鞏子坤何聲清

（1．杭州師范大學(xué)理學(xué)院，杭州311121；2．北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京100875）

7～14歲兒童隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展*

鞏子坤1**何聲清2

（1．杭州師范大學(xué)理學(xué)院，杭州311121；2．北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京100875）

采用三個(gè)典型的隨機(jī)性認(rèn)知任務(wù)（點(diǎn)分布認(rèn)知，一維分布認(rèn)知，二維分布認(rèn)知）系統(tǒng)考察了7～14歲兒童隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展特點(diǎn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展隨年齡增長(zhǎng)而動(dòng)態(tài)變化，7～10歲表現(xiàn)出上升趨勢(shì)，而11～14歲表現(xiàn)出下降趨勢(shì)。點(diǎn)分布認(rèn)知的發(fā)展在7～11歲為緩慢上升，至12～14歲保持穩(wěn)定。一維分布認(rèn)知的發(fā)展在7～10歲為緩慢上升，在11歲開始迅速下降，至13～14歲趨于穩(wěn)定。二維分布認(rèn)知的發(fā)展在7～14歲始終處于較低水平。10～11歲是隨機(jī)性認(rèn)知發(fā)展的重要時(shí)期。

發(fā)展 隨機(jī)性認(rèn)知 點(diǎn)分布認(rèn)知 一維分布認(rèn)知 二維分布認(rèn)知

1 引 言

概率概念認(rèn)知是概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)與核心環(huán)節(jié)。對(duì)隨機(jī)性的認(rèn)知是概率概念認(rèn)知的一個(gè)重要方面。隨機(jī)性中隱藏著規(guī)律性，對(duì)隨機(jī)性的認(rèn)知本質(zhì)上就是對(duì)規(guī)律性的認(rèn)知。

在日常生活中，隨機(jī)事件隨處可見（Gal，2005），所以非正式概率知識(shí)的獲得有著堅(jiān)實(shí)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)（Sharma，2012）。兒童在發(fā)展早期（甚至學(xué)前階段）已經(jīng)具備初步的隨機(jī)思維和良好的概率直覺（Yost，Siegel＆Andrews，1962；Goldberg，1966）。Kuzmak和Gelman（1986）的研究發(fā)現(xiàn)兒童在小學(xué)階段已經(jīng)表現(xiàn)出對(duì)隨機(jī)性的敏感性，比如，學(xué)前兒童能辨識(shí)“最有可能發(fā)生的結(jié)果”（Pange，2003），他們能夠理解某些簡(jiǎn)單事件的可能性（Falk＆W ilkening，1998；Jones et al．，1997）。然而，近期研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)齡兒童對(duì)隨機(jī)性的理解仍然存在困難。在典型的研究隨機(jī)性認(rèn)知的“摸球”或“擲骰子”范式中，學(xué)齡兒童對(duì)隨機(jī)結(jié)果的認(rèn)知出現(xiàn)了不同程度偏離。Truran（1994）發(fā)現(xiàn)，兒童常常認(rèn)為隨機(jī)結(jié)果是由不可控因素（比如上帝、神靈等）決定的，而這一錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)直至中學(xué)階段依然存在，如Amir和W illiams（1999）對(duì)38名11～12歲兒童的研究發(fā)現(xiàn)，一些兒童在對(duì)隨機(jī)事件結(jié)果作出判斷時(shí)依然認(rèn)為是“上帝控制了世界上發(fā)生的一切”。兒童也會(huì)把隨機(jī)結(jié)果歸結(jié)為球或骰子本身的特征（如構(gòu)造和外形等）（Sharma，2012；Watson＆Moritz，2003）。兒童對(duì)隨機(jī)性的理解未隨年齡增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，他們處理隨機(jī)性的能力反而在退化（Engel＆Sedlmeier，2005）。Engel等（2005）在一項(xiàng)研究中采用拋硬幣、雪花分布等認(rèn)知任務(wù)（詳見測(cè)查材料），通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查考察了11～15歲兒童隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展特點(diǎn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兒童對(duì)隨機(jī)性的認(rèn)知并沒有隨著年齡的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，在拋硬幣任務(wù)中不同年齡兒童的成績(jī)沒有顯著差異；在雪花分布任務(wù)中，隨著年齡增長(zhǎng)，兒童的隨機(jī)性認(rèn)知水平卻表現(xiàn)出倒退趨勢(shì)。

