以數(shù)學(xué)建模為載體培養(yǎng)高職生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的實(shí)踐

馬萍

(湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院　機(jī)電工程分院, 浙江　湖州　313000 )

摘要：以數(shù)學(xué)建模為載體，加強(qiáng)高職學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)，設(shè)計(jì)了“基礎(chǔ)知識(shí)模塊+選修模塊”的高職數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的模塊式結(jié)構(gòu)及具體教學(xué)思路，并從高職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方法、學(xué)習(xí)過(guò)程的評(píng)價(jià)、分級(jí)考試制度、課外興趣小組等方面進(jìn)行實(shí)踐與探索。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高職數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

收稿日期：2014-10-30

基金項(xiàng)目：浙江省教育科學(xué)2014年度規(guī)劃課題“以數(shù)學(xué)建模為載體的高職學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)策略研究(2014SCG412)”。

作者簡(jiǎn)介：馬萍(1963-)女，浙江臨海人，副教授，主要從事高職數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

中圖分類(lèi)號(hào)：G172

Practice of Developing Higher Vocational College Students’ Capability

MAPing

(Faculty of Electromechanical Engineering，Huzhou Vocational and Technological College，Huzhou313000,China)

Abstract:To developing higher vocational students’ capability of Applied Mathematics, the paper, based on mathematical modeling, designs detailed teaching contents and ideas about higher vocational mathematics, including foundation and elective knowledge. Also, the teaching method of higher vocational mathematics, evaluation of learning process, grading examination system and extracurricular interest groups are considered and further explored.

Key words:mathematical modeling; mathematics in higher vocational college; mathematics application ability

近年來(lái)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽在高職高專(zhuān)院校院校迅速發(fā)展起來(lái)，2014年浙江省有三十多所高職高專(zhuān)院校共128個(gè)參賽隊(duì)參加了浙江賽區(qū)的比賽，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)在各大專(zhuān)院校的開(kāi)展欣欣向榮。

數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model)是以數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式、程序、圖形等工具對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象而簡(jiǎn)潔的刻畫(huà)，數(shù)學(xué)模型的建立常常需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題有比較深入細(xì)微的觀(guān)察和分析，又需要靈活應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。所以開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，提升他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、探索精神以及不怕困難、團(tuán)結(jié)協(xié)作、求實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)都具有十分重大的現(xiàn)實(shí)意義和理論意義[1]。

縱觀(guān)目前高等院校對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想與方法的訓(xùn)練主要途徑有以個(gè)兩個(gè)：第一，開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課程，由于高職學(xué)制短，分配給數(shù)學(xué)課程的課時(shí)數(shù)較少，這個(gè)途徑受到時(shí)間的限制；第二，將數(shù)學(xué)建模的思想和方法有機(jī)地貫穿到日常的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)生在學(xué)習(xí)高職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，初步獲得數(shù)學(xué)建模的知識(shí)和能力，為今后用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題打下一定的基礎(chǔ)，這是適合高職院校實(shí)際、且行之有效的方法。

本文以數(shù)學(xué)建模為載體，探索如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中加強(qiáng)高職學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)，對(duì)歷時(shí)一年多的實(shí)踐進(jìn)行總結(jié)，以期拋磚引玉，與同行們共勉。

1　設(shè)計(jì)“基礎(chǔ)知識(shí)模塊+選修模塊”的高職數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

以數(shù)學(xué)建模為載體培養(yǎng)高職學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力最重要的是將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入到日常高職數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，首先應(yīng)對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化與整合。筆者根據(jù)多年教學(xué)實(shí)踐積累和調(diào)研分析，將數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與專(zhuān)業(yè)方面的素材緊密聯(lián)系，通過(guò)課程模塊的重構(gòu)與整合，以適應(yīng)高職各專(zhuān)業(yè)對(duì)大一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的動(dòng)態(tài)需求。

課程結(jié)構(gòu)：“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平臺(tái)+數(shù)學(xué)選修內(nèi)容”。高職數(shù)學(xué)內(nèi)容：“基礎(chǔ)知識(shí)模塊+選修模塊”，其模塊內(nèi)容如下：

