張曉貴，陳亞菲

（合肥師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 合肥 230601）

近年來，國際數(shù)學教育共同體有一個基本的共識，那就是數(shù)學教育不但應該使得學生掌握數(shù)學知識，也應該培養(yǎng)他們具有一定的數(shù)學創(chuàng)造力，數(shù)學創(chuàng)造力已經被認為是學生在數(shù)學學習中應該形成的一種基本能力。[1]形成這樣共識的主要原因在于數(shù)學創(chuàng)造力對于當今世界科技發(fā)展的重要作用，許多國家都意識到推進社會的發(fā)展不只是需要科學技術方面的創(chuàng)造，數(shù)學上的創(chuàng)造同樣重要。

美國數(shù)學教師理事會（NCTM）在其1980年的課程標準中就強調了培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造力的重要性，并將數(shù)學創(chuàng)造力的培養(yǎng)與數(shù)學問題解決的教學聯(lián)系在一起。[2]在我國，《九年義務教育數(shù)學課程標準》指出，要“鼓勵學生創(chuàng)造性思維”，培養(yǎng)學生具有“初步的創(chuàng)新意識”?！陡咧袛?shù)學課程標準》則指出，“基礎和創(chuàng)新是正確處理學習過程中不可或缺的兩個方面。既要打好基礎，又要發(fā)展創(chuàng)新的潛能”。盡管世界上許多國家都強調了培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造力的重要性，但是對中小學生數(shù)學創(chuàng)造力的相關研究卻是相當缺乏的。早在1987年，海洛克（Hay?lock）就提出應該加強對中小學生數(shù)學創(chuàng)造力培養(yǎng)的相關研究[3]，但到目前為止這方面的研究仍然非常有限。就實踐層面來說，世界范圍的中小學數(shù)學教學中對于學生數(shù)學創(chuàng)造力的培養(yǎng)總體來說都是比較忽視的。而在我國，雖然數(shù)學課程改革已經進行十多年了，但在現(xiàn)實的中小學數(shù)學教學中，教師對于培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造力仍然感到難以把握。本文要試圖解決的是中小學數(shù)學創(chuàng)造力培養(yǎng)的兩個基本問題，即如何理解數(shù)學教育中的學生的數(shù)學創(chuàng)造力和如何在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造力。

一、數(shù)學教育中學生的數(shù)學創(chuàng)造力

到目前為止，對于數(shù)學教育中學生的數(shù)學創(chuàng)造力并沒有一個公認的定義。如果我們希望對于中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力有一個更深刻的理解，那么審視一下與之密切聯(lián)系的兩個概念無疑是很有必要的，這兩個概念分別是數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造力和一般的創(chuàng)造力。

1.數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造力

相對于中小學校中的數(shù)學創(chuàng)造而言，對于數(shù)學家數(shù)學創(chuàng)造的研究要早得多。法國著名數(shù)學家阿達瑪（Jacques Hadamard）在七十年前出版的《數(shù)學領域中的發(fā)明心理學》（The Psychology of Invention in the Mathematical Field）可以算作是最早的對數(shù)學家數(shù)學創(chuàng)造的系統(tǒng)研究。阿達瑪在該書中提出，數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造分成四個階段，它們分別是準備階段、醞釀階段、頓悟階段和明確結果階段，由于該模式明顯地受到當時流行的格式塔心理學的影響，因而該模式又被稱為四階段的格式塔模式。在準備階段,數(shù)學家有意識地、艱苦地去解決手頭的數(shù)學問題；在醞釀階段，數(shù)學家把經過努力仍然沒有解決的問題放在一邊，頭腦中開始考慮另一個問題；在頓悟階段，問題的解決突然地出現(xiàn)在數(shù)學家的腦海中，此時數(shù)學家可能正從事一件與該問題不相關的活動；最后一個階段即明確結果階段，數(shù)學家對問題的解決結果進行證明、精確地把結果寫出來以及通過對結果的使用而尋找可能的擴展。[4]阿達瑪?shù)臄?shù)學創(chuàng)造理論雖然存在著一些問題，但是它卻使得我們對于數(shù)學家創(chuàng)造過程有了一個大致的了解。在阿達瑪之后，也有一些學者研究了數(shù)學家數(shù)學創(chuàng)造的過程，但與阿達瑪?shù)慕Y果本質上并無太大的區(qū)別。