更重要的是，隨機(jī)性認(rèn)知有不同的復(fù)雜程度，包括點(diǎn)、線、面三個(gè)層次：點(diǎn)分布認(rèn)知，即隨機(jī)事件；一維分布認(rèn)知，即一維獨(dú)立隨機(jī)序列；二維分布認(rèn)知（詳見測(cè)查材料）。但是，目前對(duì)隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展研究主要關(guān)注的是點(diǎn)分布認(rèn)知（Lecoutre，1992；Sharma，1997），較少有研究直接探討兒童對(duì)一維分布及二維分布的認(rèn)知（Konold，Pollatsek，Well，Lohmeier＆Lipson，1993）。而且，以往研究多以某一階段的兒童（如11～15歲，Green，1982；Engel＆Sedlmeier，2005）為研究對(duì)象，較少對(duì)從低到高不同階段的兒童進(jìn)行探討。因此，現(xiàn)有研究都難以完整揭示隨機(jī)性認(rèn)知是如何萌芽及發(fā)展的。

因此，本研究選取7～14歲兒童為研究對(duì)象，采用問(wèn)卷調(diào)查（Engel，2005；Green，1982），考察不同復(fù)雜程度的隨機(jī)性認(rèn)知（點(diǎn)分布認(rèn)知、一維分布認(rèn)知和二維分布認(rèn)知）發(fā)展特點(diǎn)及進(jìn)程。

2 研究設(shè)計(jì)

2．1 被試

為保證樣本的代表性，研究采用分層隨機(jī)取樣方式，選取浙江省杭州市城區(qū)、城鄉(xiāng)結(jié)合地區(qū)及農(nóng)村地區(qū)三種類型學(xué)校的771名7～14歲兒童作為研究對(duì)象。其中，7歲兒童88名（平均年齡為7．4歲，男孩48名），8歲兒童86名（平均年齡為8．4歲，男孩41名），9歲兒童98名（平均年齡為9．4歲，男孩49名），10歲兒童103名（平均年齡為10．4歲，男孩50名），11歲兒童101名（平均年齡為11．4歲，男孩60名），12歲兒童96名（平均年齡為12．5歲，男孩49名），13歲兒童98名（平均年齡為13．5歲，男孩55名），14歲兒童101名（平均年齡為14．4歲，男孩49名）。

2．2 研究程序

2．2．1 測(cè)查材料

如前所述，隨機(jī)性認(rèn)知包括三個(gè)層次：點(diǎn)分布認(rèn)知、一維分布認(rèn)知和二維分布認(rèn)知。為此，本研究采用三類認(rèn)知任務(wù)，分別考察三個(gè)層次的隨機(jī)性認(rèn)知。具體如下：

點(diǎn)分布認(rèn)知任務(wù)。一個(gè)不透明的盒子里有1個(gè)白球、1個(gè)黑球和1個(gè)綠球，它們除顏色外都相同。閉上眼睛，搖一搖盒子后，從盒子里摸出2個(gè)球。請(qǐng)問(wèn)：摸出的這兩個(gè)球一定是一個(gè)白球、一個(gè)黑球嗎？

（ ）

A．一定 B．可能 C．不可能

一維分布認(rèn)知任務(wù)。一個(gè)均勻的圓形卡片，一面寫著1，一面寫著0。拋這個(gè)卡片，1朝上就寫1，0朝上就寫0，一共拋10次。請(qǐng)?jiān)谙旅娴谋砀裰幸来螌懗鲞@10次朝上的結(jié)果，并寫一寫你的理由。

二維分布認(rèn)知任務(wù)?；▓@房頂是平的，由16塊尺寸相等的方磚構(gòu)成。開始下雪了，過(guò)了一會(huì)，16片雪花飄落到房頂。請(qǐng)標(biāo)出16片雪花可能落在什么地方（用×表示一片雪花），并寫一寫你的理由。

2．2．2 數(shù)據(jù)收集

為了保證兒童理解任務(wù)的內(nèi)容，對(duì)低年齡兒童（9歲以下），我們通過(guò)實(shí)物演示任務(wù)的具體要求，以幫助他們理解題意。對(duì)于10歲及以上兒童，不再演示任務(wù)的具體要求。所有兒童以班級(jí)為單位，參加集體測(cè)試。測(cè)試時(shí)間30分鐘。

