吳艷華

[摘 要] 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，也是分析問題、解決問題的依據(jù). 抓好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵. 筆者結(jié)合了一堂“二元一次方程”概念教學(xué)的課堂實錄，展示了在概念教學(xué)中該如何引入概念、關(guān)注概念的形成過程，在此過程中啟發(fā)學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性；同時要求學(xué)生理解概念的根本內(nèi)涵，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，記憶概念中的關(guān)鍵詞語.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué)；定義；概念；生活及教育

要研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)，首先我們應(yīng)該走進概念教學(xué)的現(xiàn)場“課堂”. 通過課堂觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)概念教學(xué)更多的是流于形式的教學(xué)，講不透的現(xiàn)象屢見不鮮. 我們可以簡單地將概念教學(xué)分成三類：第一類，教師直接把定義告訴學(xué)生，并讓他們熟記；第二類，教師通過告訴學(xué)生盡可能多的正面的例子來幫助學(xué)生把握概念；第三類，教師傾向于概念的應(yīng)用. 當(dāng)然更多的教師關(guān)注的是對數(shù)學(xué)概念功利性的運用，追求的是學(xué)生能用概念正確解題. 由于課堂時間有限，教師急于講解例題，根本沒有把概念講透，只是寄希望于練習(xí)，企圖以練代講，美其名曰“快節(jié)奏，大容量”. 但大量的練習(xí)僅僅是執(zhí)行（規(guī)則）活動，而不是一種認識活動，通過練習(xí)學(xué)生并不能自動達到對數(shù)學(xué)概念的深刻理解. 他們更多的只是停留在表面，或者一知半解，并沒有從根本上了解概念的內(nèi)涵，這樣的學(xué)生一旦遇到新的背景、新的題目就束手無策了. 那么我們該如何進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)呢？首先我們要搞清楚定義與概念的聯(lián)系與區(qū)別.

正確認識定義與概念的區(qū)別

初中教科書上出現(xiàn)的所謂的“概念”實際上是定義，它與概念還是有些區(qū)別的. 概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，是客觀事物的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的概括反映. 人們在感性認識的基礎(chǔ)上，從同類事物的許多屬性中，概括出其所特有的屬性，形成用詞或詞組表達的概念. 概念具有抽象性和普遍性，因而能反映同類事物的本質(zhì). 數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式. 比如，圓是一類事物，它是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合，這是圓的本質(zhì)屬性，圓的概念就是這一本質(zhì)屬性的反映.

而定義是對概念本質(zhì)屬性的規(guī)定，概念有內(nèi)涵與外延，定義一個概念也就是規(guī)定了概念的屬性，我們可以通過對內(nèi)涵的規(guī)定（但不必指出所有內(nèi)涵），也可以通過對外延的規(guī)定.

初中數(shù)學(xué)教科書上的定義又分為兩類，一類我們稱之為形式定義，如分式的定義：形如的式子我們稱之為分式；還有一類定義即為概念定義，概念定義=種概念+屬差. 如我們在定義菱形的時候，可以利用平行四邊形這一學(xué)過的概念，它規(guī)定了菱形所屬的類別，但菱形不是一般的平行四邊形，它以“有一組鄰邊相等”這一特征與平行四邊形的另一所屬概念——矩形區(qū)別開來，這樣就可以得到：菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等.

概念可以通過定義來把握，但真正把握一個概念必須把握這個概念的內(nèi)涵與外延，通過定義推論的過程就是揭示概念內(nèi)涵的過程，單單一個定義，對概念的把握是抽象的、單薄的、蒼白的，通過舉例（正例、反例）可以明確概念的外延，通過推論可以豐富概念的內(nèi)涵. 所以我們在進行概念教學(xué)時，教師始終應(yīng)更為注重的是引導(dǎo)學(xué)生通過對具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺獲取事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律，從而形成新的概念，這樣學(xué)生在獲得概念的同時，還培養(yǎng)了抽象概括能力和創(chuàng)新精神. 同時也使學(xué)生從被動的“聽”發(fā)展成為主動地獲取和體驗數(shù)學(xué)概念，自主構(gòu)建知識的過程，這樣才能充分體現(xiàn)以學(xué)生為本，尊重學(xué)生主體地位的教學(xué)理念，同時也促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和優(yōu)化. 接下來筆者將結(jié)合具體的課堂實錄來談?wù)勅绾芜M行概念教學(xué).