一些研究者探討了數(shù)學家的創(chuàng)造結果。艾爾榮（Ervynck）認為，數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造就是能夠提出重要的數(shù)學問題，以及能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題之間的內在聯(lián)系。[5]利耶達爾（Liljedahl）和拉曼（Sriraman）認為，數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造是這樣的一種能力，它能夠產生出原創(chuàng)性的成果，這些成果能夠擴展現(xiàn)有的數(shù)學知識體系，或者能夠為其他數(shù)學家開創(chuàng)出新的問題。[6]海洛克（Haylock）認為，數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造表現(xiàn)在他們解決問題時追求不同的解決問題途徑和觀點。[7]而拉曼在最近表示，數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造應該是提出與眾不同的和富有洞察力的解答。[8]

研究者們也涉及了數(shù)學家數(shù)學創(chuàng)造中的思維特點。艾爾榮將數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造與高級數(shù)學思維相聯(lián)系，如運用非算法的決策[9]；而海洛克則提出了數(shù)學家在數(shù)學創(chuàng)造中會應用發(fā)散思維，其思維具有很大的靈活性[10]。

綜上，學者們是從三個方面來對數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造進行研究，即創(chuàng)造過程、創(chuàng)造結果和創(chuàng)造過程中的思維特點。

2.一般的創(chuàng)造力

20世紀50年代，人們開始關注如何發(fā)展人的創(chuàng)造力。很多發(fā)展創(chuàng)造力的方法被提出來，諸如頭腦風暴和角色扮演等。

與培養(yǎng)創(chuàng)造力相關聯(lián)的是如何對一個人的創(chuàng)造力進行評價，一些心理學家提出了運用心理測量工具對人的創(chuàng)造力進行測量。眾所周知的是吉爾福德（Guilford）在20世紀60年代提出的用發(fā)散性思維來度量個體的創(chuàng)造性。在吉爾福德看來，一個人的創(chuàng)造力就是看他是否能在完成任務的過程中運用發(fā)散性思維。在吉爾福特之后，托倫斯（Tor?rance）在創(chuàng)造力的研究上做了大量的工作。他設計了一份創(chuàng)造性思維測驗，在測驗中他給出了用文字或圖像表示的任務讓被試者回答，并通過四個方面即流暢性、靈活性、獨創(chuàng)性和精巧性對回答進行評價。[11]

從20世紀90年代開始，學者們從認知和社會文化的角度去理解創(chuàng)造。從認知過程去理解創(chuàng)造，比如在創(chuàng)造過程中，創(chuàng)造者能運用不同的心理表征和能在不同對象之間構建心理聯(lián)結等。從社會文化角度去理解創(chuàng)造，比如在什么樣的社會文化環(huán)境下會產生創(chuàng)造。例如，奇克森特米海伊（Csikszent?mihalyi）認為，創(chuàng)造是一種過程，它只能在個體、領域和環(huán)境相互作用的交叉處才能被觀察到。[12]

3.數(shù)學教育中的數(shù)學創(chuàng)造力

對于中小學生的數(shù)學創(chuàng)造來說，雖然它和數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造以及一般創(chuàng)造有共同點，但它顯然也應該有其特殊性，因此，對它的理解不應該簡單地照搬對數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造和一般創(chuàng)造的理解。在考慮數(shù)學教育中的數(shù)學創(chuàng)造時，應該考慮如下的特殊性。

（1）創(chuàng)造環(huán)境的特殊性。中小學生的數(shù)學創(chuàng)造一般來說是在數(shù)學課堂中進行的。數(shù)學教師可以創(chuàng)設一定的環(huán)境以促進學生的數(shù)學創(chuàng)造，這里的環(huán)境既包括文化環(huán)境，也可以包括物質條件如現(xiàn)代技術。

（2）創(chuàng)造形式的特殊性。中小學生的數(shù)學創(chuàng)造是教師指導下的創(chuàng)造。教師為學生提供創(chuàng)造所需要的材料，在學生遇到困難時為學生提供啟發(fā)引導，教師甚至作為學生數(shù)學創(chuàng)造的合作者。教師的幫助，保證了學生在數(shù)學創(chuàng)造過程中少走彎路，能夠在較短的時間內完成創(chuàng)造。除了學生獨立探究進行數(shù)學創(chuàng)造以外，學生之間還會合作進行研究。