2．2．3 計(jì)分

主試對(duì)兒童完成每個(gè)任務(wù)的反應(yīng)評(píng)分，正確記1分，錯(cuò)誤記0分。三個(gè)認(rèn)知任務(wù)，總分為3分。具體評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：

點(diǎn)分布認(rèn)知。如果兒童能夠認(rèn)識(shí)到這是一個(gè)隨機(jī)事件，即選擇“B．可能”，則記為1分，否則記為0分。

一維分布認(rèn)知。如果兒童給出了隨機(jī)的序列，則記為1分，否則記為0分。什么是隨機(jī)的序列呢？我們采用游程檢驗(yàn)的方法來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。把兒童回答的原始數(shù)據(jù)錄入數(shù)據(jù)庫(kù)，以0．5為割點(diǎn)，進(jìn)行游程檢驗(yàn)。比如兒童回答的原始數(shù)據(jù)是：1010010111，游程檢驗(yàn)的結(jié)果是：Case＝10，Runs＝7，Z＝0．49，p＝0．632。從而該序列具有隨機(jī)性。再比如，對(duì)于原始數(shù)據(jù)1010101010，游程檢驗(yàn)的結(jié)果是Case＝10，Runs＝10，Z＝2．35，p＜0．05，從而該序列不具有隨機(jī)性。原始數(shù)據(jù)1111111111是一種極端情形，無(wú)法進(jìn)行游程檢驗(yàn)，但是，顯然，這個(gè)序列是不隨機(jī)的。

二維分布認(rèn)知。如果兒童所描述的方磚上的雪花總數(shù)恰好為16片，且雪花所占的方磚數(shù)在7～13之間，且雪花分布沒有明顯的規(guī)律性，我們判定這樣的雪花分布是隨機(jī)的，記為1分，否則為0分。

有關(guān)研究根據(jù)兒童的回答情況，把回答分成4類（Engel＆Sedlmeier，2005）：嚴(yán)格的決定論，明顯的可以識(shí)別的模式，每塊方磚有一片雪花，雪花落在了正中，沒有方磚是空缺的。適度的決定論者：可以看到明顯的模式，每塊方磚上有雪花，雪花在方磚上的位置比較隨意。新手：不能夠覺察到明顯的模式，至少一塊方磚是空的，但是，每塊方磚上雪花的數(shù)目變化不大。專家：似乎是隨機(jī)分布，沒有明顯的模式。有4～8塊方磚是空的，沒有對(duì)稱性與規(guī)律性，雪花隨機(jī)地落在方磚上。這是一種近乎定性的分析，并沒有給出定量的刻畫。特別地，對(duì)于兒童給出的原始數(shù)據(jù)，沒有給出隨機(jī)與否的結(jié)論。我們首先從概率原理上，徹底解決了這個(gè)問(wèn)題。

16片雪花隨機(jī)落入16個(gè)方磚中，M為空的方磚數(shù)，N＝16－M為有雪花的方磚數(shù)。那么，

根據(jù)上面的公式，我們可以得到的概率分布，基于該分布，可以得到置信度的接受域［7，13］。例，假如有雪花的方磚數(shù)N＝8，方磚數(shù)在接受域中，那么認(rèn)為雪花的分布是隨機(jī)的。假如有雪花的方磚數(shù)N＝4，方磚數(shù)不在接受域中，那么認(rèn)為雪花的分布不是隨機(jī)的。

再進(jìn)一步：若兒童給出的回答在接受域［7，13］之內(nèi)，再觀察兒童給出的答案是否具有明顯的規(guī)律性（如嚴(yán)格關(guān)于中軸線對(duì)稱等），若有明顯規(guī)律可尋，則判定為不具有隨機(jī)性。比如，以下的回答就不具有隨機(jī)性。

如果雪花數(shù)目超過(guò)或者不足16片，均作無(wú)效數(shù)據(jù)處理。

3 結(jié) 果

3．1 問(wèn)卷的信度

以Cronbachα系數(shù)為指標(biāo)，考察了每個(gè)認(rèn)知任務(wù)的得分及測(cè)驗(yàn)總分的內(nèi)部一致性系數(shù)，結(jié)果顯示，點(diǎn)分布認(rèn)知α＝0．68，一維分布認(rèn)知α＝0．87，二維分布認(rèn)知α＝0．73，整個(gè)測(cè)驗(yàn)α＝0．69，表明該測(cè)驗(yàn)具有較高的同質(zhì)性信度。

