姜 雄， 樓文娟

(浙江大學(xué)結(jié)構(gòu)工程研究所， 浙江 杭州 310058)

三自由度體系覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)激發(fā)機(jī)理分析的矩陣攝動(dòng)法①

姜 雄， 樓文娟

(浙江大學(xué)結(jié)構(gòu)工程研究所， 浙江 杭州 310058)

應(yīng)用矩陣攝動(dòng)法推導(dǎo)了三自由度體系覆冰輸電導(dǎo)線離散自振頻率下特征值實(shí)部一階攝動(dòng)解，在此基礎(chǔ)上分析了舞動(dòng)機(jī)理。相較于Den Hartog和Nigol機(jī)理所得到特征值實(shí)部單自由度解，一階攝動(dòng)解將分別多出一或二個(gè)附加項(xiàng)。由特征值實(shí)部攝動(dòng)解結(jié)合模態(tài)振型可劃分三種舞動(dòng)激發(fā)類型。通過(guò)簡(jiǎn)化分析表明，當(dāng)附加項(xiàng)主要對(duì)豎向起作用時(shí)，可將氣動(dòng)力類型分成六類用以分析附加項(xiàng)作用。以JD型六分裂覆冰導(dǎo)線為例，對(duì)Den Hartog系數(shù)均為負(fù)值的兩類不同氣動(dòng)力類型下舞動(dòng)激發(fā)特性進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，攝動(dòng)解能較好反應(yīng)實(shí)部真實(shí)變化。對(duì)于一、二類氣動(dòng)力，當(dāng)附加項(xiàng)足夠大時(shí)，舞動(dòng)激發(fā)特性將表現(xiàn)出與按照Den Hartog機(jī)理所得完全不同的結(jié)果；與此同時(shí)亦將由于扭轉(zhuǎn)氣動(dòng)力導(dǎo)數(shù)正負(fù)號(hào)的不同而產(chǎn)生巨大差異。

覆冰導(dǎo)線； 舞動(dòng)； 特征值實(shí)部； 三自由度； 氣動(dòng)力

1 概 述

覆冰輸電導(dǎo)線低頻、大振幅、跨內(nèi)一至多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)弦波形狀的運(yùn)動(dòng)通常被稱之為舞動(dòng)。一旦發(fā)生舞動(dòng)，將有可能導(dǎo)致輸電線路相間閃絡(luò)、金具損壞、跳閘、桿塔破壞等各種危害。為了防治舞動(dòng)，首要需弄清其激發(fā)機(jī)理。自20世紀(jì)20年代以來(lái)，Den Hartog,O Nigol等學(xué)者先后提出了幾類舞動(dòng)機(jī)理[1-2]。然而這些機(jī)理并不能很好地解釋舞動(dòng)產(chǎn)生的原因，相應(yīng)設(shè)計(jì)的防舞措施亦不盡有效。

覆冰輸電導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)方程通常可表示為

(1)

式中 M，C分別為N×N質(zhì)量、阻尼矩陣；C為結(jié)構(gòu)阻尼Cξ和氣動(dòng)阻尼Ca之和；Fs為結(jié)構(gòu)反力，F(xiàn)W為風(fēng)荷載，二者一般為非線性。

對(duì)非線性荷載項(xiàng)進(jìn)行泰勒展開取至一階項(xiàng)并去除平均風(fēng)荷載項(xiàng)以后，通?？杀硎緸槿缦露A常微分方程

(2)

式中 K為結(jié)構(gòu)剛度Ks和氣動(dòng)剛度Ka之和。

利用Ляпунов(李雅普諾夫)一次近似理論[3]，通過(guò)特征值實(shí)部正負(fù)可用來(lái)判斷舞動(dòng)是否激發(fā)，即對(duì)于方程有：

(1)如果其特征方程所有特征根λ均具負(fù)實(shí)部，則認(rèn)為該輸電線路是穩(wěn)定的，進(jìn)行輕微擾動(dòng)后，將依舊回到原平衡位置，不產(chǎn)生舞動(dòng)；

(2)如果特征方程至少具有一個(gè)正實(shí)部的根，則認(rèn)為該輸電線路是不穩(wěn)定的，進(jìn)行輕微擾動(dòng)后，將產(chǎn)生舞動(dòng)。

