試論高職高專高等數(shù)學(xué)中常用的求極限方法

許 霞

(新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453000)

摘要：極限是高職高專高等數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)之一。為破解困難，提高學(xué)習(xí)效率，應(yīng)該熟練掌握不同的求極限方法，并根據(jù)題目靈活應(yīng)用，促進(jìn)解題效率提高。結(jié)合高職高專數(shù)學(xué)實(shí)際情況，介紹幾種常用的求極限方法，希望能為學(xué)生學(xué)習(xí)提供啟示與參考。

關(guān)鍵詞：高職高專；極限；解題方法；四則運(yùn)算法則

doi:10.3969/j.issn.1674-6341.2015.05.045

中圖分類號：G642.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2015-06-26

作者簡介：許霞(1980—)，女，河南開封人，碩士，講師。

研究方向：數(shù)學(xué)教育。

0引言

極限是高職高專學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是最基本、最核心的概念之一，幾乎貫穿于高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)，為學(xué)生和任課教師所普遍關(guān)注和重視。但極限知識學(xué)習(xí)比較難，一些學(xué)生往往未能有效掌握求極限的方法，難以根據(jù)不同題型熟練應(yīng)用解題方法，制約了學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高。因此，應(yīng)該加強(qiáng)訓(xùn)練，熟練掌握和應(yīng)用各種方法，提高學(xué)習(xí)效率。

1利用極限四則運(yùn)算法則求極限的方法

極限計(jì)算過程中，四則運(yùn)算法則是求解的重要方法，學(xué)生學(xué)習(xí)和解題過程中應(yīng)用比較普遍。通常在解題中，結(jié)合不同題目類型，可以直接或間接應(yīng)用該方法。

(1)直接利用四則運(yùn)算法則。從簡單函數(shù)的極限出發(fā)，分析和計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)，得出結(jié)論。利用四則運(yùn)算法則計(jì)算時，前提是存在極限，且分母極限不為零。如果不滿足這個條件，就不能直接利用該方法求極限。

(2)間接利用四則運(yùn)算法則。分母極限為0，或分子、分母極限為∞，為順利得出計(jì)算結(jié)果，需要對運(yùn)算法則間接利用，通常又分為以下方法。

①有理分式可將分子、分母分解為因式，約簡分式后取極限。

解：令x=y12，當(dāng)x→1時y→1得：

解題時，選取冪指數(shù)等于已知函數(shù)所含根指數(shù)的最小公倍數(shù)，替換后可去掉根號，并消去因子(x-1)。

②極限式含有根式，有理化并消去不定性，再取極限。

③當(dāng)x→∞，分子、分母極限為∞，用分母最高次冪去除分子分母，再取極限。

④極限計(jì)算間接應(yīng)用四則運(yùn)算法則時，除了上述三種不同方法外，利用無窮大與無窮小間的關(guān)系，也能順利求出極限值。但不管采用哪種方法，首先需要根據(jù)題目實(shí)際情況合理選用，并按步驟做好每項(xiàng)計(jì)算，最終求出極限值。

2利用無窮小的性質(zhì)求極限的方法

利用無窮小性質(zhì)求極限也是常用方法，有界函數(shù)與無窮小的乘積就是無窮小，這是解題中需要重視的問題，以避免出錯，從而求出正確的極限值。

3利用兩個重要極限求極限的方法

在求極限過程中，根據(jù)題目實(shí)際情況，要熟練利用以下兩個極限，順利求出結(jié)果，以達(dá)到順利解題的目的。

4利用等價無窮小代換求極限的方法

求兩個無窮小之比的極限時，分子分母用等價無窮小代替，通過替換之后，使計(jì)算變得更加簡單，簡化計(jì)算流程，從而正確求出極限值。

5利用函數(shù)連續(xù)性求極限的方法

連續(xù)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，求極限時合理利用能簡化計(jì)算流程，實(shí)現(xiàn)順利解題的目的。函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處是連續(xù)的，對于函數(shù)f(x)，若x0是它定義區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)，要求f(x)極限，只需求f(x0)即可。

6利用羅比塔法則求極限的方法

法則計(jì)算和分析，解題過程中先將“非零因式”分解出來，再進(jìn)行求解。

對于1·∞、00、∞0型不定式，先對它們?nèi)?shù)，使之成為0·∞型不定式，設(shè)：y=[f(x)]g(x)，則：lny=g(x)lnf(x)，從而[f(x)]g(x)=eg(x)lnf(x)，當(dāng)x→x0時，g(x)lnf(x)是0·∞型不定式。

7結(jié)語

極限是高職高專數(shù)學(xué)重要內(nèi)容。不同方法有不同特點(diǎn)，適用不同題型，但這些方法都能解答極限學(xué)習(xí)中遇到的計(jì)算問題，幫助學(xué)生解答疑惑，解決困難。有些極限計(jì)算需綜合應(yīng)用多種方法，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中要全面考慮，熟悉每種計(jì)算方法，能根據(jù)不同題目靈活應(yīng)用，從而促進(jìn)學(xué)習(xí)效率的提高。

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