陳東敏

對(duì)稱(chēng)是高中數(shù)學(xué)中一種很重要的關(guān)系，它包括點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)。利用對(duì)稱(chēng)求函數(shù)的解析式是高考中的常見(jiàn)題型，所以有必要學(xué)好它。現(xiàn)舉例說(shuō)明如何利用對(duì)稱(chēng)求函數(shù)的解析式。

一、軸對(duì)稱(chēng)

1.點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（x，-y）。

2.點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（一x，y）。

3.點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x=a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（2a-x，y）。

4.點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（x，2a-y）。

5.點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（y，x）。

6.點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=x+b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（y-b，x+b）。

例1 設(shè)函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，若當(dāng)x≤1時(shí)，，則當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=____。

解析：設(shè)（x，y）（x>l）是x>1時(shí)f（x）的圖像上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x=l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在的圖像上。

點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（2-x，y）（2-x故當(dāng)x>1時(shí)

例2 已知函數(shù)f（x）的圖像過(guò)點(diǎn)（0，1），且與函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x-l成軸對(duì)稱(chēng)，求f（x）的解析式及定義域。

解析：設(shè)（x，y）是f（x）的圖像上任意一點(diǎn)。

由函數(shù)f（x）的圖像與函數(shù)1的圖像關(guān)于直線y=x-l成軸對(duì)稱(chēng)，得點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=x-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在函數(shù)-1的圖像上。

點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y=x-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（y+l，x-l），則，即x+a=，故

由函數(shù)f（x）的圖像過(guò)點(diǎn)（0，l），得f（0）=1，即，解得a=l。

故，其定義域?yàn)椋?l，+∞）。

二，點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

1.點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（-x，-y）。

2.點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是

例3 已知函數(shù)f（x）的圖像與函數(shù)g（x）=的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)f（x）的解析式。

解析：設(shè)（x，y）是函數(shù)f（x）的圖像上任意一點(diǎn)。

由函數(shù)f（x）的圖像與函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱(chēng)，得點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)（0，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在函數(shù)g（x）的圖像上。

點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)（O，l）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（-x，2-y），則，故

故

例4 已知f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=x（1-x），則當(dāng)x>0時(shí)，f（x）的解析式為_(kāi)____。

解析：由f（x）為奇函數(shù)，得函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

設(shè)（x，y）（x>O）是x>O時(shí)f（x）的圖像上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在f（x）=x（l一x）（x