程 華

（咸陽師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000）

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（下文簡稱“新課標”）中又重新提出了“運算能力”，并成為十個核心概念之一，強調(diào)數(shù)學課程應當注重發(fā)展學生的運算能力。數(shù)學教育應當促進學生積極地思考，能否更有效地促進學生的思維發(fā)展，也已經(jīng)成為評判數(shù)學課成功與否的重要標準。[1]小學階段的計算教學地位舉足重輕，那么，這些理念與要求，轉(zhuǎn)化、體現(xiàn)在具體的計算教學當中，一線教師存在哪些問題？學習的本質(zhì)在于變化，在看似平淡的計算學習中，學生應該發(fā)生哪些變化？本文結(jié)合“國培”等培訓中對小學數(shù)學教師的調(diào)研，對此進行分析和探討。

一、小學計算教學中一些突出的問題及其分析

小學階段數(shù)學教學總課時大約1000課時，計算教學授課時數(shù)大約700課時，第一學段一至三年級，計算授課的節(jié)數(shù)約占據(jù)課時80%之多。然而，調(diào)研中我們深切感受到，教師在計算教學的理解以及實施上，還存在一些問題。

1.對“運算能力”理解存在偏差，計算教學的思維價值發(fā)揮不夠充分

調(diào)研中我們發(fā)現(xiàn)，一些教師對“運算能力”理解片面，將“運算能力”等同于運算技能。具體表現(xiàn)為：把提高學生“運算能力”簡單化為算得快、算得準，精力主要放在大量的程序化訓練上。比如，講授計算規(guī)則后，讓學生反復操練，要求100以內(nèi)的加減法等簡便運算達到“脫口而出”的自動化程度；對計算準確率過分強調(diào)，一些學生為保險便一律列豎式運算，不注重整體分析；重視運算法則的記憶，卻在運算意義的了解以及算理、算法的理解上節(jié)省時間，重“算法”而輕“算理”。

【教學片段1】《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》

教師由現(xiàn)實情境導入，列出算式“24×12”。教師引導學生基本理解了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理，并初步掌握了列豎式的計算方法。

布置拓展題：計算下列各式，并觀察你得到的結(jié)果，比較各個算式與其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？12×11= 13×11= 15×11= 45×11= 63×11=

在下課鈴響之前的半分鐘還沒有成形的結(jié)果，教師很無奈地告訴學生，“大家仔細看，一個兩位數(shù)乘11，乘積就是將那個數(shù)‘兩邊一拉，中間一加’，現(xiàn)在你們知道了嗎？記住這是一種快速巧算的方法”。[2]

案例中，教師更看重巧算的方法，卻沒有突出計算中歸納的思維，而這類現(xiàn)象絕非個別。這種過于重視結(jié)果的教學，會對學生產(chǎn)生怎樣的影響呢？蔡金法曾對小學六年級的中美學生用計算題、簡單問題、過程受限的復雜問題、過程開放的復雜問題進行測試，結(jié)果顯示：中國學生在計算題與簡單問題解決方面占絕對優(yōu)勢，但在復雜問題解決上卻并沒有體現(xiàn)出優(yōu)勢。研究表明：具備良好的雙基并不一定自動轉(zhuǎn)化為解決問題尤其是解決非常規(guī)、開放復雜問題的能力。[3]用過多的練習訓練學生精準計算的能力，會使學生急于完成作業(yè)，無暇反思思維。有關(guān)研究也顯示：“如果一個人能很好地用數(shù)量方式思維，就需要一個基本意義，而不是無數(shù)個自動反應，操作并不發(fā)展意義，重復并不引起理解?！盵4]學會計算應該是能用數(shù)量的方式思維，對習題快速反應，不一定說明已達到更高水平的理解。

新課標中明確指出：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?！币簿褪钦f，“運算能力”有三方面，“正確地運算”只是其一，還應有“理解運算的算理”，能夠根據(jù)條件“尋求”到“合理簡潔”的“運算途徑”。教師對“運算能力”認識偏差，數(shù)學考試中計算結(jié)果又影響太大，致使教師雙基過度，這直接反映到計算教學的目標設定、教學設計、實施以及對學生的評價上，計算教學的思維價值沒能得到充分發(fā)揮。

2.算法多樣化成為算法自由，影響了技能目標的達成

隨著新課程改革的推進，很多教師已經(jīng)認識到快速、準確地計算不應是計算教學的唯一目標，教學中“自主嘗試—小組交流—全班反饋”，算法多樣化與算法優(yōu)化也呈現(xiàn)常態(tài)化。然而，我們發(fā)現(xiàn)實施的效果并不盡如人意。

