【摘 要】 “尚德課堂”的核心理念是“遵循本心，順乎自然”，即順應(yīng)師生的發(fā)展“本心”、順應(yīng)知識(shí)建構(gòu)的基本規(guī)律、順應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的獨(dú)特路徑去設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂。基于這樣的理念和要求，筆者在設(shè)計(jì)《勾股定理的應(yīng)用》這節(jié)課時(shí)，力求遵循“本心”自主探究，漸漸達(dá)成勾股定理知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的鞏固與深化。教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，由簡單到復(fù)雜，層層深入，較好的實(shí)現(xiàn)了在“尚德課堂”中要深化、升華的教學(xué)目標(biāo)。

【關(guān) ?鍵 ?詞】 遵循“本心”;順應(yīng)規(guī)律;尚德理念;

【作者簡介】 陳潔，江蘇省蘇州市相城實(shí)驗(yàn)中學(xué)，中學(xué)一級，研究方向：尚德數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)運(yùn)用理論。

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1671-0568（2015） 07-0070-04

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用的過程，從而使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時(shí)在思維能力、情感態(tài)度和價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！?江蘇省蘇州市相城實(shí)驗(yàn)中學(xué)（簡稱我校，下文同）“尚德課堂”的核心理念是“遵循本心，順乎自然”，即順應(yīng)師生的發(fā)展“本心”、順應(yīng)知識(shí)建構(gòu)的基本規(guī)律、順應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的獨(dú)特路徑去設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂?；谶@樣的理念和要求，筆者在設(shè)計(jì)《勾股定理的應(yīng)用》這節(jié)課時(shí)，力求遵循“本心”自主探究，漸漸達(dá)成勾股定理知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的鞏固與深化。教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，由簡單到復(fù)雜，層層深入，較好地實(shí)現(xiàn)了在“尚德課堂”中要深化、升華的教學(xué)目標(biāo)。

一、順應(yīng)師生“本心”，首先是順應(yīng)學(xué)情基礎(chǔ)

“勾股定理”是我國古代數(shù)學(xué)上的一項(xiàng)偉大數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。相傳是由商代的商高發(fā)現(xiàn)，故又稱為“商高定理”。三國時(shí)期，蔣銘祖在《蔣銘祖算經(jīng)》中，對勾股定理作出了詳細(xì)的注釋。可以說，“勾股定理”解決了直角三角形三邊間的數(shù)量關(guān)系，是重要的幾何定理，也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)幾何的重要基礎(chǔ)。課程標(biāo)準(zhǔn)對“勾股定理”內(nèi)容的教學(xué)要求是：（1）能應(yīng)用“勾股定理”解決一些簡單的實(shí)際問題;（2）學(xué)會(huì)選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。在教學(xué)“勾股定理的應(yīng)用”之前，學(xué)生已經(jīng)準(zhǔn)確地理解了勾股定理，并能運(yùn)用它們解決一些較為簡單的數(shù)學(xué)問題。比如掌握了直角三角形中，已知任意兩邊可以求出第三邊;利用勾股定理可以建立方程求未知邊等一些基本運(yùn)用方法。所以，教學(xué)時(shí)筆者就從基礎(chǔ)知識(shí)鞏固開始——

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，知道了勾股定理揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，請同學(xué)說一下。

生：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

但是，從發(fā)展的“本心”看，學(xué)生“勾股定理的應(yīng)用”的眼界沒得以拓寬;相關(guān)復(fù)雜條件下的探究能力還沒有形成;分類討論思想，特別是抽象思維訓(xùn)練還有待加強(qiáng)。因此，筆者著手建構(gòu)“勾股定理的應(yīng)用”的教學(xué)方案。