在概念教學(xué)中，要講究教學(xué)方法

（一）概念的引入：通過多途徑引入概念

陶行知先生曾說過：“從定義上說，生活教育是給生活以教育，用生活來教育，為生活向前向上的需要而教育. 從生活與教育的關(guān)系上說，是生活決定教育. 從效力上說，教育要通過生活才能發(fā)出力量而成為真正的教育. ”而我們的數(shù)學(xué)概念有些就是由生產(chǎn)、生活實際問題中抽象出來的，有些是由數(shù)學(xué)自身的發(fā)展與需要而產(chǎn)生的，許多數(shù)學(xué)概念源于生活實際，但又依賴于已有的數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生. 根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式及數(shù)學(xué)思維的一般方法，結(jié)合學(xué)生的認知特點，可以通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情境，采用猜想、歸納的方法來引入. 引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ). 我們就以一元二次方程的概念教學(xué)實錄為例來具體談?wù)勈侨绾尾僮鞯?

片斷一：

有一天，小明帶了40元來到KFC買薯條（每份8元），正好將錢用完，請問：小明買了幾份薯條？這一問很簡單，可以用小學(xué)的算術(shù)方法解決：40÷8=5；也可以用前面所學(xué)的一元一次方程來解決：設(shè)買了x份薯條，則有8x=40①.

可是此時小明有點口渴了，他想用40元買可樂（每份4元）和薯條（每份8元），錢正好用完，請問：小明買了幾份薯條和幾份可樂？

因為前面已經(jīng)接觸了設(shè)未知數(shù)，建立方程解決實際問題，所以學(xué)生很容易想到通過設(shè)未知數(shù)列方程解決問題. 設(shè)小明買了x份薯條和y份可樂，則得到方程：8x+4y=40②.

結(jié)果小明買了漢堡（每份10元）和薯條（每份8元），他發(fā)現(xiàn)買漢堡的錢比買薯條的錢多12元，請問：小明買了幾份漢堡和薯條？設(shè)小明買了x份漢堡和y份薯條，則可得到方程：10x-8y=12③.

師：請同學(xué)們觀察一下黑板上的三個方程，有你所熟悉的嗎？

生：有，第一個，一元一次方程.

師：那另外兩個方程如果請你給它們?nèi)∶?，你會取什么名字?/p>

生：二元一次方程.

師：很好！那今天這節(jié)課我們將來一起學(xué)習(xí)二元一次方程. （板書課題）

評析 新課標(biāo)指出，概念教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體的實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程. 因此. 引入數(shù)學(xué)概念就要以具體的典型的材料和實例為基礎(chǔ). 揭示概念形成的實際背景，要創(chuàng)設(shè)好的問題情境，幫助學(xué)生完成由材料感知認識的過程，并引導(dǎo)學(xué)生把背景材料與原有認知結(jié)構(gòu)建立起實質(zhì)性的聯(lián)系. 本節(jié)課就從學(xué)生身邊的事情（購物）出發(fā)，因為它是學(xué)生身邊發(fā)生的事情，所以學(xué)生對它有親切感，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)概念來源于生活，又服務(wù)于生活. 這與陶行知老先生的生活教育理念是一致的，抽象的數(shù)學(xué)概念一下子貼近了生活，使學(xué)生易于接受，還可以讓學(xué)生認識數(shù)學(xué)概念的實際意義，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識. 而且本課在引入時還特意增加了一個一元一次方程為后面構(gòu)建二元一次方程的概念作了鋪墊.endprint

片斷二：

師：請同學(xué)們兩兩為一個小組，再模仿寫一些二元一次方程，然后兩個同學(xué)交流一下你們所寫的方程是不是二元一次方程.

學(xué)生模仿寫二元一次方程，然后相互交流辨析.

師：那你能試著給二元一次方程下定義嗎？你能想到幾點就說幾點.

生：它有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是一次的方程.

某學(xué)生剛說完，下面就有其他學(xué)生補充：是整式方程.