比如，課堂上教師啟發(fā)：“還有不同方法嗎？”“你是怎么想的？”教師組織學生交流，不斷詢問：“誰能把你的方法說一下？”“為什么？”“你真行！”鼓勵學生展示自己的思維過程。但是，隨后訪談中我們卻看到，一些學生只知道自己的辦法，并不清楚其他同學的，掌握多種方法的學生并不多；有時課堂活躍、方法多樣，但是測試結(jié)果卻錯誤頻頻。算法多樣成了算法自由，學生技能目標達成不理想。

實施“算法多樣化”并不必然發(fā)展學生的思維，原因何在？我們發(fā)現(xiàn)效率不高的課堂往往具有以下特點：其一，教學中缺失引導學生相互溝通的語言；其二，板書中未能整理多種方法，及時總結(jié)計算法則；其三，教師沒有引導學生優(yōu)化各種方法，有的多樣化算法缺乏遷移價值，反而沖淡了好的方法，等等?？傊谧鹬貙W生與對多樣化算法的歸納提升上、在算法多樣與算法優(yōu)化的平衡等方面，還存在不足。

3.重計算而對計算中蘊含的數(shù)學推理突出不足

長期以來，小學數(shù)學計算往往被認為主要是算，推理則屬于高級形式的心智活動，一些教師對計算中蘊含的推理認識與重視不夠。事實上，計算與推理相通。新課標中提倡“算法優(yōu)化”，強調(diào)“運算能力”還包含能夠根據(jù)條件“尋求”到“合理簡潔”的“運算途徑”，要“尋求”到“合理簡潔”，必須依賴推理觀察和導向。因此，提高學生運算能力，不可能離開推理，即使小學計算也必須重視推理。

例如，“已知正方形的面積是5平方分米，求這個正方形的內(nèi)切圓面積”。學生如果按思維定式，就會認為求圓的面積需要先求R，但是開方?jīng)]學過，解題受阻。實際上，已知（2R）2=5，求πR2=？經(jīng)推理就可知如果學生缺少或者不善于用整體思維推理，就表現(xiàn)出運算能力不強。

【教學片斷2】

師：23×11= 35×11= 46×11=

生：（列豎式運算）可以先用兩位數(shù)乘10，再加上這個數(shù)。

師：16×22= 21×33= 13×44= 12×66=

（學生沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，又列豎式運算）

師：這幾道題和上面這些題是有聯(lián)系的，這些題都可以轉(zhuǎn)化為乘11，然后照規(guī)律去做。

16×22=16×2×11=32×11，21×33=21×3×11=63×11……

生：這么麻煩，還不如豎式運算呢。

案例中，豎式運算方法是自動的操作程序，而推理、轉(zhuǎn)化的方法對后續(xù)學習更有價值。這里，為什么學生要具體算，卻沒想到借助題目的相關(guān)性解決？可能與其對計算的認識有關(guān)。如果學生認為，計算就是按照教的法則做題，自然就按部就班地運算，注意不到其內(nèi)部的聯(lián)系。所以，如果學生的模仿練習過多，忽視其中蘊含的推理，就容易導致學生不習慣寓理于算，不能有意將計算轉(zhuǎn)為推理。

案例中我們也注意到，學生要獲取“正確”的算法往往不難，但是，要迅速判斷方法是否“合理簡潔”并不容易。幫助學生快速“尋求”并確定出“合理”“簡潔”的方法，操作層面上教師該如何“做”，的確需要在實踐中的摸索。

二、教學建議

基于上述分析不難得出，小學計算教學既有關(guān)知識、技能，又包含思維、方法以及學習的習慣。小學生學習計算的過程，也是發(fā)生變化的過程。對此我們提出幾點建議。

1.實施算法多樣化和算法優(yōu)化要重視實效

新課標中關(guān)于算法多樣化和算法優(yōu)化的教學建議是：“教師不要急于評價各種算法，應引導學生通過比較各種算法的特點，選擇適合于自己的方法?！奔刺岢脤W生喜歡的方法，但教師仍有責任給學生推薦好的方法，而好的方法應當是師生交流的結(jié)果?？梢姡瑢嵤┬Ч?，取決于教師能否處理好教師指導與學生自主、個體最優(yōu)化與群體多樣化之間的關(guān)系。

首先，教師要善于引導學生溝通，在與同學方法的比較中選擇合理、簡便的辦法。比如，教師啟發(fā)：“與他的方法相同或差不多的還有嗎？”“誰聽懂了？你能解釋嗎？”“你的方法與他的不同在哪兒？”這樣介入，幫助學生學習思考、傾聽和認同，體會不同方法的價值。

