◆江西省九江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 袁江毅

對(duì)2015年高三模擬題中探究題型的幾點(diǎn)探究

◆江西省九江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 袁江毅

探究性問(wèn)題在近幾年的高考真題和模擬題中出現(xiàn)頻率非常高，命制此類問(wèn)題主要以能力立意為指導(dǎo)思想，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合把握并融會(huì)貫通各種數(shù)學(xué)解題技巧及數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，將知識(shí)、能力與綜合素質(zhì)融為一體，倍受青睞而且成為壓軸題的首選。通過(guò)研究2015年各地高考真題以及模擬試題，總結(jié)該類問(wèn)題常見(jiàn)的幾種情況及解決此類問(wèn)題的基本思路，本文以2015年高三模擬題中探究題型為例，總結(jié)出該類題型常見(jiàn)的幾種情況。

探究題型；函數(shù)；數(shù)學(xué)思想

近幾年，探究性問(wèn)題在高考真題和模擬題中出現(xiàn)頻率非常高。命制此類問(wèn)題主要以能力立意為指導(dǎo)思想，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合把握并融會(huì)貫通各種數(shù)學(xué)解題技巧及數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，將知識(shí)、能力與綜合素質(zhì)融為一體。通過(guò)研究2015年各地高考真題以及模擬試題，總結(jié)該類問(wèn)題常見(jiàn)的幾種情況及解決此類問(wèn)題的基本思路，以便更好地把握高考發(fā)展的動(dòng)向，讓學(xué)生能夠更輕松地面對(duì)復(fù)雜的高考復(fù)習(xí)。

一、以熟知的函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)問(wèn)題為架構(gòu)，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行探究

樣題1：已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+a In x，其中常數(shù)a＞0，設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)處的切線方程為l：y=g（x），若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”。當(dāng)a=4時(shí)，試問(wèn)y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”。若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè) “類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

思路點(diǎn)擊：本題不論是從函數(shù)類型還是涉及的函數(shù)內(nèi)容角度欣賞都非常像高考題，探究型問(wèn)題使題目頗顯時(shí)尚和有檔次，不過(guò)越是華麗的題目，解法往往越平易近人。所以，對(duì)待此類題型，在平日的復(fù)習(xí)中還是要多從基本的技巧和基本的思想方法下功夫。

解析：當(dāng)a=4時(shí)， f（x）=x2-6x+4In x，則得函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程6x0+4In x0。

若函數(shù)f（x）=x2-6x-4In x存在“類對(duì)稱點(diǎn)”P（x0，f（x0）），則等價(jià)于當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立；當(dāng)x＞x0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立。

①當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，

等價(jià)于當(dāng)0＜x＜x0時(shí)（x-x0）+x02-6x0+4In x0恒成立。即當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，x0x2-（2x02+4）x+4x0·In x+x03+4x0-4x0·In x＜0恒成立，令φ（x）=x0x2-（2x02+4）x+4x0·Inx+x03+4x0-4x0· In x，則φ（x0）=0，要使φ（x）＜0在0＜x＜x0時(shí)恒成立，只要φ（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增即可。

②同理，當(dāng)x＞x0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立，解得存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是

評(píng)析：導(dǎo)數(shù)的加盟，大大拓展了命制函數(shù)類探究題的空間。從例題中看出，函數(shù)類的探究題的解決離不開(kāi)函數(shù)中的主體知識(shí)，因此夯實(shí)函數(shù)“三基”就能以不變應(yīng)萬(wàn)變。注意“構(gòu)造思想”“分類討論思想”等技巧的應(yīng)用。

二、從等差、等比數(shù)列常規(guī)問(wèn)題入口，命制開(kāi)放型與存在型試題

樣題2：已知數(shù)列{an}，{bn}中，對(duì)任何正整數(shù)n都有：

（1）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，是否存實(shí)數(shù)λ，使得λan≤Sn對(duì)一切n∈N+都成立？若存在，請(qǐng)求出λ的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

思路點(diǎn)擊：數(shù)列型的探究題型都以數(shù)列的主干知識(shí)為依托，用求解數(shù)列類問(wèn)題的常規(guī)思路探尋解題途徑。由于數(shù)列本質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以在探究題型中常與含參數(shù)的函數(shù)恒成立問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，綜合分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想，問(wèn)題新穎靈活，從數(shù)學(xué)能力方面立意，難度中等偏上，是較有區(qū)分度的綜合性問(wèn)題。

解析：（1）依題意，得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n，故已知等式即為

同時(shí)有，bn-1+2bn-2+3bn-3+……+（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2）

