施莉莉

摘 要：數(shù)學(xué)例題是連接數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)實(shí)踐的橋梁，學(xué)生通過(guò)例題來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)、感受數(shù)學(xué)應(yīng)用，因此課本的例題在編寫時(shí)具有示范性、承啟性、探究性和發(fā)展性，教師在課堂教學(xué)時(shí)，要能夠恰當(dāng)?shù)赝诰虺鲞@些例題的編寫意圖，講全、講深、講透，提高課堂教學(xué)效率.

關(guān)鍵詞：例題；編寫意圖；課堂教學(xué)；蘇教版教材

例題是“用來(lái)說(shuō)明某一定律或定理，或在運(yùn)用某一學(xué)科或?qū)W科分支的定律時(shí)充當(dāng)練習(xí)的題.” 可見(jiàn)，例題是教科書(shū)概念、命題和定理與習(xí)題之間的橋梁與紐帶，例題教學(xué)的成功與失敗直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)、對(duì)解題方法的掌握. 因此，我們數(shù)學(xué)教師在備課時(shí)研究揣摩教科書(shū)例題的編寫意圖，全面領(lǐng)會(huì)編寫者的理念，這樣才能在課堂教學(xué)時(shí)，把例題講全、講深、講透，全面發(fā)揮例題的功能，提高教學(xué)效益.

鞏固型例題，要發(fā)揮解題的示范性

課本上例題的最主要功能是鞏固本節(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)和方法，例題的編寫不是隨意的，編者在選擇時(shí)經(jīng)歷了反復(fù)的推敲，因此有著極強(qiáng)的示范性和典型性. 教師在教學(xué)中，要注意發(fā)揮典型例題示范性，做到易題詳講、小題大講，這樣做的目的一是教師思維模式示范，二是解題格式的示范，三是解題反思與優(yōu)化的示范.

案例1 （必修4，1.2.3 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，例4）

首先，應(yīng)向?qū)W生示范分析問(wèn)題的過(guò)程，這個(gè)分析的過(guò)程正好是教師思維的過(guò)程.老師拿到題是怎么想的？肯定是先觀察，發(fā)現(xiàn)75°+α和15°-α之和是90°特殊角，這樣正好可以利用“誘導(dǎo)公式五”，把所求的cos（15°-α）轉(zhuǎn)化成sin（75°+α）解決.

其次，向?qū)W生示范解題的過(guò)程，由于學(xué)生對(duì)角的取值范圍易忽視，因此教師要特別注意，對(duì)角取值范圍的書(shū)寫，教師省略一個(gè)步驟，學(xué)生就可能省去數(shù)個(gè)步驟.

由-180°<α<-90°，得-105°<75°+α<-15°，則sin（75°+α）<0.又cos（75°+α）=，所以cos（15°-α）=cos[90°-（75°+α）]=sin（75°+α）=-= -=-.

再次，向?qū)W生展示解題后，如何反思與優(yōu)化解題過(guò)程，這是提高解題水平的關(guān)鍵一環(huán). 本題的解決依賴于觀察，看到所求三角函數(shù)值的角與已知三角函數(shù)值的角之和為90°，如果觀察不出來(lái)怎么辦？抑或更為復(fù)雜的關(guān)系怎么解決？這里要提煉，要向?qū)W生講述反思的過(guò)程. 觀察的實(shí)質(zhì)是把“75°+α”看成整體，看成整體是換元的思想，因此可以設(shè)75°+α=β，即α=β-75°，所求的三角函數(shù)的角15°-α=15°-（β-75°）=90°-β，于是原題就轉(zhuǎn)化成已知cosβ，求cos（90°-β），應(yīng)該說(shuō)，換元法更具備一般性.