其次，算法的優(yōu)化要與通法兼顧。算法優(yōu)化的前提是教師對何謂好方法要有深入的認識。教師很容易以計算速度評判最優(yōu)解，比如“雞兔同籠”的一些巧算法。其實，對方法的評價是多維的，從心理學維度看，為多數(shù)學生喜歡；從教育學維度看，教師易教、學生易學；從學科維度看，要對后續(xù)知識掌握有價值。顯然，“雞兔同籠”中的試算法，雖然不是快的方法，甚至被認為是笨的辦法，但其實是個好方法。試算這類通法，有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，列出通常算式，更具一般性，對后續(xù)的學習更有價值。

最后，要妥善處理思維訓練與技能提高的關(guān)系。限時的課堂里，實施算法多樣與優(yōu)化，必須對投入時間做合理分配。新課標在教學建議中強調(diào)：“基本技能的形成，需要一定量的訓練，但要適度，不能依賴機械地重復操作，要注重訓練的實效性……?！被A(chǔ)訓練是必要的，只是要適度。這就要求教師善于設計針對性強的專項練習，以獲取思維與技能雙方最大的收益，但是怎么做才是“適度”的？迫切需要一線教師能做量化的研究。

2.在教計算中重視發(fā)展學生的數(shù)學思維

小學數(shù)學計算雖然在內(nèi)容上是基礎(chǔ)的，但同樣蘊含著豐富深刻的數(shù)學思想和方法。能否教出其中的思想，使學生思維真正得到發(fā)展，是衡量計算教學重要的指標。

（1）注重數(shù)學思想和方法的滲透

掌握有遷移價值的策略性知識，是數(shù)學學習的重要目的，小學階段主要的數(shù)學思想有化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、對應思想等，在計算教學中也多有蘊含。

一是在計算原理、法則教學過程中滲透。以“化歸”為例，在新知轉(zhuǎn)化為舊知中讓學生感悟化歸思想。例如，在《除數(shù)是小數(shù)的除法》中，學生知識基礎(chǔ)是除數(shù)為整數(shù)的除法計算法則，除數(shù)是小數(shù)的除法時，怎么辦？使學生意識到：除數(shù)需要由小數(shù)變?yōu)檎麛?shù)。怎么實現(xiàn)？這種轉(zhuǎn)化又不能改變除法算式的結(jié)果，自然想到要用商不變的規(guī)律，把除數(shù)是小數(shù)的除法“轉(zhuǎn)化”為除數(shù)是整數(shù)的除法。其間，學生就經(jīng)歷了有序的思維，獲得策略性經(jīng)驗，即：未知的能轉(zhuǎn)化為已知的，復雜的需轉(zhuǎn)化為簡單的，這就是化歸。又如，三角形兩邊之和大于第三邊，轉(zhuǎn)化為“兩點之間直線段最短”，平行四邊形面積轉(zhuǎn)化為矩形面積等，都能滲透化歸思想。

二是用計算方法的合理、簡潔感受數(shù)學思想。一些運算方法本質(zhì)上是思想方法的選擇與運用。比如，未學過0乘任何數(shù)規(guī)律的學生，計算0×9時用9個0相加，就是運用了化歸思想。小學數(shù)學基本是數(shù)量關(guān)系和空間形式，而數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何又分屬不同的板塊，計算教學也是溝通數(shù)與形的渠道。例如，計算：構(gòu)造單位正方形表示面積為1，解釋為單位正方形面積的一半，為面積一半的一半等，由圖形就能看出答案。運用數(shù)形結(jié)合思想甚至小學生都能證明：已知a+a1=b+b1=c+c1=k，a、a1、b、b1、c、c1、k為正數(shù)，求證：a·b1+b·c1+c·a1=k2。構(gòu)造邊長為k的正方形，則a·b1、b·c1、c·a1是其內(nèi)部的三個矩形面積，局部面積之和小于整體，一目了然，體現(xiàn)出數(shù)學思想的力量。

（2）計算與推理結(jié)合發(fā)展學生推理能力

學生的運算能力與諸多數(shù)學能力相互聯(lián)系、相互促進，而抽象能力、推理能力和建立模型能力又被認為是所有數(shù)學能力的核心，“推理是抽象的計算，計算是具體的推理，圖形是推理和計算直觀的模型”[5]。計算與推理相結(jié)合，在學計算中可感受推理、發(fā)展推理能力。

在計算中學習推理有很多途徑，一是使學生明確計算也是推理的手段。比如，比較兩個數(shù)大小時，可以用計算差值實現(xiàn)。再如，“假設有一根很長的繩子，比地球赤道長10米，用它去圍住赤道后，它與赤道之間的縫隙可以放進一個大的拳頭嗎？”將問題特殊化，繩子和地球赤道為同心圓時，由2π（R2-R）=10，有R2-R=1.6，用計算便推知答案。二是讓學生感受計算不能離開推理。教師可選用一些問題，促使學生從算到想，從機械程序到思考推理。另外，在運算中強調(diào)步驟與依據(jù)的結(jié)合，意識到“數(shù)學地記憶”也離不開推理。三是從算理、法則學習中感受類比、歸納等推理方法。比如，在掌握整數(shù)運算法則背景下，類比學習小數(shù)運算法則，在加法運算律基礎(chǔ)上，類比學習乘法運算律，等等。

