基于微粒群算法的中制導(dǎo)彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)

邵雷1,雷虎民1,張建新2,趙宗寶1

(1 空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院,西安 710051;2 中國人民解放軍786廠軍代室,西安 710043)

摘要:為使攔截武器有效攔截目標(biāo),將直接多重打靶算法與微粒群算法相結(jié)合,設(shè)計(jì)了一種基于微粒群算法的中制導(dǎo)彈道優(yōu)化算法。該算法借鑒直接多重打靶算法基本思想,將狀態(tài)空間與參數(shù)空間分別進(jìn)行分解與分段,并在此基礎(chǔ)上結(jié)合中制導(dǎo)末端條件構(gòu)建性能指標(biāo)函數(shù),將彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問題;基于對(duì)指標(biāo)函數(shù)之間依賴性的分析,在求解過程中將多目標(biāo)優(yōu)化分解為參數(shù)層和指標(biāo)層優(yōu)化兩部分,采用微粒群算法對(duì)其進(jìn)行分層優(yōu)化求解。仿真研究表明,該優(yōu)化算法能夠?qū)椀肋M(jìn)行有效優(yōu)化。

關(guān)鍵詞:彈道優(yōu)化;多重打靶算法;微粒群算法;多目標(biāo)優(yōu)化

收稿日期:2014-02-11

基金項(xiàng)目:航空科學(xué)

作者簡(jiǎn)介:邵雷(1982- ),男,講師,博士,研究方向?yàn)榉蔷€性控制、飛行器制導(dǎo)與控制。E-mail:shaoleijing@126.com。

中圖分類號(hào):V412.4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

Midcourse Guidance Trajectory Optimization Based on

Particle Swarm Optimization Algorithm

SHAO Lei1,LEI Hu-min1,ZHANG Jian-xin2,ZHAO Zong-bao1

(1.College of Air and Missile Defense,Air Force Engineering University,Xi’an 710051,China;

2.The Military Representative Office at 786 Factory of PLA,Xi’an 710043,China)

Abstract:To achieve the maximum kill probability in the target interception,the multiple shooting algorithm and the particle swarm optimization were combined,and a particle swarm optimization(PSO) algorithm was presented based on optimization algorithm of midcourse guidance trajectory.According to the idea of the multiple shooting algorithm,the proposed algorithm transformed the trajectory optimization to a multi-objective optimization problem by means of state space decomposition and endpoint constrain based on performance index.The multi-objective optimization problem was transformed to the optimization of parameter and performance index by analyzing the reliability between the two,and the PSO was employed to deal with the problem.The simulation result shows that the trajectory can be effectively optimized by the proposed algorithm.

Key words:trajectory optimization;multiple shooting algorithm;particle swarm optimization;multi-objective optimization

在防空作戰(zhàn)中,飛行彈道是攔截武器綜合性能的反應(yīng),決定了攔截武器能否命中目標(biāo)。彈道優(yōu)化是攔截武器設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容之一,沿著合理的彈道飛行有利于提高攔截武器的飛行品質(zhì),達(dá)到有效命中目標(biāo)的目的。

彈道優(yōu)化問題實(shí)際是根據(jù)給定的戰(zhàn)技指標(biāo)建立攔截武器運(yùn)動(dòng)方程,選擇主要設(shè)計(jì)參數(shù),構(gòu)造性能泛函,并考慮在內(nèi)點(diǎn)和邊值條件約束的情況下,運(yùn)用現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)參數(shù)形成相應(yīng)的飛行彈道。文獻(xiàn)[1-2]中提出的多層次彈道優(yōu)化方法,將整個(gè)飛行過程分為無控射入層、中制導(dǎo)層和末制導(dǎo)層3層,在不同層采用不同方法,以某一性能指標(biāo)為依據(jù)尋求最優(yōu)彈道。因此,彈道優(yōu)化問題本質(zhì)上是一種多學(xué)科優(yōu)化問題。對(duì)于該類問題通常采用數(shù)值方法進(jìn)行求解,這種求解方法大致可分為兩大類:直接法和間接法。其中,直接法通過一定的算法在整個(gè)可行參數(shù)集中進(jìn)行搜索,直到得到問題的優(yōu)化解[4-5];間接法則基于最優(yōu)控制理論,如極大值原理等,采用特定算法求取滿足該最優(yōu)性條件的最優(yōu)解。相比之下,間接法求解結(jié)果更為準(zhǔn)確,但求解過程通常較復(fù)雜,難以有效求解[6-7];直接法相對(duì)易于實(shí)現(xiàn),但收斂時(shí)間較長,對(duì)搜索算法提出了一定的要求。文獻(xiàn)提出的直接多重打靶算法能較好地求解飛行力學(xué)逆問題,但該算法收斂速度較低,難以用于實(shí)時(shí)控制;文獻(xiàn)僅假定節(jié)點(diǎn)處的控制變量值,在一定程度上提高了收斂速度。針對(duì)上述問題,論文研究將微粒群算法(particle swarm optimization,PSO)與直接多重打靶算法相結(jié)合,基于直接打靶法的基本思想,將狀態(tài)空間與控制參數(shù)進(jìn)行區(qū)間分解,并對(duì)參數(shù)分段數(shù)量以及分段參數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化,將彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問題,基于此采用微粒群算法優(yōu)化算法進(jìn)行分層優(yōu)化求解。