兩式相減，可得bn+bn-1+……+b2+b1=2n-1，

可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn=2n-1，知數(shù)列{bn}是首項(xiàng)1，公比為2的等比數(shù)列。

（2）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則bn=2qn-1，從而有

由于{an}是等比數(shù)列，則an-1-an是常數(shù)，故q=2，所以等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為公差為從而假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得λan≤Sn對(duì)一切n∈N+都成立，即（2n-1）對(duì)一切n∈N+都成立，即對(duì)一切n∈N+都成立，得N+），即λ≤4。所以存在λ≤4，使得λan≤Sn對(duì)一切n∈N+都成立。

評(píng)析：本題從學(xué)生熟悉的等差、等比數(shù)列的常規(guī)問(wèn)題入手，考查由數(shù)列和到通項(xiàng)的過(guò)程以及數(shù)列求和的常規(guī)方法，探究題型還是以函數(shù)恒成立問(wèn)題為主，區(qū)分度較明顯，由淺入深，重在數(shù)列知識(shí)的細(xì)節(jié)問(wèn)題處，難易得當(dāng)。

三、以新增知識(shí)為媒介，命制結(jié)論開(kāi)放的探究型新題

樣題3：已知

甲同學(xué)利用Tn設(shè)計(jì)了一個(gè)程序框圖，如圖所示，但乙同學(xué)認(rèn)為這個(gè)程序如果被執(zhí)行將會(huì)是一個(gè)“死循環(huán)”（即程序會(huì)永遠(yuǎn)執(zhí)行下去，而不會(huì)結(jié)束），你是否同意乙同學(xué)的觀點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由。

思路點(diǎn)擊：框圖是新課改后的新增知識(shí)，難度不大，只要能夠讀懂程序框圖的邏輯順序即可，學(xué)生的重視程度不大，但近期對(duì)于框圖的研究也有了新的亮點(diǎn)，抓住框圖的邏輯性的特點(diǎn)，以及它與函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的綜合，新題也層出不窮，綜合性題型更是體現(xiàn)無(wú)遺。

評(píng)析：框圖題型作為新課改后出現(xiàn)的新增知識(shí)，這幾年各地高考的必考題，此類知識(shí)一直都是學(xué)生的得分點(diǎn)，同時(shí)也是比較容易出錯(cuò)的地方，框圖題型的特點(diǎn)，決定它較強(qiáng)的綜合性，探究性的問(wèn)題是一個(gè)值得學(xué)生應(yīng)該重視的題型，問(wèn)題新穎獨(dú)特，重在考查學(xué)生的綜合能力和對(duì)新知的接受與變通的能力。

四、以圓錐曲線為舞臺(tái)，命制異彩紛呈的結(jié)論開(kāi)放性的探索型題

（1）求橢圓的方程；

思路點(diǎn)擊：充分應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)，以及利用傳統(tǒng)解析幾何的解題思路，首先，用特例猜測(cè)可能的定點(diǎn)，然后，通過(guò)一般情況證明定點(diǎn)的正確性，從而找到問(wèn)題的結(jié)論。

解析：（1）∵△F1F2M為等腰直角三角形，橢圓的方程為又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)代入可得故所求的橢圓方程為

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，易知A，B是橢圓的短軸的兩端點(diǎn)，∴以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1，由解得即兩圓相切于點(diǎn)（0，1），因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）。事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)。

證明如下：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1），當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線的方程為由消去y，得（18k2+9）x2-12kx-16=0，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則又即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1），∴在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件。

評(píng)析：解析幾何是探究型、開(kāi)放性問(wèn)題的大戶室，五彩繽紛的概念和性質(zhì)給命制開(kāi)放性問(wèn)題提供了廣闊的舞臺(tái)，然而，這類題型的探索思路是一成不變的：用代數(shù)方法（方程組）研究幾何問(wèn)題（曲線間的位置關(guān)系）。

總之，探究型試題難度較大，對(duì)學(xué)生的能力要求較高且區(qū)分度較強(qiáng)，只要我們能夠了解該類問(wèn)題解決的常規(guī)方法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)常見(jiàn)的解題技巧，就可以深刻地感受到此類問(wèn)題無(wú)處不在地體現(xiàn)出分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的思想。學(xué)生通過(guò)對(duì)此類問(wèn)題的訓(xùn)練一定會(huì)在數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)上有質(zhì)的飛躍。

（編輯：胡 璐）

袁江毅，江西省九江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校中教一級(jí)教師，多次參加市里的各項(xiàng)教師技能大賽并獲得一等獎(jiǎng)，曾發(fā)表多篇論文，并榮獲省市一等獎(jiǎng)，曾多次參與課外權(quán)威參考書的編寫。

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