【案例】

（ ）×（ ）=1728

A.42×47 B.28×816 C.36×48 D.36×68

選用類似問題，可以打破學生按程序運算的慣性。學生依據(jù)乘積的尾數(shù)可以排除A，依據(jù)乘積的位數(shù)排除B，依據(jù)乘積的前兩位排除D，最后選擇C。引導學生充分認識計算和推理的關(guān)系，在計算中發(fā)展推理意識，又將推理運用于計算。

（3）孕育和滲透代數(shù)思維

從算術(shù)思維向代數(shù)思維的跨越，是小學生認識上的難點，往往需要較長的過程。算術(shù)關(guān)注的是算理、算法和運算結(jié)果，而代數(shù)關(guān)注的是數(shù)量關(guān)系的一般化、概括化，對代數(shù)式的理解和解釋，及其運算和變換等，算術(shù)思維是以數(shù)（常量）及其運算與拆合為對象的，而代數(shù)思維則主要以代數(shù)式（變量）及其運算與變換為對象。[6]教材中代數(shù)內(nèi)容采用分散滲透與集中安排結(jié)合來編排。在小學計算中其實蘊含著不少代數(shù)思維的素材,以及算術(shù)思維與代數(shù)思維的聯(lián)結(jié)點，教師要注意尋找有意滲透，對學生則很有裨益。

比如，“計算8+5=？”，學生不同方法的背后有著不同的思維。采用8+5=8+2+3=10+3=13，運用了加法運算法則，屬算術(shù)思維，而用8+5=（8+2）+（5-2）=13的學生，能想到“某個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，和不變”，運用了數(shù)運算中相等變換關(guān)系，難能可貴地把握到其中的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，屬于代數(shù)思維。再如，“10以內(nèi)數(shù)的認識與加減法中，8+□=12，問□=？”這樣的計算中，引導學生體會：符號“□”是未知數(shù)，8、12是已知數(shù)，通過未知數(shù)與已知數(shù)的等式關(guān)系，就能找到未知數(shù)。這里就滲透著解方程思想。

【案例】△和□分別代表被除數(shù)和除數(shù)，請你根據(jù)下面的算式，求出△和□各是多少？

△÷□=12……15，△+□=353

分析：由△÷□=12……15知△=12□+15，而且□大于15。如果取□=16，則有△=12×16+15=207。△+□=223，與353相差130，推斷□取得小，如取□=30，△=12×30+15=375。△+□=405，比353大52，□應再換小，□應從30減少多少，恰使△+□值為353？分析發(fā)現(xiàn)□減少1，△就減少12，△+□就減少13，而52÷13=4，所以□=26，△=307。

計算教學中選用此類習題，把算術(shù)問題“代數(shù)地思考”，促使學生思考、識別、提取包含在表達式中的關(guān)系，感受其中結(jié)構(gòu)的表達和轉(zhuǎn)換，這對滲透代數(shù)思維和提高推理能力，會有很好的效果。

三、結(jié)語

小學計算教學既有基礎(chǔ)性又有綜合性，在現(xiàn)實中“做”遠比“該怎么做”要復雜得多。教師的學科深度會直接影響其教學的高度，計算教學的豐富性與探索性對一線教師提出了很高的要求。如何讓學生走進思考的天地，實現(xiàn)從學計算到學思維？計算教學究竟如何教？答案不一而足，然而可以肯定的是，小學計算教學，絕不僅僅是通過教師的“教”讓學生“學會”了什么，還應該在學計算過程中，讓學生發(fā)生“變化”，使學生既掌握數(shù)學的規(guī)律、方法，又養(yǎng)成思考、傾聽與分享的習慣?！?/p>

參考文獻：

[1]鄭毓信.“數(shù)學與思維”之深思[J].數(shù)學教育學報，2015（1）：1-5.

[2]孔凡哲，崔英梅.巧算背后的學科韻味——對知識技能教學的重新審視[J].人民教育，2011（11）：44-46.

[3]蔡金法.中美學生數(shù)學學習的系列實證研究——他山之石，何以攻玉[M].北京：教育科學出版社，2007：93.

[4]李士錡.PME：數(shù)學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2005：16.

[5]張景中.感受小學數(shù)學思想的力量——寫給小學數(shù)學教師們[J].人民教育，2007（18）：32-35.

[6]劉久成，劉久勝.代數(shù)思維及其教學[J].課程·教材·教法，2015（12）：76-81.