高等數(shù)學(xué)幾種解題思維的探究

詹玉 ， 徐肖麗

(商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 河南　商丘　476100)

摘要：思維的培養(yǎng)應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)方面，一題多解、一題多變是歸納思維、類(lèi)比思維、發(fā)散思維、逆向思維在實(shí)際教學(xué)中的具體應(yīng)用和表現(xiàn)形式。通過(guò)高等數(shù)學(xué)的一些基本實(shí)例，具體闡述了培養(yǎng)學(xué)生思維的方法與途徑。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；解題思維；歸納思維；類(lèi)比思維；發(fā)散思維；逆向思維

收稿日期：2014-09-22

作者簡(jiǎn)介：詹玉(1964-)男，河南商丘人，副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)研究；徐肖麗(1966-)女，河南商丘人，副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)研究。

中圖分類(lèi)號(hào)：G718.5

Exploration on Several Problem-solving Thinking of Advanced Mathematics

ZHANYu , XU Xiao-li

(Shangqiu Vocational and Technological College, Shangqiu476100,China)

Abstract:The thinking ability is useful in all aspects of math teaching. For example, the inductive thinking, analogical thinking, divergent thinking and reverse thinking can be applied and manifested in the conditions of one question with multi solutions or one question with multi variations. In this paper, certain methods of thinking ability will be described through some specific examples in advance mathematics.

Key words:Advanced Mathematics; problem-solving thinking; inductive thinking; analogical thinking; divergent thinking;reverse thinking

1　高等數(shù)學(xué)解題思維的研究現(xiàn)狀及意義

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往是上來(lái)就講某個(gè)數(shù)學(xué)題目的具體解法，不去講思維的過(guò)程，不去告訴學(xué)生老師到底是怎樣想的。難道老師就一下子找到正確的思考方法了？到底怎樣科學(xué)的思考問(wèn)題？這是學(xué)好高等數(shù)學(xué)至關(guān)重要的問(wèn)題，沒(méi)有一個(gè)好的思維習(xí)慣，不會(huì)辯證思維，不會(huì)科學(xué)地思考問(wèn)題，是很難學(xué)好高等數(shù)學(xué)的。

在高等數(shù)學(xué)解題中，教師通常只會(huì)想到一種解法，這樣就具有很大的局限性，實(shí)際上一道題目如果從不同的角度去想，按照不同的思維方式，往往會(huì)有多種解法。對(duì)于同一題目采用不同解法與技巧，能夠使學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題能力，加強(qiáng)運(yùn)算技巧，還可以使我們對(duì)所學(xué)知識(shí)間的縱橫關(guān)系有所了解，同時(shí)還樂(lè)意從這些不同的解法中比較優(yōu)劣，從中找出更簡(jiǎn)潔的解題途徑。

一題多解可以開(kāi)闊解題思路，進(jìn)而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力。一題多變是指當(dāng)條件減弱時(shí)結(jié)論還是不是成立？或者當(dāng)條件適當(dāng)加強(qiáng)時(shí)會(huì)有什么新的結(jié)論？培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性。

學(xué)校培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生如果缺少科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃枷牒蛷V闊的思維，是無(wú)法做出優(yōu)異的成績(jī)來(lái)的。教書(shū)育人教知識(shí)，更要教思想方法。高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想以及由數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)起來(lái)的思維能力和素養(yǎng),將會(huì)使學(xué)生終生受益。

歷史事實(shí)表明，創(chuàng)新能力是科技與社會(huì)發(fā)展的決定性力量。沒(méi)有創(chuàng)造思維的人，不可能開(kāi)拓進(jìn)??；沒(méi)有創(chuàng)新精神的民族，難以實(shí)現(xiàn)繁榮和持續(xù)發(fā)展；沒(méi)有創(chuàng)新的時(shí)代，必將黯淡而平庸。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分重視歸納思維、類(lèi)比思維、發(fā)散思維和逆向思維這四種解題思維能力的培養(yǎng)，對(duì)于提高學(xué)生解題能力和分析問(wèn)題的能力，將起到至關(guān)重要的作用。