（3）創(chuàng)造主體的特殊性。學生的數(shù)學創(chuàng)造不同于數(shù)學家的數(shù)學創(chuàng)造。數(shù)學家所創(chuàng)造的成果是對于整個數(shù)學領域來說的，而學生所創(chuàng)造的成果是對于他自己以及其同齡人來說的，他們所創(chuàng)造的成果對于數(shù)學領域來說也許是很多年前就已經被數(shù)學家創(chuàng)造出來了。正如雷金（Leikin）等人所認為的那樣，中小學生的數(shù)學創(chuàng)造是一種相對創(chuàng)造（relative creativity），而數(shù)學家所進行的數(shù)學創(chuàng)造則是一種絕對創(chuàng)造（absolute creativity）。[13]

（4）創(chuàng)造目的的特殊性。數(shù)學家數(shù)學創(chuàng)造的目的是為了促進數(shù)學學科的發(fā)展，而中小學生數(shù)學創(chuàng)造的目的主要是為了對數(shù)學有更好的理解以及培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新意識和能力，簡單地說，是為了學生在數(shù)學上獲得更好的發(fā)展。

在考慮到研究者們對于數(shù)學家數(shù)學創(chuàng)造力和一般創(chuàng)造力理解的基礎上，同時考慮到中小學生數(shù)學創(chuàng)造的特點，可以對數(shù)學教育中數(shù)學創(chuàng)造力做如下的界定：中小學生的數(shù)學創(chuàng)造力是指在適宜的數(shù)學課堂環(huán)境中，在教師的指導下，學生運用創(chuàng)造性思維，通過個體探究或同伴合作，進而產生出相對于自己和同伴來說的新知識、新方法和新問題的數(shù)學活動能力。

二、培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造力的途徑

培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造力是一項系統(tǒng)工程，需要落實在數(shù)學教學的各個方面。

1.要創(chuàng)設有利于學生進行數(shù)學創(chuàng)造的課堂文化環(huán)境。數(shù)學課堂文化是指在數(shù)學課堂教學中，教師和學生對于數(shù)學和數(shù)學教學的共同看法以及在數(shù)學教學過程中師生共同遵守的行為規(guī)范。傳統(tǒng)的數(shù)學教學有與之相應的課堂文化，而培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造力的當代數(shù)學教學當然也需要有與之相應的課堂文化。教師應該努力創(chuàng)設這樣的數(shù)學課堂文化即課堂成員都應該認識到數(shù)學創(chuàng)造力無論是對于社會的進步或者對于人的發(fā)展都具有重要的作用，學生具有一定的數(shù)學創(chuàng)造力是基本的數(shù)學教學目的之一。數(shù)學創(chuàng)造力是在不斷失敗中得以逐步形成的，失敗是數(shù)學創(chuàng)造中必不可少的體驗。作為數(shù)學課堂成員，不但應積極進行數(shù)學創(chuàng)造，也要鼓勵他人的數(shù)學創(chuàng)造，而絕不應該譏笑和嘲弄他人在創(chuàng)造中的失敗，等等。不少學者都對適宜的數(shù)學課堂文化環(huán)境與學生數(shù)學創(chuàng)造力發(fā)展之間的關系給予了充分的肯定，如前文所提到的奇克森特米海伊就認為社會文化環(huán)境對于數(shù)學創(chuàng)造的產生具有非常重要的作用。

2.要在教學中運用有助于學生進行數(shù)學創(chuàng)造的教學方法。一些教學方法的適當使用會有助于學生的數(shù)學創(chuàng)造，而不適當?shù)氖褂脮璧K學生創(chuàng)造力的發(fā)展，比較典型的是小組合作學習。在小組合作學習中，不同知識基礎和思維方式的學生傾聽和理解同伴的思想，并在同伴思想的啟發(fā)下提出自己的想法，這對于小組中每個學生的數(shù)學創(chuàng)造都有著積極的意義，但是，正如鮑羅斯等人所指出的那樣，如果小組成員沒有能夠認真傾聽其他成員的想法，或者沒有充分的時間去思考這些想法，那么這樣的小組合作就難以有助于成員的數(shù)學創(chuàng)造。[14]

3.要在教學中設置有利于學生數(shù)學創(chuàng)造的教學任務。讓學生解決我國數(shù)學教師比較熟悉的數(shù)學開放題可以很好地培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造力。此外，以下幾種任務也可以有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造力。