1中制導(dǎo)彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)

1.1　攔截彈質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

考慮如下的攔截器縱向平面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行彈道優(yōu)化計(jì)算:

(1)

式中:m,S分別為攔截器質(zhì)量和參考面積;v為攔截器速度;FP為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;θ為彈道傾角;q為動(dòng)壓;g為重力加速度;Cx,Cy分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù);(x,y)表示攔截器在縱向平面內(nèi)的坐標(biāo)。其中:

(2)

在實(shí)際飛行過程中,考慮到彈道的穩(wěn)定性,通常對(duì)控制變量進(jìn)行如下約束:

αmin≤α≤αmax

qmin≤q≤qmax

|n|≤nmax

式中:n為導(dǎo)彈過載;nmax為允許的最大過載。

1.2　優(yōu)化問題描述

防空型攔截器通常在大氣層內(nèi)作戰(zhàn),這決定了攔截器射程有限,在設(shè)計(jì)攔截器飛行彈道時(shí),不僅要保證導(dǎo)引頭能夠穩(wěn)定跟蹤目標(biāo),同時(shí)也希望攔截武器與目標(biāo)相遇時(shí)具有較高的速度。為此,在中制導(dǎo)優(yōu)化過程中,通常以末端速度最大為優(yōu)化指標(biāo)建立指標(biāo)函數(shù):

J(u(t))=φ(x(tf),tf)=-k1vf

式中:tf為終端時(shí)間。

考慮中末段交班條件,實(shí)質(zhì)是對(duì)中制導(dǎo)末端提出了要求,進(jìn)而對(duì)優(yōu)化問題增加了末端約束條件。將末端狀態(tài)約束作為罰函數(shù)帶入上述指標(biāo)函數(shù),可以得到綜合指標(biāo)函數(shù):

J1(u(t))=φ′(x(tf),tf)t)=-kvv(tf)+

ky|y(tf)-yf|+kx|x(tf)-xf|

(3)

式中:(xf,yf)表示中制導(dǎo)末端交班位置,為末端優(yōu)化條件;kv≥0,ky≥0,kx≥0,表示約束權(quán)重,為無量綱量。

基于上述優(yōu)化指標(biāo),可將中制導(dǎo)彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題:

kx|x(tf)-xf|]

αmin≤α≤αmax

qmin≤q≤qmax

|n|≤nmax

(4)

2基于微粒群算法的中制導(dǎo)彈道優(yōu)化算法

2.1　微粒群算法簡(jiǎn)介

基本PSO算法將每個(gè)個(gè)體看作是D維搜索空間中的一個(gè)沒有體積的微粒,在搜索空間中以一定的速度飛行,微粒根據(jù)它本身的飛行經(jīng)驗(yàn)以及同伴的飛行經(jīng)驗(yàn)對(duì)速度進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。第i個(gè)微粒表示為Xi=(xi1xi2…xiD),它經(jīng)歷過的最好位置記為Pi=(pi1pi2…piD),也稱為pbest。群體所有微粒經(jīng)歷過最好位置的索引號(hào)用符號(hào)b表示,即bbest。微粒i的速度用vi=(vi1vi2…viD)表示。對(duì)每一代,其第j維(1≤j≤D)根據(jù)如下方程變化:

vij(t+1)=wvij(t)+c1r1i[pij(t)-xij(t)]+

c2r2i[pg,j(t)-xij(t)]

