周亞東， 費慶國， 吳邵慶， 譚志勇

(1. 東南大學工程力學系，江蘇 南京 210096；2. 美國西北大學機械工程系，埃文斯頓，伊利諾伊 60208;3. 江蘇省工程力學分析重點實驗室，江蘇 南京 210096；4. 空間物理國家重點實驗室，北京 100076)

C/SiC材料疲勞試驗加載頻率的數(shù)值研究①

周亞東1, 2， 費慶國1, 3， 吳邵慶3， 譚志勇4

(1. 東南大學工程力學系，江蘇 南京 210096；2. 美國西北大學機械工程系，埃文斯頓，伊利諾伊 60208;3. 江蘇省工程力學分析重點實驗室，江蘇 南京 210096；4. 空間物理國家重點實驗室，北京 100076)

材料S-N曲線和結構動應力響應是聲疲勞壽命評估的兩個要素，而熱結構材料C/SiC的S-N曲線具有強的頻率依賴性。為得到典型C/SiC材料熱結構聲疲勞壽命評估可用的S-N曲線，分析了隨機信號的水平穿越問題，導出隨機信號的正斜率穿越率計算公式。論證了隨機信號的正斜率零穿越率表征了信號的統(tǒng)計平均頻率，且可直接由功率譜密度函數(shù)計算得到。對一C/SiC加筋壁板在聲壓載荷下的隨機動響應進行數(shù)值仿真，在聲載荷下壁板3個典型部位動應力響應的平均頻率的最大值為532 Hz，數(shù)值算例驗證了正斜率零穿越率與隨機信號在單位時間內的循環(huán)次數(shù)近似相等。因此在對該結構壽命評估前，測定材料S-N曲線應使試驗加載頻率盡可能接近532 Hz。

聲疲勞；C/SiC材料；S-N曲線；頻率依賴性；加載頻率

引 言

陶瓷基復合材料(Ceramic Matrix Composites, CMCs)具有耐高溫、高比強度、高比剛度、熱穩(wěn)定性好等優(yōu)點，成為高超聲速飛行器熱防護系統(tǒng)(Thermal Protection System, TPS)和熱結構(Hot Structure)的理想材料[1-2]。作為目前高超聲速飛行器防熱與承力一體化結構的主要材料之一，由化學氣相滲透(Chemcal Vapor Infiltration, CVI)工藝制備的碳纖維增強陶瓷基復合材料C/SiC具有優(yōu)良的力學性能，在高超聲速飛行器防熱結構上具有廣泛的應用前景。高超聲速飛行器的壁板結構，在高速飛行時承受著氣動加熱、氣動噪聲和氣動力載荷；這種高溫、高強噪聲環(huán)境導致壁板類結構在服役中長期處于高頻振動應力狀態(tài)。張坤等[3]通過對薄壁結構的振動疲勞研究發(fā)現(xiàn)，當結構所受外載荷可同時激起其基頻模態(tài)和高階模態(tài)時，若高階模態(tài)具有和基頻模態(tài)相似的特征，則它們之間相互耦合將對結構造成遠大于單獨激起某一階模態(tài)時的損傷，致使結構的疲勞壽命急劇下降。

與常規(guī)動載荷相比，聲載荷具有顯著的特點[4]：1)激勵頻率范圍寬，約處在幾十赫茲至8000 Hz左右；2)能量輸入量與結構表面積呈正比；3)聲場直接作用于結構表面，存在聲-結構耦合振動現(xiàn)象；4)噪聲對板殼類結構激勵效果明顯，能夠激發(fā)其高階模態(tài)。所以，在聲激勵下熱防護壁板易產(chǎn)生共振，振動頻率較高[5]。在寬頻帶的隨機聲載荷下，壁板類結構在較短時間內就可能產(chǎn)生高次數(shù)的應力循環(huán)，其聲疲勞失效是一個必須關注的問題[6]。