（1）問題解決。在被認為最有助于學生數(shù)學創(chuàng)造的任務中，問題解決是最主要的一個，實際上，它也是最早被提出用來培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造力的任務。數(shù)學問題與數(shù)學習題不同，前者是指那些解決者沒有現(xiàn)成方法從而需要設計新的策略來解決的數(shù)學情境，因而，正如NCTM所說的那樣，問題解決“本質上是一種創(chuàng)造性活動”。早在1980年，NCTM就提出要在中小學數(shù)學教學中讓學生進行問題解決活動，“問題解決應該是20世紀80年代學校數(shù)學的焦點”[15]。直到今天，NCTM仍然堅持認為，問題解決對于培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造力具有重要作用，“以新奇的方法解決問題以及提出新的、有趣的數(shù)學問題并進行探究”[16]。實際上，問題解決對于學生數(shù)學創(chuàng)造力培養(yǎng)的價值已經被許多國家的數(shù)學教育界和國際性的教育評價機構所認可。在我國的數(shù)學課程標準中對于問題解決也給予了特別的重視，在《九年義務教育數(shù)學課程標準》中將“問題解決”作為四個總目標之一；在高中數(shù)學課程標準中，問題解決能力則是重要的教學目標之一。而在TIMSS（國際數(shù)學和科學評測趨勢）2003中，正是因為問題解決對于數(shù)學創(chuàng)造力培養(yǎng)的重要性，因而有意識地包含了一些“提供機會進行創(chuàng)造性問題解決策略”的問題。[17]

（2）問題提出。問題提出是指給學生一定的情境，根據(jù)該情境由學生提出盡可能多的數(shù)學問題，這需要學生具有一定的創(chuàng)造力。西爾弗（Silver）認為，問題提出和問題解決都是鼓勵學生盡可能多地創(chuàng)造出答案，這自然會鼓勵學生數(shù)學創(chuàng)造性的發(fā)展。[18]對數(shù)學教學中問題提出的重視幾乎是與問題解決一樣早。NCTM在提出要將問題解決作為20世紀80年代學校數(shù)學焦點的同時，就明確提出，“應該鼓勵學生提出問題、實驗、估計、探究以及提出解決問題的建議”[19]。在我國《九年義務教育數(shù)學課程標準》中明確提出，要讓學生“初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”。在高中數(shù)學課程標準中要求“創(chuàng)新需要為學生提供提出問題、獨立思考和實踐的空間”。

（3）數(shù)學知識的再創(chuàng)造。弗賴登塔爾提出的數(shù)學知識“再創(chuàng)造”原則認為，學習數(shù)學最好的方法就是讓學生經歷數(shù)學的“再創(chuàng)造”。所謂數(shù)學的“再創(chuàng)造”就是指在教師的幫助下，學生將數(shù)學家早已創(chuàng)造過的知識重新創(chuàng)造出來。例如，讓學生通過觀察具體的事物或數(shù)學對象從中得出新的數(shù)學概念，讓學生通過操作和觀察提出數(shù)學猜想并進而證明猜想得到數(shù)學定理。由于數(shù)學概念和數(shù)學定理并不是教師告訴學生的，而是在教師的幫助下學生通過自身的努力創(chuàng)造出來的，因而學生在得到數(shù)學知識的過程中體現(xiàn)出一點的創(chuàng)造性。

