1.

如圖1，在一直角邊長為4米的等腰直角三角形地塊的每一個正方形網(wǎng)格的格點（縱橫直線的交點及三角形頂點）上都種植同種農(nóng)作物，根據(jù)以往種植實驗發(fā)現(xiàn)，每株農(nóng)作物的產(chǎn)量y（單位：千克）受到與它周圍直線距離不超過1米的同種農(nóng)作物的株數(shù)x（單位：株）的影響情況，統(tǒng)計如下表：

[x（株）＼&1＼&2＼&3＼&4＼&y（千克）＼&21＼&18＼&15＼&12＼&]

通過觀察上表，猜測y與x之間之間存在哪種函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)關(guān)系式。

解：由表格中數(shù)據(jù)可知：

x變化量Δx相同時，y變化量Δy也相等.

故設(shè)y = kx + b

把x=1， y=21和x=2，y=18代入y= kx+b得

解得，[k=- 3，b=24] ∴y=-3x+24

∴[y=- 3x+24]是符合條件的函數(shù)關(guān)系.

范例2.

某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按擬定的價格進行試銷，通過對5天的試銷情況進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

[單價（元/件）＼&30＼&34＼&40＼&42＼&43＼&…＼&銷量（件）＼&40＼&32＼&20＼&16＼&14＼&…＼&]

通過對上面表格中的數(shù)據(jù)進行分析，發(fā)現(xiàn)銷量[y]（件）與單價[x]（元/件）之間存在函數(shù)關(guān)系，求[y]關(guān)于[x]的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍）；

解：在表格中取1、2、4列數(shù)據(jù)驗證：（任意取三列數(shù)據(jù)）.

Δx1=30-34=-4，Δx2=34-42=-8，

Δy1=40-32=-8，Δy2=32-16=-16

[Δx1Δx2=-4-8=12]；[Δy1Δy2=-8-16=12]；

故[Δx1Δx2=Δy1Δy2]；

從表格數(shù)據(jù)關(guān)系看出x、y的變化量Δx與Δy是對應(yīng)成比例，[y]與[x]之間存在一次函數(shù)關(guān)系，故設(shè)所求一次函數(shù)關(guān)系式為[y=kx+b]（[k]≠0）.

將（30，40）、（40，20）代入[y=kx+b]，得

[30k+b=4040k+b=20] 解得[k=-2b=100]

∴[y=- 2x+100]

這兩道題是利用圖表數(shù)據(jù)信息求一次函數(shù)解析式的，題目中都隱去了一次函數(shù)的提示，用這樣的方法解題，邏輯性很強，很有說服力。采用這樣的做法，既把一次函數(shù)向縱深發(fā)展了，加深了一次函數(shù)的理解，又橫向地把一次函數(shù)的線性特征用平行線的性質(zhì)得到了升華，內(nèi)化了知識，創(chuàng)新了課堂，提升了思維，培養(yǎng)了能力！

在新課程理念的指導(dǎo)下，教材的地位已經(jīng)發(fā)生了變化，教材從教學(xué)的唯一依據(jù)變?yōu)榻虒W(xué)的依據(jù)之一，從權(quán)威轉(zhuǎn)變?yōu)閰⒖嫉闹R載體。這就需要教師轉(zhuǎn)變觀念，精研細(xì)讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教材，明確其語句表達(dá)的含義，用動態(tài)的眼光“破譯”教科書，按照學(xué)生認(rèn)知特點和學(xué)習(xí)習(xí)慣以及學(xué)生各方面實際，創(chuàng)造性地使用和開發(fā)教材，教材才能發(fā)揮出課程資源的作用，教學(xué)才能實現(xiàn)對教材的超越。

創(chuàng)新教材的經(jīng)驗是依據(jù)以下三個原則：①領(lǐng)會課標(biāo)是前提，理解教材是基礎(chǔ)。教材是主要的教學(xué)資源，要創(chuàng)造性地使用教材，必須準(zhǔn)確理解教材，可以超越教材，但不能跨越課標(biāo)。要做到深入淺出?！吧钊搿?，即自己潛心領(lǐng)會課本設(shè)計的意圖；“淺出”，即把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計成符合學(xué)生實際的預(yù)習(xí)作業(yè)或?qū)W(xué)案，清晰地引導(dǎo)學(xué)生理解新知。②充分發(fā)揮（下轉(zhuǎn)第17頁）（上接第15頁）學(xué)生的主體作用。教師應(yīng)該是一個編劇，一個導(dǎo)演，學(xué)生是演員，一定要設(shè)法讓學(xué)生“入戲”。讓學(xué)生“入戲”就要求教師設(shè)計符合學(xué)生實際的學(xué)案，設(shè)計出學(xué)生能“夠得著”或“跳一跳就能摘到桃子”的問題。在具體的教學(xué)過程中，不僅要求教師活用教材，更要活用“學(xué)生”。教學(xué)內(nèi)容變成問題后，爭取每個學(xué)生都要回答而且每個回答都不“浪費”。在課堂教學(xué)中，要根據(jù)課堂實際情況隨時調(diào)整教學(xué)思路。“學(xué)生把話講完了”，才能體現(xiàn)出教師的創(chuàng)新。學(xué)生的回答是判斷教師創(chuàng)新的標(biāo)志。③活用方法是關(guān)鍵。教師針對學(xué)情，努力挖掘自身的教學(xué)潛質(zhì)，充分發(fā)揮個人的專業(yè)才能和教學(xué)智慧，大膽創(chuàng)造，積極利用，或精心取舍，或巧妙拓展，或大膽改動，或多方整合，或溝通讀寫，或接軌生活，既遵循教材，又不囿于教材，既憑借教材，又能跳出教材、活用教材，或調(diào)或改或增或延，靈活地利用教材，使教材成為一種動態(tài)的、生成性的資源.使教材內(nèi)涵更加豐富，個性更加鮮明，賦予教材生命的活力。創(chuàng)新教材，才能有別樣洞天。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]馬建軍.初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)教學(xué)設(shè)計與思考——以一次函數(shù)圖像教學(xué)為例[J].陜西教育，2012（11）.

[2]錢光均.從一次函數(shù)中探究初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與思想[J].中華少年（研究青少年教育），2013（23）.

（責(zé)任編輯：張華偉）