聲激勵頻帶覆蓋壁板結構的多階固有頻率，結構危險部位高頻率的應力循環(huán)帶來的危害不僅僅是累積次數(shù)快的問題，還應考慮到頻率對材料疲勞性能的影響，因為一些復合材料的疲勞性能表現(xiàn)出強的頻率依賴性(Frequency-dependence)；這類材料由于在高加載頻率下內部生熱或在低頻率下發(fā)生蠕變，交變載荷的頻率對其疲勞壽命有很大影響[7]。Kharrazi等研究發(fā)現(xiàn)熱降解速率隨頻率升高而增大，玻璃纖維增強乙烯基酯材料(Glass-fabric-reinforced vinyl-ester)的疲勞損傷累積具有頻率依賴性，其S-N曲線由加載頻率嚴格控制[8]。Ruggles-Wrenn等先后(2008, 2011)研究了N720/A連續(xù)纖維增強陶瓷基復合材料和CVI SiC/SiC陶瓷基復合材料的疲勞性能的頻率效應[9-10]。由化學氣相滲透工藝制備的C/SiC的疲勞性能同樣具有很強的頻率依賴性，在不同加載頻率下進行試驗，得到的S-N曲線將存在很大差異。張立同研究了C/SiC材料在20和60 Hz加載頻率下的疲勞性能，在室溫下保持相同應力水平，20時高于60 Hz時的疲勞壽命，且隨著應力水平的增大，20時的疲勞壽命下降速率比60 Hz時的小[11]；Staehler等[12]在4,40和375 Hz下進行由CVI工藝制備的C/SiC復合材料的疲勞試驗，結果顯示在高頻(375 Hz)下C/SiC的S-N曲線位于低頻(4和40 Hz)時的左側，且隨循環(huán)周數(shù)增加差距增大，分析其原因是在交變載荷下，編織材料內部界面摩擦導致材料內部生熱，高頻下局部溫度更高從而產(chǎn)生局部氧化，使其疲勞性能退化[12]。可見，對于C/SiC陶瓷基復合材料，使用不同的加載頻率進行疲勞試驗得到的S-N曲線差異很大。而材料S-N曲線描述了應力水平與循環(huán)次數(shù)的對應關系，是表征材料疲勞性能的基本數(shù)據(jù)，合理精確的S-N數(shù)據(jù)是熱防護結構聲疲勞壽命評估的重要前提條件。針對C/SiC材料S-N曲線的強頻率依賴性，在疲勞試驗前則有必要對熱結構在工作狀態(tài)下的應力循環(huán)進行預分析，根據(jù)應力循環(huán)的特征，選擇合理的疲勞試驗加載頻率，從而獲得面向結構真實工作狀態(tài)的材料S-N曲線。

劉文光等[13]提出跟蹤結構共振頻率的頻帶激勵共振疲勞測試方法，對板結構進行了共振疲勞試驗。邵闖等[14]利用振動臺及剛性質量塊產(chǎn)生具有固定頻率的交變載荷，以1000 Hz左右的交變載荷激勵試驗件，實現(xiàn)了材料的高頻振動疲勞試驗。中國航空行業(yè)標準[15]中對疲勞試驗的加載頻率的要求是：在各點能夠協(xié)調的前提下，應選擇一個合適的加載頻率，以結構及其加載設備產(chǎn)生的慣性載荷不影響試驗結果為原則。這不涉及材料疲勞性能的頻率依賴性。本文首先簡要闡述隨機聲載荷下結構疲勞壽命評估的頻域方法，基于隨機振動響應，分析隨機信號的統(tǒng)計特性，進而分析基于頻域響應確定C/SiC材料疲勞試驗的加載頻率。

1 聲疲勞評估的頻域方法

疲勞壽命預測通常采用時域方法，即對應力/應變的時間歷程循環(huán)計數(shù)，得到幅值-均值直方圖后，根據(jù)材料的疲勞性能進行疲勞壽命預測。而隨機聲載荷下的結構疲勞屬于隨機振動疲勞，其疲勞壽命與結構的動態(tài)特性有關，在頻域內計算結構的隨機振動響應較時域方法方便?；趧討β首V密度(Power Spectral Density, PSD)的頻域疲勞分析方法因計算效率高、精度滿足工程要求，近年來在航空航天、車輛、船舶等結構的隨機振動疲勞分析中逐漸得到廣泛運用[16-18]。在頻域方法中，首先基于結構有限元模型計算激勵對響應的傳遞函數(shù)，以計算應力響應PSD；再運用合理的估計模型，將動應力PSD轉化為應力幅值概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)，常用的估計模型有Bendat窄帶估計模型、Wirsching-Light模型、Dirlik模型和Benasciutti-Tovo模型等，其中Dirlik模型對于寬帶過程具有良好的精度[19]。此外，材料S-N數(shù)據(jù)是隨機振動疲勞壽命預測的另一要素。常用的S-N曲線形式有：指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，Basquin公式等[20]。其中，雙對數(shù)形式的冪函數(shù)公式如下式所示

SkN=C

(1)