（4）常規(guī)數(shù)學解題中的創(chuàng)造性。波利亞在其《怎樣解題》中給出了著名的數(shù)學解題表。按照解題表，數(shù)學解題包括四個步驟，分別是弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧。在每個步驟中波利亞給出了若干個啟發(fā)性的問題，例如在弄清問題中他給出了如下的啟發(fā)性問題：未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？一般認為，波利亞的解題表并不適宜于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。但是，當我們將他的解題表做適當?shù)男薷暮螅ㄟ^讓學生解答常規(guī)的數(shù)學題也可以培養(yǎng)他們的數(shù)學創(chuàng)造力。具體來說，在弄清問題階段，我們增加這樣的啟發(fā)性問題即你能將題目中所給出的條件重新理解嗎？例如，對于題目中給出的條件之一“等腰三角形頂角的平分線AD”，可以將AD重新理解為“等腰三角形底邊BC上的高”，也可以理解為“等腰三角形底邊BC上的中線”，甚至還可以將之理解為“某個圓的直徑或某個線段的平行線”等。學生將題目中條件進行重新理解，就為他們發(fā)散性思維提供了條件。海洛克對于這種他所稱為重定義的重新理解給予了特別重視，認為它是培養(yǎng)學生數(shù)學創(chuàng)造力的重要途徑之一。[20]在擬定計劃階段，我們增加這樣的啟發(fā)性的問題即你能找出幾個本質上不同的解答方法嗎？學生在擬定計劃階段可能會根據(jù)需要回到理解問題階段上。在實行計劃階段，學生實施在擬定計劃中所設想的幾個解決方法。在解決過程中，他們可能會產生新的解題思路，也可能需要再一次理解題意，也就是說，學生的思維會在實現(xiàn)計劃、擬定計劃和弄清問題幾個步驟上來回穿越。在回顧階段，我們增加這樣的啟發(fā)性問題即是否可以利用原題的條件或部分條件提出新的問題或進一步的問題？顯然，提出新的問題可以培養(yǎng)學生的提出問題能力，而提出進一步的問題，將有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造力。

4.要實施有利于學生數(shù)學創(chuàng)造的教學評價。數(shù)學教學評價的目的之一就是激勵學生的數(shù)學學習，它對于調動學生的學習積極性具有重要的作用。在日常的教學中，教師要對學生在數(shù)學創(chuàng)造上的嘗試進行鼓勵，使得學生樂意進行數(shù)學創(chuàng)造和敢于進行數(shù)學創(chuàng)造。另外，在考試中也要設置數(shù)學創(chuàng)造性問題讓學生解答，從而讓他們明確，數(shù)學創(chuàng)造性問題的解決是數(shù)學學習不可缺少的組成部分?！?/p>

參考文獻：

[1]Mann E.Mathematical creativity and school mathematics:In?dicators of mathematical creativity in middle school students[DB/CD].[2015-10-25].Doctoral dissertation,2005.http://www.gifted.uconn.edu/siegle/Disser tations/Eric%20Mann.pdf.

[2][15][19]National Council of Teachers of Mathematics.Curric?ulum and evaluation standards for school mathematics[M].Reston,VA:NCTM,1898.

[3]Haylock D W.A framework for assessing mathematical cre?ativity in schoolchildren[J].Educational Studies in Mathemat?ics,1987,18（1）：59-74.

[4]雅克·阿達瑪.數(shù)學領域中的發(fā)明心理學[M].陳植蔭,肖溪安,譯.南京：江蘇教育出版社,1989:36-51.

[5][9]Ervynck G，Tall D.Advanced mathematical thinking[M].Dordrecht:Kluwer，1991：42-53.

[6]Liljedahl P，Sriraman B.Musings on mathematical creativity[J].For The Learning of Mathematics，2006（26）：20-23.

[7][10][20]Haylock D.Recognizing mathematical creativity in schoolchildren[J].ZDM,1997，27（2）：68-74.

[8]Sriraman B.Are giftedness and creativity synonyms in mathe?matics?An analysis of constructs within the professional and school realms[J].The Journal of Secondary Gifted Edu?cation,2005,17（1）：20-36.

[11]Torrance E P.Career patterns and peak creative achieve?ments of creative high school students twelve years later[J].Gifted Child Quarterly,1972，16（2）：75-88.

[12]Csikszentmihalyi M.Society,culture,and person:A sys?tems view of creativity[C]//Sternberg R J.The nature of cre?ativity.New York:Cambridge University Press,1988：325-339.

[13]Leikin R，Lev M.Mathematical creativity in generally gift?ed and mathematically excelling adolescents:What makes the difference?[J].ZDM,2013,45（2）：183-197.

[14]Paulus P B，Yang H.Idea generation in groups:A basis for creativity in organizations[J].Organizational Behavior and Human Decision Processes,2000,82（1）：86-87.

[16]Sheffield L J.Creativity and school mathematics:some mod?est observations[J].ZDM,2013,45（2）：325-332.

[17]International Association for the Evaluation of Educational Achievement（IEA）.Mathematics and science study special initiative in problem solving and inquiry[DB/CD].[2015-10-20].Boston:IEA,2005.http://timss.bc.edu/timss2003i/psi.html.

[18]Silver E.Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing[J].ZDM,1997,29（3）：75-80.