周繼宗

摘 要：西方知名數(shù)學(xué)家曾經(jīng)談到，數(shù)字缺空間形貌時(shí)就會(huì)缺少直覺(jué)，表現(xiàn)形體時(shí)缺少數(shù)量關(guān)系便難以細(xì)致入微. 明確數(shù)量關(guān)系，把握空間形式，注重?cái)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)基本知識(shí)，也是一項(xiàng)重要的思想方法. 數(shù)字精確但是不夠直觀，圖形直觀卻不夠精確. 因此二者結(jié)合能夠做到優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，尤其是指、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí). 指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)定義相對(duì)抽象，如果借助幾何圖形便可以使抽象的問(wèn)題具體化，從而把握函數(shù)的特征，進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練，鞏固學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí).

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；數(shù)形轉(zhuǎn)化；教學(xué)策略

數(shù)量關(guān)系與空間形式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中兩個(gè)最基本、最基礎(chǔ)、最古老也是最先存在的兩個(gè)研究對(duì)象. 數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可以分為兩種情況：一是利用數(shù)的精準(zhǔn)性來(lái)表現(xiàn)形當(dāng)中的某些特征或?qū)傩?，這就是用“數(shù)”來(lái)解釋“形”；二是利用形的直觀性來(lái)描述數(shù)與數(shù)之間的某種特定聯(lián)系，這就是用“形”來(lái)幫助“數(shù)”.本文主要研究“以形助數(shù)”這種數(shù)形結(jié)合的思想，即第二種情況.

[?] 以形助數(shù)，數(shù)形轉(zhuǎn)化存心中

教師的任務(wù)是使學(xué)生求是認(rèn)真，掌握課堂的教學(xué)內(nèi)容，理解教師的教學(xué)方法，并通過(guò)回答問(wèn)題或者是課下作業(yè)以及小測(cè)試等方式將自己對(duì)教師所講內(nèi)容的理解反饋給教師. 現(xiàn)實(shí)生活中，良好的生活習(xí)慣能給我們的生活帶來(lái)種種意想不到的方便. 數(shù)學(xué)教學(xué)亦是如此，作為數(shù)學(xué)教師我們不應(yīng)該只是將數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生，而是應(yīng)該盡自己最大的能力讓自己的學(xué)生養(yǎng)成某種合適的、方便的、簡(jiǎn)潔的解題習(xí)慣. 這一點(diǎn)非常重要，習(xí)慣的養(yǎng)成對(duì)學(xué)生在今后面對(duì)各類題型有很大的幫助作用，其思路總會(huì)在不知不覺(jué)中在頭腦中迸發(fā)出來(lái)，達(dá)到意想不到的成效. 為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)減少極大的阻力，能夠?yàn)樗麄兘窈蟮膶W(xué)習(xí)提供更大的助力，減少困惑.

當(dāng)學(xué)生剛剛步入高中時(shí)，其數(shù)學(xué)的開(kāi)始學(xué)習(xí)是尤為重要的. 其中就包括指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的講授，所以作為數(shù)學(xué)教師更應(yīng)注重這一部分的教學(xué). 在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一《函數(shù)模型及其應(yīng)用》這一節(jié)的實(shí)踐教學(xué)中，筆者刻意地聯(lián)系之前所學(xué)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù). 而且在做練習(xí)題前與學(xué)生做了一個(gè)小討論.

教師：“同學(xué)們?cè)谥俺踔谢蛘邉偵细咧幸詠?lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有哪些數(shù)學(xué)題目一出現(xiàn)，你立刻就會(huì)畫(huà)出相應(yīng)的圖形來(lái)解答？”

學(xué)生1：“初中時(shí)，行程問(wèn)題基本都會(huì)畫(huà)出一條橫軸，然后利用這個(gè)橫軸來(lái)解題.”

學(xué)生2：“高中時(shí)，求兩個(gè)數(shù)域的交集、子集等問(wèn)題時(shí)，我大都也會(huì)先畫(huà)一個(gè)坐標(biāo)軸，也是利用坐標(biāo)軸來(lái)解題，這樣更快捷一下.”

教師：“兩位同學(xué)說(shuō)的都不錯(cuò)，他們所說(shuō)的兩種情況確實(shí)利用他們所說(shuō)的方法來(lái)解決非常簡(jiǎn)單. 但是同學(xué)們想一想，每次出現(xiàn)這樣的題他們都會(huì)先畫(huà)坐標(biāo)軸，其實(shí)這就是習(xí)慣，這也是一種思維的顯示，也就是以形助數(shù)這種數(shù)學(xué)思維. 習(xí)慣的培養(yǎng)對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，非常有幫助，稍加訓(xùn)練，形成思維意識(shí)，就可以見(jiàn)題有方法. 對(duì)此，我們可以利用前些日子學(xué)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)學(xué)習(xí)，下面我們就來(lái)做一些訓(xùn)練.”