式中k,C為材料常數(shù)。

在獲得結構危險部位動應力幅值PDF和材料S-N曲線后，根據(jù)Palmgren-Miner線性累積損傷準則，結構危險部位的疲勞損傷率為

(2)

式中s為應力幅；p(s)為應力PDF；vp表示應力峰值頻次的期望，單位為次/秒。損傷率的倒數(shù)即為疲勞壽命，若給定時間長度t，則疲勞損傷量為

(3)

若D達到臨界值1，則認為結構發(fā)生疲勞失效。可見，材料S-N曲線和結構動應力響應是結構隨機聲疲勞壽命評估的兩個必要方面，S-N數(shù)據(jù)的準確性對聲疲勞壽命預測有著很大影響。

2 平均頻率的計算分析

若熱結構的動應力響應時程為簡諧函數(shù)，則其振動頻率是單一的，在頻域內的形狀類似于Dirac函數(shù)，振動能量集中在該頻率點處，若要得到該結構材料的S-N曲線，則試驗以該頻率進行加載即可。但聲載荷下結構的響應往往分布在較寬的頻帶內，且不同頻帶的能量分布不均勻。為確定寬帶響應下的加載頻率，下面分析隨機信號的統(tǒng)計特性。

平穩(wěn)隨機過程X(t)，取任意時間長度(t,t+Δt]，計算在此間隔內幅值達到x=a的次數(shù)，記為Na(t,t+Δt)，對于每個樣本，Na(t,t+Δt)都有不同的觀測值，所以它是一個隨機變量。若每次穿越x=a是獨立的且穿越率是平穩(wěn)的，則計數(shù)過程Na(t)是一個Poisson過程，完全由穿越率λ決定。Na(t)的數(shù)學期望和方差分別為[21]

μNa(t)=E(Na(t))=λt

(4)

(5)

其中，E(·)表示數(shù)學期望。

首次穿越時間Y服從指數(shù)分布，且首次穿越時間的數(shù)學期望為

μY=E(Y)=1/λ

(6)

預定值的穿越率及穿越時間的概率分布問題被稱為首次穿越時間問題(The first-passage time problem)[22]。

進一步設X(t)是零均值、平穩(wěn)隨機過程，為了物理意義明顯，不妨將其視為位移信號，則其一階導數(shù)和二階導數(shù)分別是速度、加速度。由于X(t)的平穩(wěn)性，則在時間間隔(t,t+Δt]內水平穿越的期望取決于區(qū)間長度Δt

E[Na(t,t+Δt)]=E[Na(Δt)]

(7)

并且水平穿越的期望是Δt的遞增函數(shù)。記va為單位時間內穿越的期望，則

E[Na(Δt)]=vaΔt

(8)

由于正斜率穿越與負斜率穿越的相關性，只需對正斜率穿越作分析。正斜率穿越率的數(shù)學期望為

(9)

若X(t)是連續(xù)、可微的，當區(qū)間長度Δt趨于0，則在Δt內正斜率穿越x=a的次數(shù)不大于1[23]。把在無窮小時段dt有一次正斜率穿越x=a，記為事件A：

A={在dt內正斜率穿越x=a的次數(shù)=1}

則，在dt內正斜率穿越次數(shù)的概率分布可表示為

(10)

則在dt內正斜率穿越次數(shù)的數(shù)學期望

E(Na+(dt))=1·P(A)+

0·[1-P(A)]=P(A)

(11)

另一方面，由式(8)，正斜率穿越次數(shù)的期望也可寫為

E[Na+(dt)]=va+dt

(12)

聯(lián)立式(11)和(12)，得到

va+dt=P(A)

(13)

為了使在(t,t+Δt]上存在正斜率穿越x=a，X(t)需滿足[23]：1)X(t)在區(qū)間起點處的值小于a，在區(qū)間終點處的值大于a；2)在區(qū)間起點處X(t)的斜率為正值。

綜合上述兩個條件，P(A)可表示為

(14)

圖1 事件A發(fā)生在平面的面積Fig.1

(15)

(16)

因此，正斜率穿越率可由下式計算

(17)

(18)

代入高斯分布的概率密度函數(shù)，得到

(19)

為了得到信號單位時間以正斜率越過t軸(x=0)的期望值，即正斜率零穿越率，對式(19)，令a=0

(20)

v0+表示單位時間內隨機過程以正斜率穿越t軸次數(shù)的數(shù)學期望。對于隨機振動響應，v0+即為振動頻率的數(shù)學期望，表征了隨機振動的統(tǒng)計平均頻率[23]。而用結構響應的平均頻率來確定疲勞試驗的加載頻率是合理的，所以v0+對于疲勞性能具有強頻率依賴性材料的疲勞試驗具有重要意義。