2　歸納思維探究

歸納思維是人類(lèi)賴(lài)以發(fā)現(xiàn)真理最基本的重要思維方法。歸納是在通過(guò)對(duì)具體事物的認(rèn)真分析，總結(jié)出其中的一般規(guī)律性，是從特殊到一般的抽象化思維。

在高等數(shù)學(xué)中，許多重要結(jié)果的得出，都用到了歸納思維。例如，求某函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，通常的方法是求出一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)，就可以找到規(guī)律。但有時(shí)還要求出四階、五階導(dǎo)數(shù)，然后才能歸納出n階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。

[(x+2)-1]′=(-1)(x+2)-2，

[(x+2)-1]″=[(-1)(x+2)-2]′=(-1)(-2)(x+2)-3=(-1)2·2!·(x+2)-3

[(x+2)-1]?=[(-1)·2!·(x+2)-3]′=(-1)2·2!(-3)(x+2)-4=(-1)3·3!·(x+2)-4

……

所以[(x+2)-1](n)=(-1)n·n!·(x+2)-(n+1)

同理[(x-2)-1](n)=(-1)n·n!·(x-2)-(n+1)

3　類(lèi)比思維探究

新知識(shí)與舊知識(shí)總是有聯(lián)系的，新知識(shí)建立在舊知識(shí)上，從思想方法上，從形式內(nèi)容上，新舊知識(shí)都有許多類(lèi)似之處，即二者具有共性。關(guān)聯(lián)新舊知識(shí)是一項(xiàng)重要的教學(xué)內(nèi)容，不僅使學(xué)生能認(rèn)識(shí)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，而且使他們?cè)谶\(yùn)用中產(chǎn)生聯(lián)想，得出更多的結(jié)論[1]。

類(lèi)比是根據(jù)兩個(gè)或兩個(gè)以上的對(duì)象在某些方面相似或相同，由此及彼，從而得出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频耐评怼ｎ?lèi)比使學(xué)習(xí)節(jié)省更多的時(shí)間，聯(lián)想會(huì)發(fā)現(xiàn)更多不同對(duì)象的共性、會(huì)使人更多的從宏觀上看問(wèn)題。

例如，通過(guò)對(duì)牛頓—萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式進(jìn)行類(lèi)比，發(fā)現(xiàn)他們有某些本質(zhì)共有的規(guī)律：

若將牛頓—萊布尼茨公式：

視為：它建立了一元函數(shù)f(x)在一個(gè)區(qū)間的定積分與其“原函數(shù)”F(x)在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系，那么通過(guò)類(lèi)比，就可以將格林公式：

視為：它建立了二元函數(shù)f(x,y)在一個(gè)平面區(qū)域D上的二重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界L的曲線積分之間的聯(lián)系；

就可以將高斯公式：

視為：它建立了三元函數(shù)f(x,y,z)在一個(gè)空間區(qū)域Ω上的三重積分與其“原函數(shù)” 在區(qū)域邊界曲面S上的曲面積分之間的聯(lián)系；

就可以將斯托克斯公式：

視為：它建立了三元函數(shù)f(x,y,z)在一個(gè)空間曲線S上的曲面積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲線L上曲面積分之間的聯(lián)系。

從而，可將格林公式、高斯公式、斯托克斯公式都看作牛頓—萊布尼茨公式的高維推廣，從宏觀上找到他們的本質(zhì)共性。

教學(xué)實(shí)踐證明：在學(xué)習(xí)過(guò)程中，將新知識(shí)與熟悉的舊知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，不但使學(xué)生對(duì)新知識(shí)易于接受理解，更重要的是培養(yǎng)、鍛煉了學(xué)生的類(lèi)比思維，有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

4　發(fā)散思維探究

所謂發(fā)散思維是指信息處理的途徑靈活多變，求解的豐富多樣。因此，也把發(fā)散思維稱(chēng)為求異思維。如，某公司在上下班時(shí)是坐電梯的高峰，員工們急忙趕路，很著急地等待，你爭(zhēng)我搶?zhuān)刃虮容^亂。于是公司為了緩解著急情緒，就有人想出在等待電梯的地方安裝一個(gè)穿衣鏡，不少員工們很注意自己的形象，紛紛照鏡，整理衣冠，于是分散了他們的注意力，問(wèn)題很容易就得到了解決。