基礎(chǔ)知識(shí)模塊：函數(shù)、極限與連續(xù)；一元函數(shù)微分學(xué)；一元函數(shù)積分學(xué)；MATLAB軟件。

專(zhuān)業(yè)選修模塊：

機(jī)電類(lèi)專(zhuān)業(yè)：常微分方程；傅里葉級(jí)數(shù)；拉普拉斯變換。

經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)：線(xiàn)性代數(shù)；概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步；線(xiàn)性規(guī)劃。

計(jì)算機(jī)類(lèi)專(zhuān)業(yè)：線(xiàn)性代數(shù)；離散數(shù)學(xué)；圖論。

《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程內(nèi)容根據(jù)高職學(xué)生和專(zhuān)業(yè)的特點(diǎn)，遵循“淡化嚴(yán)密性、注重應(yīng)用性”的原則。課堂教學(xué)中通過(guò)實(shí)際背景并結(jié)合專(zhuān)業(yè)引出基本概念、基本定理。微積分應(yīng)用是實(shí)例分析的良好時(shí)機(jī)，如對(duì)機(jī)電類(lèi)專(zhuān)業(yè)在函數(shù)一節(jié)教學(xué)中引入電學(xué)中常用函數(shù)：簡(jiǎn)諧波、單位階躍函數(shù)、矩陣波函數(shù)；在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中可以從非恒定電流的電流強(qiáng)度、變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度等導(dǎo)入；導(dǎo)數(shù)計(jì)算中列舉低頻跨導(dǎo)的計(jì)算和各種變化率模型的應(yīng)用：如速度與加速度、電流強(qiáng)度、比熱計(jì)算等等；最值問(wèn)題的舉例中增加實(shí)際電壓源最大功率計(jì)算；積分應(yīng)用中分析得出整流平均值的計(jì)算方法；微分方程應(yīng)用中探討求解一階電路的零輸入響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型等等。一系列應(yīng)用實(shí)例都貼近學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)，也使數(shù)學(xué)課程與專(zhuān)業(yè)課程的銜接更為融洽，增強(qiáng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。

教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模思想，應(yīng)循序漸進(jìn)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐漸滲透?？梢赃x擇與生活實(shí)際聯(lián)系較密切，學(xué)生容易接受、趣味性較強(qiáng)并且實(shí)用的內(nèi)容。如在微分方程的應(yīng)用中設(shè)計(jì)如下背景材料，讓學(xué)生思考：張某是嫌疑犯嗎？受害者的尸體晚上19∶30發(fā)現(xiàn)，法醫(yī)于20∶20趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體溫度為32.6 ℃，一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為31.4 ℃，室溫在幾個(gè)小時(shí)內(nèi)始終保持在21.1 ℃。此案的最大嫌疑犯是張某，但張某聲稱(chēng)自己是無(wú)罪的，并有證人說(shuō)：“下午張某一直在辦公室上班，17∶00時(shí)打了個(gè)電話(huà)，打完電話(huà)就離開(kāi)了辦公室。”從張某辦公室到兇案現(xiàn)場(chǎng)需步行5分鐘。問(wèn)：(1)張某是嫌疑犯嗎？(2)若張某的律師發(fā)現(xiàn)受害者死亡的當(dāng)天下午去醫(yī)院看過(guò)病，病歷記錄：發(fā)燒38.3 ℃，試問(wèn)張某能排除在嫌疑犯之外嗎[2]?

要求學(xué)生三人一組進(jìn)行討論，最后按小論文的格式(按模型假設(shè)與變量說(shuō)明、模型的分析與建立、模型求解這幾個(gè)方面撰寫(xiě))上交，學(xué)生學(xué)習(xí)勁頭較大，利用冷卻過(guò)程中遵守牛頓冷卻定律，即“物體冷卻的速率和當(dāng)時(shí)物體與介質(zhì)的溫度差成正比”來(lái)解決本案的問(wèn)題。在小論文的撰寫(xiě)方面，教師課堂上通過(guò)典型的論文點(diǎn)評(píng)來(lái)提高學(xué)生邏輯思維能力。