進一步地，由于

(21)

(22)

式中 SX(ω)和GX(f)分別是X(t)的雙邊功率譜密度和單邊功率譜密度。

由此可得，統(tǒng)計平均頻率可由隨機信號的PSD函數(shù)的矩表示為

(23)

式(23)給出了基于結構上響應PSD計算隨機振動的統(tǒng)計平均頻率的方法。隨機聲載荷下結構的動響應PSD可通過試驗或計算得到，在熱結構設計階段，一般借助數(shù)值仿真計算得到結構的響應并進行評估與優(yōu)化。由分析可知，對于S-N曲線具有強頻率依賴性的C/SiC結構材料，在測試其S-N曲線前，可由結構響應的正斜率零穿越率計算結構上危險部位振動的統(tǒng)計平均頻率，以此為疲勞試驗的加載頻率，從而使測得的S-N曲線在統(tǒng)計意義上符合結構在聲載荷下疲勞壽命評估的要求。

3 算例研究

首先，用一個已知的隨機信號數(shù)值算例驗證基于功率譜密度函數(shù)估算統(tǒng)計平均頻率的準確性。使用MATLAB生成均值為零，標準差為100 MPa，高斯分布的應力時域信號，長度為1 s，采樣頻率800 Hz，波形如圖 2所示。

圖2 時域隨機信號Fig.2 Random signal in time domain

對于一個時間長度不長的時域信號，可直接通過循環(huán)計數(shù)的方法得到其循環(huán)次數(shù)，上述時域信號的循環(huán)次數(shù)為201。另一方面，圖 3給出了由Burg法得到信號的功率譜密度函數(shù)估計，對其應用式(23)計算得到平均頻率為209 Hz，與直接循環(huán)計數(shù)得到的結果相差4.0%?？梢姡谛盘朠SD計算得到隨機信號的平均振動頻率與時域循環(huán)計數(shù)的結果偏差小，滿足工程要求。

圖3 信號的功率譜密度曲線Fig.3 The signal PSD curve

建立一典型熱防護結構中的加筋壁板有限元模型，分析其在聲載荷下的振動頻率特性。矩形壁板的面內尺寸為600 mm×400 mm，厚度為4 mm，使用殼單元建模，筋條用梁單元設置偏置建模，有限元單元總數(shù)為690，節(jié)點總數(shù)為651，如圖4所示。板的邊界條件為四邊簡支，輸入條件為垂直作用在板面上的聲壓，其功率譜密度由美國軍用標準MIL-STD-810D中的聲載荷1/3倍頻程譜轉換得到[24]，總聲壓級為160 dB(參考聲壓2×10-5Pa)。

圖4 加筋壁板有限元模型Fig.4 Finite element model of the stiffened panel

模型中C/SiC材料面內拉壓彈性模量E11=E22=91 GPa，法向拉壓彈性模量E33=70 GPa，3個剪切模量為50 GPa，3個泊松比為0.1，密度為2000 kg/m3。首先對簡支加筋壁板進行模態(tài)分析，以獲得結構的固有動特性，前6階固有頻率依次為460,706,843,851,888和944 Hz。分析壁板在聲壓激勵下的動響應，分析頻率為45～2000 Hz，頻率步長為1 Hz。壁板長邊中點、壁板短邊中點及壁板中央，3個典型位置的動應力響應PSD如圖5所示。

圖5 典型位置應力PSDFig.5 Stress PSD at typical locations

依據(jù)式(23)計算各響應點的正斜率零穿越率，計算結果分別為為469,532和505 Hz，如表 1第一列所示?？梢?，三個典型位置的平均頻率計算結果與壁板的一階模態(tài)頻率(460 Hz)較為接近。分析其原因在于，本算例中的簡支單塊壁板在均勻聲壓激勵下其一階模態(tài)為主導模態(tài)，響應PSD在一階模態(tài)頻率處的峰值大于其他峰值至少2個數(shù)量級，振動能量較多的集中在一階模態(tài)頻率附近。

表1 正斜率零穿越率與循環(huán)計數(shù)結果

為檢驗基于壁板響應PSD計算統(tǒng)計平均頻率的準確性，下面通過將頻域響應PSD依據(jù)下式反演為信號的時域樣本進行驗證[25]

(24)