因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，可應(yīng)利用一題多解、一題多變來(lái)培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維。

解法一：“分子有理化法”

解法二：兩次用洛必達(dá)法則

解法三：用泰勒公式

通過(guò)一題多解，使得同一問(wèn)題從不同角度思考，解法更加靈活了，更重要的是培養(yǎng)訓(xùn)練了發(fā)散思維。

5　逆向思維探究

逆向思維是相對(duì)于慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點(diǎn)是從已有思路的反方向去思考問(wèn)題。它對(duì)解放思想、開(kāi)闊思路、開(kāi)創(chuàng)新的解決問(wèn)題的方向，往往能起到積極的作用。1907年的一天，在倫教火車(chē)站舉行了一場(chǎng)“除塵器”的表演。研制者想用“除塵器”鼓起的風(fēng)把塵土吹走，結(jié)果是塵土飛揚(yáng)，觀眾們被弄得渾身上下都是土，狼狽不堪，表演失敗。一位觀眾想，吹塵不行，吸塵行不行呢？經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，吸塵的方法果然可以，比起吹塵的方法要好得多。反“吹”為“吸”，思考方法跟原來(lái)正好相反，意想不到地解決了問(wèn)題，所以吸塵器從此誕生了。因此， ⑴ 假如遇到某些問(wèn)題順推不行，可以考慮逆推。 ⑵ 假如遇到某些問(wèn)題直接解決困難，就應(yīng)想方設(shè)法間接解決。 ⑶ 正命題研究過(guò)后，研究逆命題。 ⑷ 探討可能性發(fā)生困難時(shí)，轉(zhuǎn)而探討不可能性。

若將x視為自變量，y視為未知函數(shù)，求解此方程就困難，因?yàn)樗炔皇强煞蛛x變量的微分方程，也不是齊次微分方程，也不是全微分方程，而且對(duì)未知函數(shù)y來(lái)說(shuō)也不是線性微分方程和伯努利方程。但是，如果利用逆向思維，即反過(guò)來(lái)將視為未知函數(shù)，視為自變量，將方程變?yōu)椋?/p>

它就是未知函數(shù)x的一階線性非齊次微分方程，從而容易求出其通解。

例4[2]設(shè)f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-10000)，求f′(0)

分析：若對(duì)此題直接進(jìn)行求導(dǎo)，難上加難，幾乎不可能。如果換一種角度看問(wèn)題，則易于解決。比如，令g(x)=(x-1)(x-2)…(x-10000)，則有f(x)=x·g(x)

因?yàn)閒′(x)=[x·g(x)]′=g(x)+x·g′(x)，所以f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=10000!

另外，也可以考慮用導(dǎo)數(shù)定義：

6　結(jié)　語(yǔ)

古人云：“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，因此，教的最終目的是不再教，是教給學(xué)生怎樣自學(xué)?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰也認(rèn)為“教育的宗旨不在于把盡可能多的東西教給學(xué)生，取得盡可能大的效果，而在于教學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)發(fā)展自己，以及離校后繼續(xù)發(fā)展?！边@就要求在教學(xué)過(guò)程中，除了讓學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)外，引導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)習(xí)也顯得非常重要，在掌握學(xué)習(xí)方法的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)若僅僅限于具體問(wèn)題教學(xué)，而不去尋找規(guī)律與方法，就偏離了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，學(xué)不到真正的數(shù)學(xué)思想與方法，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)去創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題了。因此包括思想方法在內(nèi)的數(shù)學(xué)教學(xué)才是真正意義上的教學(xué)。

總之，教師應(yīng)該在傳授知識(shí)的同時(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。思維能力的培養(yǎng)，不僅可以讓學(xué)生獲得教材以外的思想方法，而且認(rèn)識(shí)問(wèn)題的深刻性、解決實(shí)際問(wèn)題的能力也會(huì)大大提高，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，解決更多的實(shí)際問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 李心燦.高等數(shù)學(xué)第二版下冊(cè)[M].北京:高等教育出版社,2003:368.