3．2 隨機(jī)性認(rèn)知的整體發(fā)展

表1呈現(xiàn)了7～14歲兒童三個(gè)隨機(jī)性認(rèn)知任務(wù)得分總和（即總分）的描述統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表中可以看出，兒童隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展呈現(xiàn)出先上升后下降的趨勢(shì)：7～10歲是上升階段，10～14歲是下降階段。在上升階段，7～8歲和9～10歲表現(xiàn)出快速發(fā)展的趨勢(shì)。在下降階段，13～14歲表現(xiàn)出緩慢發(fā)展的趨勢(shì)。

表1 7～14歲兒童的隨機(jī)性認(rèn)知得分描述統(tǒng)計(jì)

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)上述發(fā)展趨勢(shì)，我們以年齡為自變量，以總分為因變量，進(jìn)行單因素方差分析。由于不同自變量分組的方差不齊，Levene（7，763）＝6．42，p＜0．001，選擇使用方差分析（下同）。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，年齡的主效應(yīng)顯著，Welch（7，324．30）＝13．71，p＜0．001，ηG2＝0．10）。這一結(jié)果提示，不同年齡兒童的隨機(jī)性認(rèn)知總分有著顯著的差異。多重比較結(jié)果表明，7歲兒童的得分顯著小于8～10歲的兒童（7歲vs．8歲，p＜0．05；7歲vs．9歲，p＜0．05；7歲vs．10歲，p＜0．01），但是大于13歲兒童（p＜0．05）。10歲兒童的得分顯著大于11～14歲兒童的得分（10歲vs．11歲，p＜0．05；10歲vs．12歲，p＜0．01；10歲vs．13歲，p＜0．001；10歲vs．14歲，p＜0．001）。此外，11歲兒童得分顯著大于13、14歲兒童（11歲vs．13歲，p＜0．001；11歲vs．14歲p＜0．05）。其他各組間的差異不顯著（全部p＞0．05）。

3．3 三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展

為更清楚揭示兒童隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展特點(diǎn)，我們進(jìn)一步比較了兒童三個(gè)層次（點(diǎn)分布、一維分布和二維分布）隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展特點(diǎn)。

圖1 7～14歲兒童三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知比較

圖1呈現(xiàn)了各個(gè)年齡兒童三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知任務(wù)得分的發(fā)展曲線。以年齡（組間變量）和任務(wù)類型（組內(nèi)變量）為自變量，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行二因素方差分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，年齡的主效應(yīng)顯著（F（7，763）＝12．39，p＜0．001，ηG2＝0．10），任務(wù)類型的主效應(yīng)顯著（F（2，1526）＝1114．16，p＜0．001，ηG2＝0．59）。年齡與任務(wù)類型的交互作用顯著（F（2，1526）＝15．82，p＜0．001，ηG2＝0．13）。

簡(jiǎn)單效應(yīng)分析結(jié)果顯示，在點(diǎn)分布任務(wù)中，7歲兒童的得分顯著低于9～14歲兒童（全部p＜0．01），8歲兒童的得分顯著低于11～12歲兒童（全部p＜0．01），而9～14歲兒童之間沒有顯著差異（全部p＞0．05）。這一結(jié)果表明，從7歲到9歲，點(diǎn)分布認(rèn)知快速發(fā)展，至9歲達(dá)到較高水平且保持穩(wěn)定至14歲。

在一維分布認(rèn)知任務(wù)中，7歲兒童的得分顯著低于8歲、10歲兒童（全部p＜0．01），然而卻顯著高于13歲、14歲兒童（全部p＜0．01）；8～11歲兒童的得分顯著高于13～14歲兒童（全部p＜0．01）；12～14歲兒童之間不存在顯著性差異（全部p＞0．05）。這一結(jié)果表明，一維分布認(rèn)知在7～10歲隨年齡增長(zhǎng)而上升，至10歲達(dá)到較高水平，隨后卻表現(xiàn)出下降趨勢(shì)，11～12歲與7歲的水平相當(dāng)，而13～14歲顯著低于7歲的水平。10歲是兒童一維分布認(rèn)知發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