式(2)特征值問(wèn)題將轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的一元2N次方程進(jìn)行求根。若只關(guān)心是否存在特征值實(shí)部為正，可采用Hurwitz判據(jù)等間接方法[4-5]。該類方法問(wèn)題在于無(wú)法知道各特征值具體數(shù)值。而若能獲得特征值數(shù)值，則能獲知舞動(dòng)激發(fā)振型和頻率，借此判斷舞動(dòng)形態(tài)。數(shù)值方法能輕松求解出特征值[6]，然而，其不利于了解舞動(dòng)激發(fā)機(jī)理，更為關(guān)鍵的是，常規(guī)的基于局部基函數(shù)的導(dǎo)線舞動(dòng)有限元方法[7]通常無(wú)法求出氣動(dòng)剛度和氣動(dòng)阻尼項(xiàng)簡(jiǎn)潔表達(dá)式，使之無(wú)法應(yīng)用。采用解析解，對(duì)于方程階數(shù)高至一元四次方程，即相應(yīng)于二自由度問(wèn)題，均可以利用求根公式給出其確切的解的形式。然而一元四次方程代數(shù)解相較而言極為復(fù)雜，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用已沒有多少價(jià)值。

綜合上述對(duì)于特征值求解的局限，使現(xiàn)今對(duì)于舞動(dòng)機(jī)理的認(rèn)識(shí)依舊主要停留在Den Hartog機(jī)理和Nigol機(jī)理。當(dāng)然，如果一元四次方程的各階系數(shù)足夠巧合以至于求根公式能夠得到簡(jiǎn)化，則也可以加以利用。Kathleen F Jone[8]利用軟件包“Mathematica”計(jì)算了二維豎向和水平向平動(dòng)耦合下自振頻率相同時(shí)的特征根，據(jù)此判斷出各氣動(dòng)力參數(shù)的影響。然而，當(dāng)研究對(duì)象變?yōu)樨Q向與扭轉(zhuǎn)耦合或是水平向與扭轉(zhuǎn)耦合時(shí)，求根公式所得結(jié)果將變得極為復(fù)雜。

對(duì)于N>2的高階方程，精確解析解無(wú)法求得，則更合理的方法是獲取近似解析解。對(duì)于舞動(dòng)的一般認(rèn)識(shí)是，導(dǎo)線舞動(dòng)頻率將接近于低階自振頻率，即結(jié)構(gòu)阻尼、氣動(dòng)阻尼和氣動(dòng)剛度項(xiàng)對(duì)特征頻率的影響很小，若能全部或部分視為小量，則應(yīng)能采用小參數(shù)攝動(dòng)理論加以求解，此方法即矩陣特征值攝動(dòng)方法[9-12]。通常此方法用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)以節(jié)省計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、加快運(yùn)算，如在非比例阻尼時(shí)的結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)計(jì)算[13]、結(jié)構(gòu)參數(shù)小幅變化時(shí)的固有模態(tài)計(jì)算[14]等方面。A Luongo 和G Piccardo[15]利用該方法對(duì)豎向和水平順風(fēng)向二維平動(dòng)耦合體系給出了特征值非共振解和共振解，據(jù)此得到起舞風(fēng)速關(guān)于氣動(dòng)力參數(shù)的表達(dá)式。對(duì)于準(zhǔn)共振情形，則依氣動(dòng)力系數(shù)劃分給出了起舞風(fēng)速隨頻率比的變化規(guī)律。其問(wèn)題在于：依舊停留在兩自由度體系的討論，忽略了通常被認(rèn)為對(duì)導(dǎo)線舞動(dòng)具有極其重要作用的扭轉(zhuǎn)向。

本文將采用矩陣特征值攝動(dòng)法用以研究覆冰輸電導(dǎo)線舞動(dòng)問(wèn)題，推導(dǎo)出包含豎向、水平向(順風(fēng)向)和扭轉(zhuǎn)向的三自由度體系特征值實(shí)部一階攝動(dòng)解，在此基礎(chǔ)上分析舞動(dòng)激發(fā)機(jī)理和相關(guān)舞動(dòng)特性。

2 矩陣特征值攝動(dòng)法

對(duì)于某結(jié)構(gòu)，若初始質(zhì)量矩陣M=M0，阻尼矩陣C=C0，剛度矩陣K=K0，則當(dāng)其參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)，相應(yīng)新矩陣可分別記為：

(3)

這里ε為小參數(shù)。記λi為第i個(gè)特征值，vi，ui為相對(duì)應(yīng)左、右特征向量，滿足：

(4)

對(duì)于λi，其可表示為按ε展開的冪級(jí)數(shù)

λi=λi,0+ελi,1+ε2λi,2+o(ε2)

(5)

vi和ui亦可作相同形式的展開。將冪級(jí)數(shù)代入式(4)并比較至ε的一階同次冪可得下述等式：

(6)

利用上述式(6)中前兩式可求得零階特征項(xiàng)λi，0,vi，0和ui,0，繼而利用后兩式并結(jié)合左、右特征向量正交性條件[16]可得特征值一階攝動(dòng)解為