課堂教學(xué)中列舉數(shù)學(xué)建模實(shí)例，僅僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模思想和方法的第一步，因此在教學(xué)中舉例忌大而泛，重要的是不能沖淡高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，因?yàn)闆](méi)有扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，就談不上數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。其次，教學(xué)中在強(qiáng)調(diào)重視實(shí)際應(yīng)用的同時(shí)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)是源于現(xiàn)實(shí)而又高于現(xiàn)實(shí)的。也就是要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)絕不僅僅是工具，而是要從所做的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論中，指出所包含的更一般、更深刻的內(nèi)在規(guī)律，指出從具體問(wèn)題進(jìn)一步抽象化、形式化，從而上升到一般規(guī)律性認(rèn)識(shí)的必要與可能[3]。

2　融入數(shù)學(xué)建模思想，編寫(xiě)適應(yīng)高職高專(zhuān)學(xué)生的案例輔導(dǎo)材料

課程結(jié)構(gòu)的改變，要求教材建設(shè)必須緊緊跟上，現(xiàn)有高職數(shù)學(xué)教材中與專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)相關(guān)的應(yīng)用性?xún)?nèi)容太少，而且也很落后陳舊，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能適應(yīng)當(dāng)前專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的需要，因此教改十分迫切地要求對(duì)教材進(jìn)行重新編寫(xiě)，增加與各專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)相關(guān)的應(yīng)用性案例或?qū)嵗?，只有這樣才能使學(xué)生在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會(huì)到它的實(shí)用性，也只有使教材中的應(yīng)用性問(wèn)題與最新的專(zhuān)業(yè)發(fā)展?fàn)顩r相聯(lián)系，學(xué)生才會(huì)感受到數(shù)學(xué)的“與時(shí)俱進(jìn)”[4]。因此，課題組老師在原有浙江省“十一五”重點(diǎn)教材《高等數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)》的基礎(chǔ)上，融入建模思想，聯(lián)系專(zhuān)業(yè)實(shí)際收集案例并加工成教學(xué)案例，吸取國(guó)外微積分教材的優(yōu)點(diǎn)，編寫(xiě)了適應(yīng)高職高專(zhuān)學(xué)生的、以提高高職高專(zhuān)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力為目的的案例輔導(dǎo)材料《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)》。

3　采取導(dǎo)師制方法展開(kāi)課外活動(dòng)，普及數(shù)學(xué)建模知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模興趣

重視實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)是提高學(xué)生應(yīng)用能力的策略之一。高職數(shù)學(xué)的實(shí)踐性教學(xué)設(shè)計(jì)可以課內(nèi)外結(jié)合，課堂上抓住數(shù)學(xué)課程中隨處可見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，不失時(shí)機(jī)地體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模原理；課外開(kāi)展導(dǎo)師制小組輔導(dǎo)。由指導(dǎo)老師招有興趣的學(xué)生，組成課外興趣小組，普及數(shù)學(xué)建模知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模興趣。導(dǎo)師利用業(yè)余時(shí)間進(jìn)行輔導(dǎo)，并通過(guò)建立數(shù)學(xué)建模QQ群吸引更多的學(xué)生參加，使學(xué)生的受益面不斷擴(kuò)大?？梢詫⒋蠖⒋笕龑W(xué)生與大一學(xué)生組合成學(xué)習(xí)小組，學(xué)習(xí)小組成員共同探索，形成良性循環(huán)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。對(duì)大三有專(zhuān)升本需求的學(xué)生也是一個(gè)良好的復(fù)習(xí)機(jī)會(huì)。經(jīng)過(guò)近一年時(shí)間學(xué)習(xí)，并利用暑期進(jìn)行集中短期培訓(xùn)后，開(kāi)展校內(nèi)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，從中選擇一些優(yōu)秀學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模浙江賽區(qū)的競(jìng)賽。今年湖職院學(xué)生獲得了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽浙江省大專(zhuān)組C題一等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，并參加了送審全國(guó)獎(jiǎng)的論文答辯。

4　探索高職數(shù)學(xué)教學(xué)新方法，注重學(xué)習(xí)過(guò)程的評(píng)價(jià)，實(shí)施分級(jí)考試制度