在二維分布認(rèn)知任務(wù)中，不同年齡兒童之間的差異不顯著（p＞0．05），這一結(jié)果提示，7～14歲兒童的二維分布認(rèn)知都處于較低水平，尚處于萌芽階段。

此外，各個(gè)年齡兒童對(duì)三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知的分化模式也有所不同。對(duì)7～10歲兒童，點(diǎn)分布認(rèn)知的得分最高，其次是一維分布認(rèn)知，最低的是二維分布認(rèn)知。簡(jiǎn)單效應(yīng)分析的結(jié)果表明，點(diǎn)分布認(rèn)知和一維分布認(rèn)知的得分沒有顯著性差異（全部p＞0．05），而點(diǎn)分布認(rèn)知和一維分布認(rèn)知的得分都大于二維分布認(rèn)知（p＜0．05）。對(duì)11～14歲兒童，三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知得分的高低順序雖然沒有發(fā)生變化，但是三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知得分兩兩之間均有顯著性差異，即點(diǎn)分布認(rèn)知的得分顯著高于一維分布認(rèn)知和二維分布認(rèn)知，而一維分布認(rèn)知的得分顯著高于二維分布認(rèn)知（全部p＜0．05）。

4 討 論

4．1 隨機(jī)性認(rèn)知發(fā)展的整體特點(diǎn)

從整體上看，兒童隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，7～10歲表現(xiàn)出隨年齡增長(zhǎng)的上升趨勢(shì)（特別是7～8歲有明顯提高），10歲達(dá)到較高水平；然后隨年齡增長(zhǎng)反而表現(xiàn)出下降趨勢(shì)，11～14歲降到7歲水平（11歲和13歲是兩個(gè)快速下降點(diǎn)）。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)分布認(rèn)知水平普遍很高（通過(guò)率90％），而二維分布認(rèn)知普遍很低（通過(guò)率9％）。因此，一維分布認(rèn)知對(duì)隨機(jī)性認(rèn)知的整體發(fā)展的動(dòng)態(tài)變化有重要貢獻(xiàn)。

4．2 三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知發(fā)展的特點(diǎn)

我們發(fā)現(xiàn)三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展表現(xiàn)出不同的趨勢(shì)。

點(diǎn)分布認(rèn)知發(fā)展在7～11歲表現(xiàn)出緩慢上升，然后從12～14歲處于較穩(wěn)定的水平。而且，7歲兒童的點(diǎn)分布認(rèn)知的通過(guò)率已經(jīng)達(dá)到較高水平（68％），11歲時(shí)達(dá)到了高峰（98％）。參考以往研究結(jié)果，分別以20％、50％及80％的得分率作為萌芽、理解及掌握的標(biāo)準(zhǔn)（沈家鮮，劉范，1984），8～14的兒童都能夠掌握“點(diǎn)分布認(rèn)知”。點(diǎn)分布認(rèn)知就是我們?nèi)粘Ｉ钪械碾S機(jī)事件，兒童容易獲得。