(7)

(8)

通過(guò)合理的將舞動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程中參數(shù)視為微小變化參數(shù)項(xiàng)，求出所有特征值實(shí)部，便可基于Ляпунов一次近似理論判斷舞動(dòng)是否激發(fā)。值得注意的是，當(dāng)λi,0為重根時(shí)，式(7)不再適用。

3 三自由度體系實(shí)部攝動(dòng)解

圖1 三自由度體系示意圖Fig.1 3 DOF system

3.1 一次線性方程各矩陣項(xiàng)

(1)質(zhì)量矩陣

(9)

(2)結(jié)構(gòu)剛度矩陣

(10)

(3)氣動(dòng)阻尼矩陣

Ca=

(11)

(4)氣動(dòng)剛度矩陣

(12)

上述矩陣中各參數(shù)項(xiàng)含義如下所述：

(1)m為分裂導(dǎo)線單位長(zhǎng)度質(zhì)量，I為單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Sy0和Sz0為單位長(zhǎng)度靜質(zhì)量矩；R為分裂導(dǎo)線外接圓半徑。

對(duì)于結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，在廣義位移方程下可表示為

(13)

相應(yīng)結(jié)構(gòu)阻尼矩陣應(yīng)為

(14)

3.2 離散頻率時(shí)攝動(dòng)解

在覆冰偏心對(duì)自振模態(tài)亦影響很小下，可取零階質(zhì)量矩陣為單位矩陣。通常認(rèn)為舞動(dòng)時(shí)周期接近于導(dǎo)線自振周期，可認(rèn)為阻尼項(xiàng)為小量。氣動(dòng)剛度矩陣項(xiàng)中涉及到風(fēng)速平方項(xiàng)，則在高風(fēng)速下不能視為小量，故統(tǒng)一將其納入零階剛度部分。綜上各階矩陣表示如下：

(1)零階項(xiàng)

M0=E3×3，C0=O3×3，K0=K+Ka

(15)

(2)一階項(xiàng)

M1=(M-E3×3)/ε，K1=O3×3/ε

C1=C/ε=(Cξ+Ca)/ε

(16)

利用式(6)可求得相應(yīng)零階特征值：

可以看出扭轉(zhuǎn)頻率零階解隨風(fēng)速增大而發(fā)生改變。

對(duì)于λ1,0，其左、右特征向量可表示為：

(17)

且滿足關(guān)系式

(18)

將上述特征向量代入式(7)得

(19)

進(jìn)一步應(yīng)用范化條件式(8)和關(guān)系式(18)可求得λ1實(shí)部一階攝動(dòng)解

(20)

同理可求得其余攝動(dòng)解：

Re(λ2)=Re(λ1)

(21)

Re(λ3)=Re(λ4)=

(22)

(23)

3.3 舞動(dòng)機(jī)理

上述Re(λ1)和Re(λ2)對(duì)應(yīng)于ωy，可記為Re(λy)，若為正，則由零階右特征向量可以看到此時(shí)豎向?yàn)橹髡裥臀鑴?dòng)將得到激發(fā)。Re(λ3)和Re(λ4)對(duì)應(yīng)于ωz，可記為Re(λz)，若為正，則水平為主振型舞動(dòng)將得到激發(fā)。Re(λ5)和Re(λ6)對(duì)應(yīng)于ωθ，可記為Re(λθ)，若為正，則扭轉(zhuǎn)為主振型舞動(dòng)將得到激發(fā)。相應(yīng)豎向、水平、扭轉(zhuǎn)零階特征值可分別記為λy,0，λz,0，λθ,0。

Den Hartog機(jī)理針對(duì)豎向運(yùn)動(dòng)單自由度體系，相應(yīng)豎向特征值實(shí)部為

(24)

則Re(λy)可表示單自由度項(xiàng)Re(λDen)與附加項(xiàng)Re(λy,add)之和。

Nigol機(jī)理可視為針對(duì)扭轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)單自由度體系，相應(yīng)扭轉(zhuǎn)向特征值實(shí)部為

(25)

則Re(λθ)可表示為Re(λNig)與兩附加項(xiàng)Re(λθ,add1)，Re(λθ,add2)之和。

對(duì)于水平項(xiàng)，單自由度體系下相應(yīng)特征值實(shí)部解為

Re(λH)=-ξzω2

(26)