式中 x(t)為信號的一個時域樣本；N表示將PSD的頻帶等分為N個小區(qū)間；fn為第n個小區(qū)間的中心頻率；G(fn)代表PSD在第n個小區(qū)間上的數(shù)值；Δf為區(qū)間寬度；θn為在[0,2π]上服從均勻分布的隨機變量，t為時間。將前述壁板3個典型位置的應力PSD轉換成時域信號并循環(huán)計數(shù)，圖 6為長邊中點應力響應PSD轉換成1 s長度的時域信號的結果，將3個轉換得到的時間歷程進行循環(huán)計數(shù)，單位時間內的次數(shù)列在表 1中。

可見，由響應PSD計算的正斜率零穿越率與時域循環(huán)計數(shù)所得結果，最大誤差為4.6%，滿足工程要求。并且由于正斜率零穿越率表示的是隨機信號單位時間內循環(huán)次數(shù)的數(shù)學期望，可以推知，足夠多時域樣本的循環(huán)次數(shù)平均值將逼近于正斜率零穿越率。

圖6 由響應PSD轉換得到的時域信號Fig.6 A time-domain signal regenerated from responses PSD

4 結 論

熱防護加筋壁板類結構在寬頻聲載荷下將產(chǎn)生高頻動應力響應。熱結構材料C/SiC的S-N曲線具有強的頻率依賴性，在不同加載頻率下進行試驗，得到的S-N曲線差異很大。為得到熱結構隨機聲疲勞壽命評估可用的S-N曲線，需要考慮材料疲勞性能的頻率依賴性。根據(jù)本文的分析和數(shù)值算例，有如下結論：

1) 平穩(wěn)隨機信號的正斜率零穿越率表征了其統(tǒng)計平均頻率，且可直接由信號功率譜密度函數(shù)計算得到。因而，對于S-N曲線具有強頻率依賴性的C/SiC復合材料結構，在測試其S-N曲線前，可由結構響應的正斜率零穿越率計算結構上危險部位振動的統(tǒng)計平均頻率，以此為疲勞試驗的加載頻率，從而使測得的S-N曲線在統(tǒng)計意義上符合結構在聲載荷下疲勞壽命評估的要求。

2) C/SiC材料周邊簡支加筋壁板的數(shù)值仿真表明，壁板3個典型部位動應力響應的平均頻率的最大值為532 Hz，因此對其測定S-N曲線應使試驗加載頻率盡可能接近532 Hz.

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Numerical investigation of the loading frequency for
fatigue test of C/SiC materials

ZHOUYa-dong1,2,FEIQing-guo1,3,WUShao-qing3,TANZhi-yong4

(1. Department of Engineering Mechanics, Southeast University, Nanjing 210016, China;
2. Department of Mechanical Engineering, Northwestern University, Evanston, IL 60208, USA;
3. Jiangsu Key Laboratory of Engineering Mechanics, Nanjing 210016, China;
4. State Key Laboratory of Space Physics, Beijing 100076, China)

TheS-Ncurve of material and dynamic stress responses are two necessary elements for acoustic fatigue life assessment of hot structures. However, theS-Ncurves of C/SiC material for hot structures are of great frequency-dependence. In order to obtain the properS-Ncurve of C/SiC material for the fatigue life assessment of typical hot structures subjected to the random acoustic loading, the level-crossing problem of a random signal was analyzed. The expected level-up crossing was deduced. The zero-up crossing was demonstrated to characterize the expected frequency of a random process. And the zero-up crossing can be calculated using the power spectral density function of the process. The finite element model of a stiffened panel was constructed and the power spectral density of stress responses of the panel at three representative locations were calculated under the excitation of acoustic loading. Numerical analysis was conducted to examine the accuracy of zero-up crossing to represent the average cycles per second of a Gaussian-distributed random signal. Numerical results show a good agreement. The maximum of the three zero-up crossings is 532 Hz. Thus, the fatigue test to obtainS-Ndata need to be conducted at the loading frequency of 532 Hz as far as possible.

acoustic fatigue; C/SiC materials;S-Ncurve; frequency-dependence; loading frequency

2014-04-08；

2015-10-25

國家自然科學基金資助項目(11402052; 11572086)；教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃(NCET-11-0086)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK20140616)；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目(KYLX-0093)

O346.2+3; TB334; O324

1004-4523(2016)06-0985-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.006

周亞東(1987—),男，博士研究生。電話：1-773-807-5578(美國)；E-mail:yadong.zhou@northwestern.edu

費慶國(1977—),男,教授。電話:(025)83790168;E-mail:QGFei@seu.edu.cn