一維分布認(rèn)知發(fā)展也是動(dòng)態(tài)變化的。7～10歲表現(xiàn)出隨年齡增長(zhǎng)的上升發(fā)展趨勢(shì)，7～8歲是一個(gè)快速發(fā)展時(shí)期。10歲時(shí)達(dá)到了高峰且出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，11～14歲表現(xiàn)出隨年齡增長(zhǎng)而下降的發(fā)展趨勢(shì)，10到11歲是快速倒退時(shí)期。Engel等（2005）曾經(jīng)研究了11～15歲兒童一維分布認(rèn)知的發(fā)展，結(jié)果顯示，這些兒童之間沒有顯著性差異。而我們的研究表明，11～14歲兒童一維分布認(rèn)知發(fā)展是顯著下降的，不僅如此，我們還貫通研究了7～14歲兒童一維分布認(rèn)知的發(fā)展，探查了“先上升、后下降”的趨勢(shì)。進(jìn)一步，10歲兒童的得分率是79％，已經(jīng)基本掌握了“一維分布認(rèn)知”，但是13～14歲兒童的得分率僅為45％，已經(jīng)降低為理解水平。10～11歲的轉(zhuǎn)折可能受教學(xué)因素影響。在9歲（三年級(jí)上學(xué)期），兒童初步學(xué)習(xí)了點(diǎn)分布認(rèn)知（盧江，楊剛，2011a）。而本研究是在下學(xué)期進(jìn)行的，所以對(duì)于10歲的兒童而言，已經(jīng)有一年半沒有接觸相關(guān)知識(shí)了，他們的概率知識(shí)還比較薄弱，他們的概率知識(shí)主要局限于“圓形卡片正反面的可能性大概是1／2，所以正反面出現(xiàn)大概是5次”。但是，對(duì)于正反面各5次具體如何相繼出現(xiàn)，他們還不知道其中的規(guī)律，只好遵循內(nèi)心的隨機(jī)性直覺，寫出相應(yīng)的結(jié)果，而這樣的結(jié)果往往是隨機(jī)的。近期一項(xiàng)對(duì)概率認(rèn)知的發(fā)展研究表明，11歲兒童比10歲兒童的概率認(rèn)知水平要高（鞏子坤，2012）。對(duì)教材的分析發(fā)現(xiàn)，與10歲兒童相比，11歲兒童學(xué)習(xí)了更多的概率知識(shí)，因?yàn)樵?1歲（五年級(jí)上）的時(shí)候，他們又學(xué)習(xí)了用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小、理解何謂游戲公平等（盧江，楊剛，2011b）。相對(duì)10歲兒童，11歲兒童對(duì)“拋圓形卡片10次”的認(rèn)知并非局限在“正反面出現(xiàn)的可能性均是1／2”這樣的范圍，而是認(rèn)為應(yīng)該有著更好的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律導(dǎo)致的結(jié)果是——出現(xiàn)了1010101010這樣的“有規(guī)律”的情形。當(dāng)然，這樣的規(guī)律也并不是老師有意識(shí)地教給他們的，因?yàn)?，教材中沒有這樣的知識(shí)，考試不考這樣的知識(shí)，課外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)也不教這樣的知識(shí)——這些知識(shí)來(lái)自兒童尋求規(guī)律的潛意識(shí)，這樣的潛意識(shí)正是確定性數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的。比如，我們發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于11歲兒童，更多的10歲兒童意識(shí)到，拋10次卡片，正反面出現(xiàn)的次數(shù)不一定正好各是5次。對(duì)兒童回答“正反面出現(xiàn)的次數(shù)相等與否”問(wèn)題的分析發(fā)現(xiàn)，11歲兒童與10歲兒童有著明顯不同：44．3％的10歲兒童認(rèn)為正反面出現(xiàn)的次數(shù)不相等，而僅僅有22％的11歲兒童認(rèn)為正反面出現(xiàn)的次數(shù)不相等。正反面出現(xiàn)的次數(shù)不等的結(jié)果往往是隨機(jī)的結(jié)果。近一半的10歲兒童給出了正反面不等的結(jié)果，這表明“既然正反面出現(xiàn)的概率都是1／2，所以正反面各出現(xiàn)5次”這一規(guī)律還沒有束縛住10歲的兒童，所以10歲兒童給出了隨機(jī)的答案；而這一規(guī)律卻牢牢地束縛住了11歲的兒童，進(jìn)而給出了1010101010等不隨機(jī)的答案。事實(shí)上，在拋10次的所有情形中，正反面各出現(xiàn)5次的可能性僅僅有1／4左右，也就是說(shuō)，從理論上而言，應(yīng)該有3／4的結(jié)果中出現(xiàn)正反面不是各5次的情形），但是卻有超過(guò)3／4的11歲兒童選擇了這個(gè)結(jié)果。

二維分布認(rèn)知的發(fā)展在7～14歲始終處在萌芽水平，即便是相對(duì)較高的8歲和10歲，得分率也只有13％左右。這一結(jié)果與Green（1982，1986）、Engel等（2005）的研究結(jié)果并不一致：他們的研究表明，兒童（11～16歲，11～15歲）的認(rèn)知水平隨著年齡的增長(zhǎng)在不斷退化。導(dǎo)致兒童二維分布認(rèn)知發(fā)展水平很低的主要原因是兒童遵循了“均勻分布”與“集中”的規(guī)律。所謂“均勻分布”是指，在兒童看來(lái)，既然每一片雪花落到每一塊方磚的可能性是一樣的，而恰恰是16塊方磚、16片雪花，為了保持游戲的公平性，因而，每塊方磚上應(yīng)該有1片雪花（當(dāng)然，日常生活經(jīng)驗(yàn)也告訴我們，雪下了一段時(shí)間后，地面是平的）。所謂“集中”是指，在兒童看來(lái)，由于受到刮風(fēng)等因素的影響，所有的雪花都集中在幾塊方磚上，而往往地，這些方磚的數(shù)目是4～6之間。這些“規(guī)律”不是概率的規(guī)律，基于這些“規(guī)律”所得到的結(jié)果都是不隨機(jī)的（鞏子坤，2012）。也許，只有兒童掌握了概率的理論知識(shí)后，才能夠真正認(rèn)識(shí)到二維分布的規(guī)律。