則Re(λz)可表示為Re(λH)與附加項(xiàng)Re(λz,add)之和。

上述式(24)～(26)可統(tǒng)一稱之為單自由度解。

就舞動(dòng)形態(tài)而言，豎向激發(fā)可視為對(duì)應(yīng)于以豎向?yàn)橹鞯腄en Hartog機(jī)理，扭轉(zhuǎn)激發(fā)可視為對(duì)應(yīng)于同時(shí)存在扭轉(zhuǎn)和豎向的Nigol機(jī)理。不過(guò)由實(shí)部解式(20)～(23)可以看出，由于相應(yīng)分別多出了一或兩個(gè)附加項(xiàng)，當(dāng)其影響較大時(shí)，采用Den Hartog機(jī)理和Nigol機(jī)理將并不能用于準(zhǔn)確判斷上述兩種形態(tài)什么條件下得到激發(fā)，乃至有可能得到截然相反的論斷。Nigol機(jī)理同時(shí)還需要豎向與扭轉(zhuǎn)自振頻率相接近這一條件，而由于扭轉(zhuǎn)向頻率受氣動(dòng)剛度的影響，故更本質(zhì)的而言如上所述應(yīng)是當(dāng)λθ,0與λy,0接近時(shí)。與此同時(shí)可以看出由于CD恒大于零，單自由度解亦忽略了水平向激發(fā)舞動(dòng)的可能性。

4 附加項(xiàng)分析方法

4.1 簡(jiǎn)化

一階攝動(dòng)解附加項(xiàng)涉及到覆冰導(dǎo)線自身物理特性、自振頻率和氣動(dòng)力等諸多參數(shù)，若取Re(λi)=0，則理論上將得到關(guān)于風(fēng)速U的一元三次方程。引言中提及盡管有解析解，不過(guò)非常復(fù)雜，并不利于分析。為此需要采用更合適的處理方法用以分析附加項(xiàng)對(duì)舞動(dòng)激發(fā)的影響。

對(duì)于附加項(xiàng)，由于具有下列關(guān)系式：

(27)

其相當(dāng)于對(duì)三個(gè)單自由度解之間做了相互調(diào)劑，實(shí)際上只需考慮Re(λθ,add1)和Re(λθ,add2)兩項(xiàng)。不過(guò)若兩者同時(shí)考慮，牽扯參數(shù)仍舊過(guò)多，為此有必要進(jìn)一步簡(jiǎn)化分析。

Re(λθ)可進(jìn)一步表示為

(28)

其中：

(29)

此時(shí)假定可近似忽略ζθ2，考慮ζθ1起主要作用，即近似取ζθ=ζθ1。附加項(xiàng)將主要對(duì)豎向和扭轉(zhuǎn)向起作用。

此時(shí)假定可近似忽略ζθ1，考慮ζθ2起主要作用，即近似取ζθ=ζθ2。附加項(xiàng)將主要對(duì)水平向和扭轉(zhuǎn)向起作用。

前述三自由度方程若忽略水平向，求得包含豎向和扭轉(zhuǎn)向的二自由度體系一階攝動(dòng)特征值解，可以發(fā)現(xiàn)與上述忽略ζθ2時(shí)等效；同樣的，若忽略豎向，求得包含水平向和扭轉(zhuǎn)向的二自由度體系特征值，可以發(fā)現(xiàn)與上述忽略ζθ1時(shí)等效；即上述兩種分類實(shí)質(zhì)上是能將三自由度體系拆解成一個(gè)二自由度體系和一個(gè)單自由度體系來(lái)分別考慮。

4.2 舞動(dòng)激發(fā)判別

對(duì)于Re(λy)，類似于前述扭轉(zhuǎn)向可進(jìn)一步表示為

(30)

為判斷何時(shí)豎向舞動(dòng)激發(fā)，令Re(λy)>0，則有：

(31)

(32)

即有滿足上式時(shí)激發(fā)豎向舞動(dòng)。這里μDen即在μ1中風(fēng)速項(xiàng)用UDen替代，UDen為Den Hartog起舞風(fēng)速。

(1)Ⅰ類：Uyθ>U>0時(shí)，ζy由零遞增至正無(wú)窮。U>Uyθ時(shí)，ζy由負(fù)無(wú)窮遞增至某一極限值。

(2)Ⅱ類：與Ⅰ類恰好相反。

(3)Ⅲ類：ζy由零遞增至某一極限值。

(4)Ⅳ類：ζy則由零遞減至某一極限值。

記ηy=UDen/U-1，則可以通過(guò)兩條曲線ηy=ηy(U)和ζy=ζy(U)位置關(guān)系判斷Re(λy) 正負(fù)情況繼而得知豎向舞動(dòng)是否激發(fā)。曲線ηy其為經(jīng)豎向平移的反比例函數(shù)曲線，根據(jù)UDen正負(fù)有兩種形式：