信息技術(shù)手段在教學(xué)中的應(yīng)用是近年來(lái)教學(xué)方法改革的重要方面。一些動(dòng)態(tài)為主的教學(xué)課件，可以對(duì)黑板上難以表現(xiàn)的內(nèi)容進(jìn)行展示，有利于提高學(xué)生興趣、加深理解。如定積分概念教學(xué)中通過(guò)問(wèn)題引入新課：如何求平面圖形的面積？老師先用PPT動(dòng)態(tài)展示：將曲邊梯形分割為四個(gè)矩形、九個(gè)矩形后，提問(wèn)學(xué)生：隨著分割矩形的數(shù)量越來(lái)越多，矩形面積之和與曲邊梯形的面積有怎樣的關(guān)系？學(xué)生就會(huì)爭(zhēng)相回答：分割矩形個(gè)數(shù)越多，矩形面積之和就越接近曲邊梯形面積；然后動(dòng)態(tài)演示曲邊梯形分割加細(xì)時(shí)的變化情況：13個(gè)分割點(diǎn)，23個(gè)分割點(diǎn)，63個(gè)分割點(diǎn)，133個(gè)分割點(diǎn)，143個(gè)分割點(diǎn)，學(xué)生非常直觀(guān)地觀(guān)察到隨著分割點(diǎn)越來(lái)越多，矩形面積之和越來(lái)越接近曲邊梯形的面積，從而自然而然地得出曲邊梯形面積計(jì)算方法：分割—求和—求極限；接著通過(guò)同樣思路探討求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題，定積分的微元法思想在細(xì)雨潤(rùn)無(wú)聲中得到了理解，從而引出定積分概念。

計(jì)算機(jī)與課堂教學(xué)的整合，使傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育由一支粉筆、一塊黑板的課堂教學(xué)走向“屏幕教學(xué)”，由講授型教學(xué)向創(chuàng)新型教學(xué)發(fā)展。用Matlab等軟件做出來(lái)的部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果，包括計(jì)算結(jié)果、圖形等等，可以使課堂教學(xué)更加生動(dòng)形象，可以使教師的講解也更貼近學(xué)生的建模過(guò)程，可以使學(xué)生切切實(shí)實(shí)提高數(shù)據(jù)處理和數(shù)值計(jì)算的能力，從而完成數(shù)學(xué)建模、求解及結(jié)果分析的全過(guò)程，有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，改變學(xué)生被動(dòng)接受的形式。由于課時(shí)的關(guān)系課題組只安排3個(gè)共計(jì)8課時(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，分別是：實(shí)驗(yàn)一用數(shù)學(xué)軟件做初等數(shù)學(xué)(2課時(shí))；實(shí)驗(yàn)二用數(shù)學(xué)軟件做二次函數(shù)微積分(4課時(shí))；實(shí)驗(yàn)三綜合實(shí)驗(yàn)(2課時(shí))。

表1　課程考核方法

教學(xué)方法的創(chuàng)新同時(shí)也要體現(xiàn)在考試制度的改革上，高職學(xué)生中平時(shí)不學(xué)習(xí)，考前搞突擊的不在少數(shù)。要重視學(xué)習(xí)的過(guò)程評(píng)價(jià)，弱化結(jié)果，這一點(diǎn)對(duì)于高職生尤其重要。課題組采取一章一小測(cè)，每節(jié)課課后或者下一節(jié)課前都針對(duì)前一節(jié)的主要知識(shí)點(diǎn)出一些有代表性的題目來(lái)鞏固和復(fù)習(xí)，教師批改記錄作為學(xué)生平時(shí)成績(jī)之一，題型可作為期末考試復(fù)習(xí)資料。期末考試采取分級(jí)考試模式(分A級(jí)和B級(jí))，學(xué)生自主選擇，考前進(jìn)行選卷指導(dǎo)，幫助學(xué)生定位。選擇A 級(jí)的學(xué)生獲得相應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)(如在總分評(píng)定上給予一定系數(shù)，并進(jìn)行限最高，不超過(guò)100分)；一些困難學(xué)生通過(guò)選擇B 級(jí)，維護(hù)了他們本已微弱的學(xué)習(xí)信心，體現(xiàn)了以人為本、因材施教的教學(xué)原則，具體的考核方法如上表1所示

5　結(jié)　語(yǔ)

在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，對(duì)培養(yǎng)高職學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力起到非常重要的作用，這是高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展的方向，無(wú)疑會(huì)成為促進(jìn)高職學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的素質(zhì)教育的重要載體。高職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，生源類(lèi)別多，有自主招生、有普高、有三校生、有3+2等等，因此高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革任重道遠(yuǎn)，需要為之不斷探索，才能達(dá)到預(yù)期效果。

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