通過(guò)這樣的“三個(gè)示范”，學(xué)生不僅鞏固了新學(xué)的誘導(dǎo)公式，而且學(xué)會(huì)了思考、學(xué)會(huì)了表達(dá)，也掌握了解決這類問(wèn)題的一般方法. 真正體現(xiàn)減少訓(xùn)練、提高效率的作用. 這個(gè)案例也告訴我們，每講一道例題都應(yīng)當(dāng)問(wèn)一問(wèn)為什么要講它？它“范”在哪里？“例”在何方？學(xué)生從中能夠?qū)W到什么？

承啟型例題，要展現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)性

由于數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)有機(jī)的整體，后續(xù)的知識(shí)往往是前面知識(shí)的延續(xù)的發(fā)展，因此課本上的例題有時(shí)還起到“承上啟下”的作用，它既是已經(jīng)學(xué)習(xí)知識(shí)的應(yīng)用，也是將來(lái)學(xué)習(xí)知識(shí)的緣起，因此教師在教學(xué)時(shí)要能夠洞察到這類例題的作用，這樣不僅可以使課堂教學(xué)順利過(guò)渡，也可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性的認(rèn)識(shí)，建立起完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而不是一堆離散的知識(shí)點(diǎn).

案例2 （必修1，2.1.1 函數(shù)的概念和圖象，例5）

在第2.1.1開(kāi)頭的問(wèn)題第一個(gè)問(wèn)題中，如果把人口數(shù)y（百萬(wàn)）看作是年份x的函數(shù)，試根據(jù)下表，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象.

經(jīng)過(guò)仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)例題編寫的目的至少有三個(gè)：第一它是本節(jié)開(kāi)頭的背景問(wèn)題，是引入函數(shù)概念的主要問(wèn)題之一，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在后面第3.4.2節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)中還將深入討論；第二該問(wèn)題在第2.1.2節(jié)中，用來(lái)說(shuō)明列表法也能表示函數(shù)，并且函數(shù)圖象可以是離散的點(diǎn)，這與以前學(xué)生所見(jiàn)的大多數(shù)函數(shù)圖象稍有不同，這有助于更新學(xué)生的認(rèn)識(shí)觀念；第三，這個(gè)問(wèn)題，還為接下來(lái)函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

由此可見(jiàn)，一個(gè)普通的例題，不僅是概念背景問(wèn)題的延續(xù)，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，貫穿了函數(shù)的概念、函數(shù)的圖象、函數(shù)的表示和函數(shù)的應(yīng)用. 如果教師在教學(xué)中把該例題跳過(guò)了，勢(shì)必造成教學(xué)上的不連續(xù)，甚至學(xué)生對(duì)知識(shí)連續(xù)性的認(rèn)識(shí)不到位. 這樣的案例在教材中還有很多，再如第1.2節(jié)的例2：

下列各組的3個(gè)集合中，哪兩個(gè)集合之間具有包含關(guān)系？

粗看可能平淡無(wú)奇，有的老師可能認(rèn)為不夠好，另選其他例題，事實(shí)上本例的每一組3個(gè)集合中，A，B這兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素，且它們的元素合在一起，恰好是集合S的全部元素，這個(gè)思考為學(xué)生感受和理解補(bǔ)集、全集的概念奠定基礎(chǔ)，也為從集合運(yùn)算的角度理解補(bǔ)集做鋪墊.

像這樣的例題的編寫意圖，需要教師仔細(xì)揣摩才能發(fā)現(xiàn)，這需要教師加以研究，盡可能地發(fā)揮集體的智慧，在集體討論的基礎(chǔ)上相互啟發(fā)，才能集思廣益，發(fā)現(xiàn)編者用意.

結(jié)論型例題，要展示問(wèn)題的探究性

課本上還有很多例題本身就是一個(gè)常用的結(jié)論，甚至在以前老版本的教科書(shū)中是作為定理或者公式給出的，在新課標(biāo)教材中，只是為了降低學(xué)習(xí)的難度和減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)才淡化成例題的.如定比分點(diǎn)公式（見(jiàn)必修4，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算例4）在老的人教版教材中是作為公式出現(xiàn)的，現(xiàn)在蘇教版中就作為一個(gè)例題. 對(duì)于這樣的問(wèn)題，盡管結(jié)論本身，不能夠在解題中直接使用，但是教師也要能夠像其他概念、公式、定理一樣，舍得花時(shí)間，讓學(xué)生進(jìn)行探究，弄清來(lái)龍去脈.