“尚德理念”強(qiáng)調(diào)順應(yīng)師生的發(fā)展“本心”、順應(yīng)知識(shí)建構(gòu)的基本規(guī)律。在建構(gòu)時(shí)，本著順應(yīng)學(xué)生的發(fā)展“本心”出發(fā)，盡量讓問題解決生活化、情境化，讓學(xué)生由淺入深，漸進(jìn)深入地學(xué)習(xí)勾股定理的復(fù)雜應(yīng)用。為什么在數(shù)學(xué)問題解決過程中強(qiáng)調(diào)生活化、情境化？尚德課堂主張建設(shè)意味深長、意趣盎然的趣味課堂。課堂生活中有了深度興趣，學(xué)生才能陽光樂觀、踏實(shí)堅(jiān)定，才能獲得主動(dòng)活潑的發(fā)展。在學(xué)生回顧了勾股定理的基本原理后，筆者先設(shè)計(jì)了“勾股定理的應(yīng)用”的“一般應(yīng)用”，以積累學(xué)生問題解決的經(jīng)驗(yàn)。

師：有兩棵樹，一棵高10m，一棵高4m，相距8m，一小鳥要從一棵樹梢A飛到另一棵樹梢C，至少飛行多少米？這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學(xué)問題？

生：兩點(diǎn)之間線段最短。

師：樹可以看成線段，樹和地面是垂直的，小鳥的飛行距離最短就轉(zhuǎn)化成“兩點(diǎn)之間線段最短”?，F(xiàn)在的問題就轉(zhuǎn)化為什么呢？怎么求AC？

生：過C作CD垂直于AB，構(gòu)造直角三角形。

師：我們看升旗的問題。下垂時(shí)，繩子剛好接觸地面，求旗桿高度的問題。把升旗的繩子拉開時(shí)什么是不變的？

生：繩子的長度不變。

師：如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題呢？

生：標(biāo)上字母，頂點(diǎn)為A， 2米處為D，構(gòu)造直角三角形。設(shè)旗桿高度為x米，則AD=（x-2）米。

師：很好。當(dāng)我們求未知線段長度時(shí)可以設(shè)為實(shí)數(shù)x，然后利用勾股定理建立方程，解決問題。

師：第三個(gè)游泳問題， BC=200米， AC=520米，求河寬即AB的長。

生：可以構(gòu)造直角三角形。（如圖）

師：有沒有同學(xué)可以在5秒以內(nèi)得出答案。還要注意計(jì)算技巧。

生：520和200的比值是13比5，所以另一條是12，回過去就是480。

師：正好借此就會(huì)復(fù)習(xí)常用的勾股數(shù)

生：3，4，5;5，12，13，;6，8，10;7，24，25;9，40，41;8，15，17。

師：我們利用這些勾股數(shù)或者比值能夠又快又準(zhǔn)的算出邊的長度。簡單地小結(jié)一下剛剛幾個(gè)簡單的例子，如果沒有直角三角形，我們就要構(gòu)造直角三角形;如果數(shù)據(jù)不充分時(shí)，可以設(shè)未知數(shù)建立方程來解決問題。

第一題是為了讓學(xué)生了解勾股定理的應(yīng)用中常用的方法：構(gòu)造直角三角形，同學(xué)們幾乎都會(huì)回答，一開始的引導(dǎo)也比較到位，“樹木和數(shù)學(xué)里的什么概念可以聯(lián)系起來”，“最短距離就是數(shù)學(xué)中的什么概念？”等等，一下就把學(xué)生帶到了數(shù)學(xué)幾何的宮殿里，學(xué)生們很踴躍地回答這些問題。第二題意在繼續(xù)深入理解掌握“構(gòu)造直角三角形”，還有就是會(huì)用方程的思想來解決問題，學(xué)生們也能很順利地利用并解決問題。這兩項(xiàng)也正是我們學(xué)習(xí)勾股定理應(yīng)用的教學(xué)主要目的。游泳問題，蘊(yùn)含了很重要的計(jì)算技巧，在合理的引導(dǎo)下，學(xué)生掌握了用比值、勾股數(shù)的方法來求出未知邊的長度。學(xué)生覺得非常新奇，而且印象深刻，從他們驚訝的表情和輕聲的感嘆中完全能感受到了！