(1)由正無(wú)窮遞減至某一極限值。

(2)由負(fù)無(wú)窮遞增至某一極限值。

表1 六類氣動(dòng)力

5 氣動(dòng)力一、二類舞動(dòng)激發(fā)特性

圖2 JD-6覆冰Fig.2 Ice accretion of JD-6

表2 JD-6覆冰子導(dǎo)線參數(shù)

圖3 氣動(dòng)力系數(shù)Fig.3 Coefficient of aerodynamic forces

圖4 不同時(shí)ζκ隨風(fēng)速增長(zhǎng)曲線s. ζκ

表3 174°和74°風(fēng)攻角氣動(dòng)力參數(shù)

5.1 174°風(fēng)攻角

τ小于1時(shí)，U

圖5 174°風(fēng)攻角豎向特征值實(shí)部解比較Fig.5 Comparison of vertical real part for 174°

圖6 174°風(fēng)攻角起舞風(fēng)速比較Fig.6 Comparison of critical wind velocity for 174°

圖7 174°風(fēng)攻角起舞頻率Fig.7 Comparison of critical frequency for 174°

圖8 174°風(fēng)攻角τ=1.30，風(fēng)速為10 m/s時(shí)豎向運(yùn)動(dòng)時(shí)程Fig.8 Vertical vibration for 174°,τ=1.30,U=10 m/s

圖9 174°風(fēng)攻角水平向特征值實(shí)部比較Fig.9 Comparison of horizontal real part for 174°

圖9給出了174°風(fēng)攻角水平向不同頻率比下特征值實(shí)部數(shù)值解與單自由度解(圖中“S”曲線指代單自由度解)，由各條曲線幾乎完全重合可以看出，此時(shí)Re(λz,add)近乎于零，表明確實(shí)可忽略ζθ2。

上圖中各條線符號(hào)所指代特征值實(shí)部意義分別為：y為豎向數(shù)值解；yp為豎向一階攝動(dòng)解；ys為豎向單自由度解；θ為扭轉(zhuǎn)數(shù)值解；θp為扭轉(zhuǎn)一階攝動(dòng)解；θs為扭轉(zhuǎn)單自由度解。

5.2 74°風(fēng)攻角

圖10 74°風(fēng)攻角豎向特征值實(shí)部解比較Fig.10 Comparison of vertical real part for 174°

6 結(jié) 論

(1)相較于Den Hartog和Nigol機(jī)理所得到相應(yīng)特征值單自由度解，一階攝動(dòng)解將分別多出一或二個(gè)附加項(xiàng)。附加項(xiàng)數(shù)值大小取決于覆冰模型物理參數(shù)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性以及氣動(dòng)力參數(shù)。

(2)由特征向量零階解可知舞動(dòng)位移激發(fā)主要可分為三類：豎向、水平向、扭轉(zhuǎn)伴隨平動(dòng)(豎向或水平向)。Den Hartog和Nigol機(jī)理體現(xiàn)出了上述第一和第三種激發(fā)位移形態(tài)，但由于附加項(xiàng)的存在單純應(yīng)用上述兩機(jī)理相應(yīng)系數(shù)將無(wú)法準(zhǔn)確判斷舞動(dòng)激發(fā)特性。

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Matrix perturbation method for analysis of 3 DOF iced
transmission line galloping mechanism

JIANGXiong，LOUWen-juan

(Institute of Structural Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China)

A three degree-of-freedom lumped model of iced transmission line conductors with discrete frequencies subjected to galloping is analyzed. Through a matrix perturbation method，the approximate analytical solution of the eigenvalue real parts is determined. Different from the expressions by Den Hartog and Nigol mechanism, there comes one or two additional terms. Galloping mechanisms are then discussed based on the eigenvalue solutions and are grouped according to their modal shapes into three classes. Aerodynamic forces can be classified into 6 types when additional terms mainly affect the vertical real part. Take JD-6 iced bundle conductors for example, the perturbation solution has a satisfactory precision in comparison with numerical results. For the first two types with a negative Den Hartog coefficient, galloping excitation characteristics can be totally different compared with analyses according to the Den Hartog mechanism when the additional terms are large enough; meanwhile, galloping also differs a lot depend on the plus or minus characteristic of derivation of the torsional aerodynamic coefficient.

iced transmission line; galloping; eigenvalue real part; 3 DOF; aerodynamic force

2015-11-04；

2016-04-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178424，51378468)

TU311.3; TM751

1004-4523(2016)06-1070-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.017

姜雄(1987—)，男，博士研究生。電話：13429105502；E-mail：11012014@zju.edu.cn