結(jié)論中當(dāng)λ∈R且λ≠-1時(shí)，=是線段定比分點(diǎn)的向量公式，若改寫成=+，就是A，B，C三點(diǎn)共線的條件.

這里可以讓學(xué)生分三個(gè)層次進(jìn)行探究活動(dòng)：

（1）證明方法的探究：即如何從=λ向結(jié)論進(jìn)發(fā)？

（2）逆命題的探究：一般地，若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)s，t，且s+t=1，使得=s+t，則A，B，C三點(diǎn)共線.

（3）點(diǎn)C位于線段AB上與位于線段AB延長(zhǎng)線上或線段BA延長(zhǎng)線上，λ的取值有何不同？

（4）本例題在題干的表述上是有瑕疵的，請(qǐng)指出.

值得一提的是本例題的教育價(jià)值除了證明過(guò)程能夠鞏固加強(qiáng)“向量共線定理”、結(jié)論能夠?yàn)閷W(xué)生的探究性學(xué)習(xí)提供素材外，還有以下的價(jià)值：

（1）直線AB上任一點(diǎn)C都能夠用OA，OB來(lái)表示，有助于提出問(wèn)題：“是否平面上任一點(diǎn)C都能用OA，OB來(lái)表示”，這為下一節(jié)平面向量基本定理學(xué)習(xí)激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；

（2）為下面“平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算”中定比分點(diǎn)公式和中點(diǎn)公式推導(dǎo)打下基礎(chǔ)；

（3）可以類比到選修2-1中“三個(gè)向量共面”的充要條件.

結(jié)論性例題的一個(gè)教學(xué)誤區(qū)是讓學(xué)生死記結(jié)論，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們要記憶的材料太多了，因此單純的記憶是行不通的，即使記住了，也不會(huì)應(yīng)用. 這類例題是開(kāi)展探究性教學(xué)的最佳材料，通過(guò)探究，學(xué)生掌握了結(jié)論的來(lái)龍去脈，不僅知道它是怎么產(chǎn)生的，也知道應(yīng)用到何處去.

方法型例題，要重視思維的發(fā)展性

課本中的例題，除了知識(shí)性問(wèn)題，還有方法性的問(wèn)題.這類例題為師生提供了通解通法，展現(xiàn)了一般解決問(wèn)題的思路，教師在教學(xué)時(shí)，要能夠通過(guò)這樣的問(wèn)題讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考，程序化解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力.

本例題雖然是非?；A(chǔ)的問(wèn)題，但是這兩種解法，實(shí)際上是從兩個(gè)不同的角度解決了求切線方程的問(wèn)題. 方法1是幾何法，利用了“直線與圓相切”等價(jià)于“圓心到直線距離等于半徑”這一特征，方法2是代數(shù)法，主要是從直線方程與圓的方程聯(lián)立后有兩相等根這一性質(zhì). 很多師生對(duì)課本第二種解法不夠重視，認(rèn)為計(jì)算量大，過(guò)程煩瑣，就一跳而過(guò)，這是錯(cuò)誤的. 盡管方法2計(jì)算煩瑣，但教學(xué)中更需要重視，因?yàn)榻夥?更具有一般性，為后面學(xué)習(xí)直線和其他曲線位置關(guān)系奠定基礎(chǔ). 因此教師在方法類例題的講解中，應(yīng)體現(xiàn)從具體到抽象，從特殊到一般的思維過(guò)程，以及歸納、總結(jié)的一般方法，這樣更加有利于學(xué)生思維的發(fā)展.

除了上面所述的類型例題外，還有應(yīng)用型的例題，教學(xué)中應(yīng)展現(xiàn)其科學(xué)性和人文性，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值. 有的例題，還要綜合發(fā)揮其作用，如上面提到的案例3，除了展現(xiàn)其探究性，也要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)的連續(xù)性與綜合性. 所以有人說(shuō)“教師與其糊里糊涂地講一百例題，還不如清清楚楚地講清一道題”就是這個(gè)道理.