(5)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(6)

式中:w為慣性權(quán)重;c1,c2為加速常數(shù);r1i,r2i為2個(gè)在[0,1]范圍內(nèi)變化的隨機(jī)函數(shù)。

為了擺脫局部最優(yōu)點(diǎn)的吸引,保證收斂到全局最優(yōu),VandenBergh[10]提出了一般收斂PSO(GCPSO)對(duì)基本的PSO算法進(jìn)行了如下改進(jìn)。

令Xτ為全局最優(yōu)微粒,則Xτ的速度和位置更新方式定義為

vτ,j(t+1)=-xτ,j(t)+pg,j(t)+wvτ,j(t)+

β(t)[1-2r2(t)]

(7)

xτ,j(t+1)=pg,j(t)+wvτ,j(t)+β(t)[1-2r2(t)]

(8)

式中:-xτ,j(t)項(xiàng)對(duì)微粒的位置進(jìn)行重置;wvτ,j(t)項(xiàng)隱含重新搜索的方向;β(t)[1-2r2(t)]項(xiàng)保證重新搜索時(shí)微粒的速度不為0,r2(t)為[0,1]范圍內(nèi)變化的隨機(jī)函數(shù),β(t)為標(biāo)量因子,其具體定義見文獻(xiàn)[11]。

2.2　中制導(dǎo)彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)

對(duì)于式(4)中的彈道優(yōu)化問題,直接打靶法是一種比較直接的方法,這種方法利用時(shí)間進(jìn)行分段,將飛行器狀態(tài)和控制變量進(jìn)行參數(shù)化,將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題直接求解,但該方法求解效率較低。本文研究借鑒該方法的基本思想,將該方法與微粒群算法相結(jié)合,對(duì)式(4)進(jìn)行優(yōu)化求解。首先,對(duì)優(yōu)化變量關(guān)于距離進(jìn)行分段,建立每一階段的控制變量;其次,基于微粒群算法對(duì)分段數(shù)量以及分段參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。具體方式如下。

假定距離從0開始一直到中制導(dǎo)末端約束點(diǎn)結(jié)束,可建立如下分段區(qū)間:

[x1,x2,…,xN]

其中,N為分段數(shù)量,表示分段數(shù)為N-1段。

相應(yīng)地,可建立每一段的控制變量區(qū)間:

[α1,α2,…,αN]

分段區(qū)間范圍內(nèi)的取值可以通過差值得到?；谏鲜龇侄畏椒梢缘玫秸麄€(gè)飛行彈道的控制參數(shù),通過解算可以得到這種分段方式以及該特定控制參數(shù)對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)J1。為此,優(yōu)化性能指標(biāo)J1實(shí)際上變?yōu)閮?yōu)化分段數(shù)量以及相應(yīng)分段參數(shù)的問題。為了降低計(jì)算復(fù)雜度,通常希望分段數(shù)量盡量少。為此,以分段數(shù)量最少為目標(biāo)可建立如下的優(yōu)化指標(biāo):

J2=N

綜合上述分析,可將中制導(dǎo)彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下的多目標(biāo)優(yōu)化問題:

min{J1,J2}

(9)

式中:J2=N,表示分段數(shù)量;J1按照式(4)給出,反映優(yōu)化性能指標(biāo)。

對(duì)于式(9)的多目標(biāo)優(yōu)化問題,2個(gè)優(yōu)化指標(biāo)之間是相互沖突的,一方面為了使得指標(biāo)J1盡量小,要求分段數(shù)量盡量多,即J2盡量大;但另一方面按照分段數(shù)量指標(biāo)要求,又希望J2盡量小,這實(shí)際上與J1對(duì)J2的要求是矛盾的。綜合上述分析,式(9)的求解不一定存在全局最優(yōu)解,但可存在這樣的解,對(duì)一個(gè)或幾個(gè)指標(biāo)函數(shù)不可能進(jìn)一步優(yōu)化,對(duì)其它指標(biāo)函數(shù)不至于劣化,即非劣最優(yōu)解[11]?；诖?本文研究中利用指標(biāo)函數(shù)J1對(duì)指標(biāo)函數(shù)J2中的分段數(shù)量具有很強(qiáng)依賴性,而在特定分段數(shù)量下指標(biāo)函數(shù)J2可獨(dú)立于計(jì)算的特點(diǎn),將上述優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為在給定分段數(shù)量J2的情況下分段參數(shù)與指標(biāo)參數(shù)的分層優(yōu)化問題,進(jìn)而可將該優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下的雙層優(yōu)化問題:

minJ2=N

s.t.N≥2,N為整數(shù)

kx|x(tf)-xf|]