師：很好，同學(xué)們類比了我們的一元一次方程的定義. 剛才這位同學(xué)說是含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是一次的方程（板書這兩點）. 那我們來看兩個例子：①+y=3；②+y=4. 這兩個方程都是二元一次方程嗎？

生：第一個不是，第二個是. 第一個方程中未知數(shù)出現(xiàn)在分母上，是分式方程，不是整式方程. 第二個方程是二元一次方程，因為x的次數(shù)是一次.

師：我們也可以聯(lián)系我們前面所學(xué)的冪的運算. 我們知道=x-1，所以x的指數(shù)不是一次，所以第一個方程不是二元一次方程，第二個方程是二元一次方程. （板書第三點：整式方程）

師：剛才我看到有一個小組的同學(xué)他們對一個方程是不是二元一次方程有點爭議，請同學(xué)們幫助他們判斷一下. 我們請他們把方程寫到黑板上.

生：xy+1=5.

學(xué)生下面頓時炸開了鍋，贊成的和反對的人數(shù)不分上下，大家都在議論.

生：雖然x和y的次數(shù)都是一次，但整個項的次數(shù)是兩次.

師：很好，那我們怎么來修改我們的定義？

生：項的次數(shù)是一次.

師：是要求所有的項都是一次的嗎？那方程中的常數(shù)項呢？它的次數(shù)是幾次？還有哪位同學(xué)能來補充一下？

生：含有未知數(shù)的項的次數(shù)為一次.

評析 波利亞曾經(jīng)指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”. 所以我們要改變傳統(tǒng)教學(xué)中結(jié)論及結(jié)論的運用的教學(xué)方法，要注意讓學(xué)生體驗概念的形成過程. 即概念在什么條件下蘊藏著，在什么背景下初露端倪，如何經(jīng)過分析、對比、歸納、抽象，最后形成理性的概念. 這個過程，如果處理得當(dāng)，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維很有利. 本課在學(xué)生列出方程的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過類比一元一次方程，先給方程起個名稱，接著通過模仿寫二元一次方程，在模仿的過程中總結(jié)二元一次方程的概念. 當(dāng)然學(xué)生對概念的全面理解不可能是一蹴而就的，而是要經(jīng)歷“實踐—認識—再實踐—再認識”的過程，這是一個“正確”與“錯誤”搖擺不定的過程，更是一個對概念不斷深化理解的過程. 所以學(xué)生在第一次模仿寫二元一次方程，總結(jié)概念的基礎(chǔ)上，通過舉例讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后修正概念.

片斷三：

師：現(xiàn)在我們一起來總結(jié)一下，給二元一次方程下定義，誰來說說看.

生：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的次數(shù)為1的整式方程為二元一次方程.

師：總結(jié)得很到位.

評析 要記住數(shù)學(xué)概念，首先要理解透徹，不能囫圇吞棗，所以在講概念時要講清、講透. 對課本上的精煉的概念應(yīng)該字斟句酌，幫助學(xué)生徹底認清關(guān)鍵性的字眼，逐字逐句理解透徹，力求真正弄懂. 如二元一次方程，除了講清“元”與“次”的含義外，還要抓住“項”這個字眼做文章，使學(xué)生懂得這個定義如果丟了“項”字，則方程xy+1=5也是二元一次方程了.

片斷四：

師：接下來再請同學(xué)們寫幾個方程，讓你的同桌來判斷一下哪些是二元一次方程.

評析 在概念形成之后，通過學(xué)生之間的相互練習(xí)，加深對概念的印象，促進概念的內(nèi)化.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的最終目的不僅僅是使學(xué)生掌握概念本身，而應(yīng)努力通過揭示概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀念，完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的思維能力. 若在課堂教學(xué)中只要求學(xué)生記住它的定義，然后反復(fù)練習(xí)，這樣做，雖然學(xué)生也能理解這部分知識，但實際上降低了對能力的要求. 所以在教學(xué)過程中還應(yīng)特別注意對例題和教學(xué)方法等方面的選擇和改進. 這不僅僅是一個理論問題，更是一個實踐課題，需要廣大的一線數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容和教學(xué)對象作進一步研究.endprint