作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生來(lái)培養(yǎng)這種思維，讓這數(shù)形結(jié)合的思想成為他們本身的一種意識(shí)，見(jiàn)到就會(huì)使用. 當(dāng)然，在培養(yǎng)這種習(xí)慣的時(shí)候，我們也要多教他們一些技巧，讓他們更加容易地利用這一思想.

[?] 把握特征，函數(shù)問(wèn)題莫忘形

正確把握?qǐng)D形特征是快速解答指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題的思維方法. 學(xué)生通過(guò)作圖直觀地展示出函數(shù)的基本性質(zhì). 只有充分把握指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)，學(xué)生才能真正做到有的放矢.

在講述指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)問(wèn)題情境引入函數(shù)，例如，某個(gè)細(xì)胞進(jìn)行分裂時(shí)，細(xì)胞數(shù)量y是分裂次數(shù)x的指數(shù)函數(shù)y=2x. 接下來(lái)描繪出圖形.

在繪完圖后，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，請(qǐng)學(xué)生回答下列問(wèn)題：

1. 觀察自己畫(huà)出的圖形，準(zhǔn)確找出圖形當(dāng)中特殊的點(diǎn)（如圖象與y軸的交點(diǎn)）.

2. 了解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等.

在此基礎(chǔ)上推廣到一般的指數(shù)函數(shù)，對(duì)y=ax的圖形進(jìn)行分析，給底數(shù)a不同的值（如a=，，，2，3，4等），分別讓學(xué)生列表并繪制到同一直角坐標(biāo)系中，這樣可以直觀地看到函數(shù)圖象在相同x值時(shí)，y值的大小，易于比較. 同理，可以比較在相同y值時(shí)，x值的大小. 如圖1所示：

在這個(gè)過(guò)程中為讓學(xué)生了解圖形特征列舉出如下問(wèn)題：圖形的共同點(diǎn)，a>1與0

1. 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)a的值決定，a>1時(shí)單調(diào)遞增，0

2. 指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象過(guò)定點(diǎn)（0，1），

3. 指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，+∞），

4. 在第一象限內(nèi)，從逆時(shí)針?lè)较蚩磮D象，a逐漸增大，在第二象限內(nèi)，從逆時(shí)針看圖象，a逐漸增大.

……

利用這個(gè)思路，再討論對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖形性質(zhì)時(shí)能起到事半功倍的效果. 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（兩者圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱），所以可以依據(jù)上述的分析方法把握對(duì)數(shù)函數(shù)的特征. 首先對(duì)a賦不同的值，在坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)繪圖. 教師引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，學(xué)生給出解答，然后總結(jié)一般性規(guī)律. 甚至可以把指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)放在一起探討，增強(qiáng)學(xué)生的記憶.

……

學(xué)生繪制觀察圖象，分析圖象的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是不斷熟悉函數(shù)，把握特征的過(guò)程. 學(xué)生把握住函數(shù)的特征，實(shí)際解題可以輕松建立出函數(shù)圖象，給解題帶來(lái)極大的方便. 學(xué)生把握住函數(shù)圖象的單調(diào)性，對(duì)解決定值比較大小的問(wèn)題有極大的幫助. 因此，在學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生正確把握函數(shù)特征，注重?cái)?shù)形結(jié)合是教師教學(xué)中必要的方法.

[?] 針對(duì)訓(xùn)練，典型例題重點(diǎn)記

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是一個(gè)強(qiáng)化的過(guò)程，熟能生巧，技巧總會(huì)在自己熟練的練習(xí)與及時(shí)的記憶當(dāng)中無(wú)形形成. 數(shù)形結(jié)合就是一個(gè)技巧，所以老師在教導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，不僅要培養(yǎng)他們能夠形成一種數(shù)形結(jié)合的意識(shí)、習(xí)慣，加強(qiáng)學(xué)生在實(shí)際解題中靈活思維，把握題型考點(diǎn)，從容地解答問(wèn)題，而不是單純地憑借記憶力去生硬照搬. 指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)中所應(yīng)用的典型方法，是我們學(xué)習(xí)中要把握的重中之重，教學(xué)中要通過(guò)做題來(lái)不斷強(qiáng)化，給學(xué)生提供專題解題的氛圍與環(huán)境，將數(shù)形結(jié)合巧妙地結(jié)合在這些重點(diǎn)訓(xùn)練中，讓學(xué)生記住典型才能夠解決那些怪題、不常見(jiàn)的題、非典型的組合題等.