αmin≤α≤αmax

qmin≤q≤qmax

|n|≤nmax

(10)

在對(duì)上述雙層優(yōu)化問題進(jìn)行求解時(shí),本文研究采用微粒群方法進(jìn)行分層優(yōu)化求解,結(jié)合指標(biāo)函數(shù)J1與J2的相互依賴性關(guān)系。首先,選定上層指標(biāo)函數(shù)J2的非最優(yōu)N;然后,將此非最優(yōu)解N代入到下層,對(duì)指標(biāo)函數(shù)J1進(jìn)行尋優(yōu),獲得下層優(yōu)化解;當(dāng)下層指標(biāo)函數(shù)無法滿足閾值時(shí),對(duì)N進(jìn)行調(diào)整并重新對(duì)指標(biāo)函數(shù)J1進(jìn)行尋優(yōu)。如此循環(huán),直到滿足閾值為止?；谝陨纤悸?可設(shè)計(jì)具體求解方法:第1層,采用n個(gè)不同的微粒群種群搜索N個(gè)分段數(shù)量,每一種分段數(shù)量代表一個(gè)可唯一標(biāo)識(shí)的種群;第2層,以上層結(jié)果為初始條件,在各種群內(nèi)采用l個(gè)微粒各自對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。其基本原理如圖1所示。

圖1　分層優(yōu)化原理圖

具體求解方法可采用文獻(xiàn)[12]中的雙層優(yōu)化方法進(jìn)行,這里不再贅述。

3仿真算例

為驗(yàn)證本文算法的有效性,以某攔截器為對(duì)象,對(duì)如下的中制導(dǎo)彈道優(yōu)化問題進(jìn)行研究。以末速度最大為優(yōu)化指標(biāo)進(jìn)行彈道優(yōu)化設(shè)計(jì),選擇優(yōu)化因子時(shí)認(rèn)為末速度最大與達(dá)到終端優(yōu)化條件同等重要,優(yōu)化過程中選擇優(yōu)化條件和指標(biāo)如表1所示。

表1　優(yōu)化條件

以末速度最大為性能指標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果如圖2和表2、表3所示。其中,圖2為彈道優(yōu)化結(jié)果,反映了在優(yōu)化過程中隨著各種條件的不同相關(guān)變量的變化過程;表2為基于控制量?jī)?yōu)化結(jié)果得到的優(yōu)化彈道相關(guān)彈道結(jié)果;表3為控制量?jī)?yōu)化結(jié)果。

圖2　末速最大彈道優(yōu)化結(jié)果

從表2的仿真結(jié)果可以看出,優(yōu)化后的彈道能夠滿足中制導(dǎo)末端條件,位置偏差很小。從圖2的仿真結(jié)果可以看出,在不限制攔截器飛行時(shí)間時(shí),末速度最大的彈道實(shí)質(zhì)就是一種高拋彈道,其主要原因是攔截器以很短的時(shí)間穿越稠密大氣層,可以降低攔截器在稠密大氣層中飛行受到空氣阻力而導(dǎo)致的能量損失,這與攔截器在目標(biāo)上方飛行以節(jié)省能量的思想也是一致的。

表2　末速最大彈道優(yōu)化結(jié)果

表3　控制量?jī)?yōu)化結(jié)果

4結(jié)論

本文針對(duì)中制導(dǎo)彈道優(yōu)化問題,采用微粒群優(yōu)化算法進(jìn)行中制導(dǎo)攔截器優(yōu)化設(shè)計(jì)。以中制導(dǎo)末端條件為約束,借鑒多重打靶算法思想,將中制導(dǎo)彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問題;結(jié)合指標(biāo)函數(shù)之間的依賴關(guān)系,采用微粒群算法對(duì)該問題進(jìn)行分層求解。該方法的設(shè)計(jì)為彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種可行方法,盡管在論文研究與驗(yàn)證中僅考慮了速度以及位置因素,但該方法同時(shí)也適用于其它更多約束的情況,結(jié)合對(duì)具體彈道特性的分析,可借鑒該方法對(duì)彈道設(shè)計(jì)進(jìn)行更深入的研究。

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