綜上所述，三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知發(fā)展之間有較大差異。點(diǎn)分布認(rèn)知就是我們?nèi)粘５碾S機(jī)事件，容易獲得，兒童的認(rèn)知水平較高。兒童的生活經(jīng)驗(yàn)與擁有的確定性數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于認(rèn)知一維分布而言，是一把雙刃劍，既有利于獲得該認(rèn)知，又阻礙了該認(rèn)知；特別的，隨著年齡的增加，他們良好的隨機(jī)性直覺在減弱，從而就比較難以獲得該認(rèn)知了。要認(rèn)知二維分布，需要擁有較好的概率知識(shí)，而此時(shí)，兒童還不具備這些知識(shí)，所以，認(rèn)知水平就很低了。

防震縫的寬度既不能太大，也不能太小。如果防震縫的寬度太小，在強(qiáng)烈地震下相鄰結(jié)構(gòu)就會(huì)發(fā)生局部碰撞而損壞；如果防震縫寬度過(guò)大，就會(huì)給建筑物的立面處理帶來(lái)困難。因此，建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)抗震縫的最小設(shè)計(jì)寬度給予了相關(guān)規(guī)定。防震縫可以結(jié)合沉降縫貫通到地基，無(wú)沉降問(wèn)題時(shí)也可從地下室頂?shù)轿蓓斬炌?，無(wú)需貫通至地基。

4．3 對(duì)教學(xué)的啟示

兒童一維分布認(rèn)知水平在10歲出現(xiàn)倒退，值得我們反思：究竟是什么因素影響了兒童良好的隨機(jī)性直覺？在教學(xué)中，如何呵護(hù)兒童的良好直覺？這值得深入思考。同時(shí)，我們也需要對(duì)這樣的教學(xué)困難有著充分的思想準(zhǔn)備。我們?cè)?jīng)聽了一節(jié)小學(xué)六年級(jí)的復(fù)習(xí)課，內(nèi)容是：“雞媽媽孵出了10只雞寶寶。請(qǐng)問(wèn)，這10只雞寶寶，是5只小公雞5只小母雞的可能性大，還是4只小公雞6只小母雞的可能性大？”老師引導(dǎo)學(xué)習(xí)這樣思考：這10只小雞共有以下11種可能：0只小公雞10只小母雞，1只小公雞9只小母雞，……，10只小公雞0只小母雞。所以，上述可能性一樣大。得到這樣的結(jié)論后，全班一致贊同，沒有反對(duì)的聲音。該問(wèn)題本質(zhì)上就是“一維分布認(rèn)知”。師生對(duì)該問(wèn)題的錯(cuò)誤認(rèn)知表明，該問(wèn)題是一個(gè)困難的問(wèn)題。當(dāng)然，正如上述調(diào)查所表明的，凡是基于試驗(yàn)得到的結(jié)論均是正確的，因而，我們可以引導(dǎo)兒童試驗(yàn)，通過(guò)試驗(yàn)來(lái)獲得隨機(jī)的結(jié)果，通過(guò)這些隨機(jī)的結(jié)果，再總結(jié)、歸納出規(guī)律。這就真正地實(shí)現(xiàn)了“通過(guò)隨機(jī)性來(lái)認(rèn)識(shí)規(guī)律性”的目的。所以，不要過(guò)早地教給兒童形式化的結(jié)果，尤其是使用公式進(jìn)行計(jì)算；而是要通過(guò)試驗(yàn)，通過(guò)動(dòng)手，充分感受隨機(jī)性，進(jìn)而總結(jié)規(guī)律性——這也許是概率學(xué)習(xí)的有效方式與途徑（鞏子坤，宋乃慶，2006）。國(guó)外教科書“概率建?！钡慕虒W(xué)內(nèi)容與學(xué)習(xí)方式，值得我們學(xué)習(xí)與借鑒。比如，對(duì)于雞媽媽孵出10只雞寶寶的問(wèn)題，如果真正做試驗(yàn)，是很困難的：哪里找這樣的雞媽媽？怎樣正好孵出了10只雞寶寶？但是通過(guò)“概率建?！眮?lái)解決就容易了：硬幣的正面代表小公雞，反面代表小母雞，拋一次硬幣，就孵出了一只雞寶寶，拋10次，就孵出了10只雞寶寶。