1. 常規(guī)重點(diǎn)題型

指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)是高中開(kāi)始就進(jìn)行的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)要從頭抓起，所以對(duì)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)這方面的訓(xùn)練教師要尤其關(guān)注，教師要根據(jù)大綱要求先總結(jié)出重點(diǎn)，然后再去找一些重點(diǎn)例題，設(shè)置專題課堂，引領(lǐng)學(xué)生訓(xùn)練. 例如：最簡(jiǎn)單的一種類型題就是圖形變換及其應(yīng)用等問(wèn)題. 如為了得到函數(shù)y=9·3x+5的圖象，可以把函數(shù)y=3x的圖象怎樣移動(dòng)得到？對(duì)于這一類型，我們首先要注意的是先將主函數(shù)變成最簡(jiǎn)單的格式. 本題就可以這樣運(yùn)用，函數(shù)y=9·3x+5可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=3x+2+5，只有這樣我們才能夠利用圖象的平移規(guī)律來(lái)做出正確的答案. 函數(shù)化為最簡(jiǎn)單的形式以后，整道題就會(huì)變得十分清楚明了. 根據(jù)“上加下減，左加右減”這一規(guī)律我們可以輕松得到答案，即將函數(shù)y=3x的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到函數(shù)y=9·3x+5的圖象. 對(duì)付這種類型題，教師一定要自己先做好總結(jié)，得出規(guī)律. 比如：平移、伸縮、對(duì)稱等.

2. 非常規(guī)重點(diǎn)題型

當(dāng)然了，上述那種題只是最簡(jiǎn)單的很常規(guī)的題型，它能夠?qū)?shù)與形完美地結(jié)合起來(lái)，對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的訓(xùn)練有很大的幫助. 但是在學(xué)習(xí)中，學(xué)生也會(huì)遇到非常規(guī)的題目，因此這類題我們也要注意數(shù)形結(jié)合思想的培訓(xùn). 比如，方程lgx=sinx的實(shí)根個(gè)數(shù)這一題，面對(duì)這一題，我們的感覺(jué)就是這題根本做不了，也沒(méi)有個(gè)數(shù)來(lái)讓我們算一算. 但是如果我們轉(zhuǎn)化一下思維，將題中所給的數(shù)聯(lián)系到圖象就會(huì)很容易解決了. 那么這道題的實(shí)際意思就會(huì)變成求出函數(shù)y=lgx和函數(shù)y=sinx的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù). 這樣一來(lái)這道題自然簡(jiǎn)單多了，學(xué)生只要準(zhǔn)確畫(huà)出圖象就可以得出正確答案了，如圖2所示. 根據(jù)圖象，我們可以清楚地看到交點(diǎn)有三個(gè)，即答案為3. 因此，我們?cè)诿鎸?duì)非常規(guī)題型時(shí)，要跳出原始的思維定式，用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決問(wèn)題.

當(dāng)然，指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的典型例題有很多，筆者所提供的例子只是其中最簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合的例子，在這里筆者主要說(shuō)的是：方法的運(yùn)用、思想的形成、定式的轉(zhuǎn)換，打破以往只知道求解數(shù)字這種方法. 解答過(guò)程的多樣化、方法的獨(dú)特不但使學(xué)習(xí)更加有趣，而且學(xué)生記憶會(huì)更加深刻.

本文主要討論數(shù)形轉(zhuǎn)化中作圖在指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用，對(duì)此我們應(yīng)該注意將培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、正確便捷的解題思路作為自己的責(zé)任，使學(xué)生形成慣性思維，當(dāng)自己的學(xué)生面對(duì)函數(shù)問(wèn)題能夠直接想到畫(huà)圖這種方法，把握好函數(shù)中的數(shù)與圖形中的點(diǎn)的準(zhǔn)確關(guān)系，將畫(huà)圖這一方法時(shí)刻存在心中.我們還要注意典型的、重點(diǎn)的題型訓(xùn)練，這一方面的培養(yǎng)與記憶也是相當(dāng)重要的，它奠定了學(xué)生今后學(xué)習(xí)以及所面對(duì)的綜合題的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)教學(xué)這一話題持續(xù)了很長(zhǎng)的時(shí)間，每個(gè)時(shí)代都會(huì)有不同的定義、不同的內(nèi)涵、不同的演化，作為新時(shí)代的高中數(shù)學(xué)教師我們應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，跟著時(shí)代發(fā)展的浪潮，為自己的學(xué)生提供自己力所能及的便利、優(yōu)良學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)他們養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣. 數(shù)學(xué)教師也要不斷充實(shí)自己，不斷學(xué)習(xí)，努力成為一個(gè)負(fù)責(zé)任的、有自己獨(dú)到見(jiàn)解的新時(shí)代教師.