兒童二維分布認(rèn)知的發(fā)展水平很低，在7～14歲之間始終在萌芽水平，這告訴我們，即便到了初中階段，這部分內(nèi)容都不適合進(jìn)入課程內(nèi)容。當(dāng)然，我們也可以這樣設(shè)想：可否通過(guò)試驗(yàn)、活動(dòng)的方式開展這部分內(nèi)容的教學(xué)。

4．4 不足與展望

本文所使用的測(cè)查材料是三個(gè)層次隨機(jī)性認(rèn)知任務(wù)，每一個(gè)層次的認(rèn)知任務(wù)僅有一個(gè)，一定程度上影響了問(wèn)卷的內(nèi)部一致性系數(shù)。另外，從更加嚴(yán)格的角度思考，對(duì)于隨機(jī)性的認(rèn)知，是否僅僅有這三個(gè)層次呢？還有沒有其他層次？這都是未來(lái)研究需要解決的重要問(wèn)題。

5 結(jié) 論

（1）兒童隨機(jī)性認(rèn)知整體發(fā)展是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程：7～10歲上升，11～14歲下降，10歲是發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

（2）點(diǎn)分布認(rèn)知發(fā)展可以分為兩個(gè)階段：7～11歲為緩慢上升發(fā)展時(shí)期，12～14歲為停滯發(fā)展時(shí)期。一維分布認(rèn)知發(fā)展可以分為兩個(gè)階段：7～10歲為上升發(fā)展時(shí)期，11～14歲為倒退發(fā)展時(shí)期。二維分布認(rèn)知發(fā)展整體處在同一個(gè)階段與很低水平。

（3）7～10歲兒童，點(diǎn)分布認(rèn)知、一維分布認(rèn)知有著相近的得分與發(fā)展趨勢(shì)，并且顯著高于二維分布認(rèn)知。11～14歲兒童，點(diǎn)分布認(rèn)知得分顯著高于一維分布認(rèn)知、二維分布認(rèn)知，一維分布認(rèn)知顯著高于二維分布認(rèn)知。

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Development of Randomness Cognition in Children of 7 to 14 Years

GONG Zi-kun1HE Sheng-qing2
（1．Hangzhou Normal University，Hangzhou 311121，China；2．Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

The present study tested 771 children aged 7～14 years in three typical tasks of randomness（0-dimension distribution；1-dimension distribution；2-dimension distribution）cognition．Results showed dynamic changes in the development of randomness cognition increased during the age of 7 to 10 years old and then decreased during the age of 11 to 14 year old．Specifically，in the 0-dimension distribution randomness cognition，the ability gradually increased between 7 and 11 years old，and then kept stable from 12 to 14 years old．In the 1-dimension distribution randomness cognition，the ability increased between 7 to 10 years old，evidently decreased at the age of 11 years old and remained stable during the age of 13 to 14 years．However，in the 2-dimension distribution randomness cognition，the ability was at low level during 7 and 14 years old．In conclusion，the present study provides new evidence for understanding the development of randomness cognition．The ability of randomness cognition dynamically changes with age（early increase and late decrease）and this developmental profile ismainly due to the development of 1-dimension distribution randomness cognition．The present results suggest that age 10 and age 11 are crucial periods of development of randomness cognition．

development，randomness cognition，0-dimension distribution cognition，1-dimension distribution cognition，2-dimension distribution cognition

B844

A

1006－6020（2016）－04－0343－09

*浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題（16NDJC004Z）；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目（15YJA880020）。

**通信作者：鞏子坤，男，教授，e-mail：zkgong＠163．com。

致謝：本文得到杭州師范大學(xué)趙靜博士的指導(dǎo)與幫助，也得到張慧增博士的幫助，特致謝意。