順應(yīng)師生“本心”，首先是順應(yīng)學(xué)情基礎(chǔ)。教學(xué)時(shí)，筆者從簡單的兩棵樹間小鳥飛行的最短路程等問題開始，引導(dǎo)學(xué)生將單調(diào)的勾股定理原理，轉(zhuǎn)化為生活中的實(shí)際問題，即貼近學(xué)生生活的旗桿高度、游泳等問題情境，使學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)問題來源于生活又應(yīng)用于生活。完成了這三個(gè)例題以后，筆者對學(xué)生說：“如果沒有直角三角形，我們就要構(gòu)造直角三角形;如果數(shù)據(jù)不充分時(shí)，可以設(shè)未知數(shù)建立方程來解決問題?！边@樣，通過勾股定理的一般應(yīng)用，學(xué)生漸漸明白利用勾股定理等數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活中的實(shí)際問題，在鞏固“常用的勾股數(shù)”的同時(shí)，學(xué)生越發(fā)對勾股定理運(yùn)用和勾股定理文化產(chǎn)生自信與崇敬。

從“尚德理念”出發(fā)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，立足于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)來選擇身邊的生活素材，讓教學(xué)內(nèi)容充滿趣味性和吸引力。這樣，更容易引導(dǎo)學(xué)生研究勾股定理的應(yīng)用問題。

二、順應(yīng)習(xí)得規(guī)律，有序開展應(yīng)用探究

在尚德教育體系中，數(shù)學(xué)并不是形式嚴(yán)格、思想固化的知識(shí)體系。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以讓人的思想得以自由飛揚(yáng)，但前提是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要順應(yīng)知識(shí)習(xí)得規(guī)律，在基于生活問題解決過程中，要有序地開展應(yīng)用探究，這樣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是閃爍著自由思想的思維過程。

當(dāng)學(xué)生有了勾股定理的一般應(yīng)用的初步積累以后，筆者推出了下面這個(gè)內(nèi)容——

師：我們看4題，壁虎要從B處爬臺(tái)階，到A處吃食物，這只壁虎請?jiān)鯓幼?，才是聰明的呢？請你上黑板畫出聰明壁虎的路線圖。

生：（作圖如下）。

筆者將這個(gè)臺(tái)階展開來，變成一個(gè)長方形。

師：這種思路很好。這就是數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化思想。如何解決問題？

生：AB2=202+（9+6）2，AB=25。

師：轉(zhuǎn)化是重要的數(shù)學(xué)處理問題的方式。我們來看第5個(gè)問題（如圖），長方體的長、寬、高分別為3、4、5，則圖中在表面上A到B的最短距離為______。

師：呂云天，你想到了幾種爬法？

生：2種。

（師：請上黑板畫出來。

（呂云天上黑板畫圖）

師：還有可以補(bǔ)充的嗎？

師：劉詩睿請上黑板進(jìn)行補(bǔ)畫。

（劉詩睿上黑板畫圖）

師：計(jì)算三種不同情況的不同結(jié)果，并分為三種情況進(jìn)行比較。

①如圖1，展開后連接AB，則AB就是在表面上A到B的最短距離，

∠ACB=90°，AC=3+4=7，BC=5，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=74

②如圖2，展開后連接AB，則AB就是在表面上A到B的最短距離，

∠ACB=90°，AC=3，BC=5+4=9，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=90

③如圖3，展開后連接AB，則AB就是在表面上A到B的最短距離，

∠ACB=90°，AC=5+3=8，BC=4，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2=80

通過比較發(fā)現(xiàn)， A到B的最短距離是 ? ?74。

師：我們看第6題，細(xì)線繞長方體問題。你能提出問題解決的方案么？請同學(xué)上黑板畫圖并解決問題。

（郁思杰上黑板完成。 ? ? ? AA=8，AB=6）

師：鄒正熙來解釋一下同學(xué)這樣畫圖的意思。

生：把四個(gè)面全部展開，標(biāo)上長和寬，連起來構(gòu)成直角三角形。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB= ? ?82 ?+62 ? ? ? ?=10 。

師：看第7題。一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處。

（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑;

（2）當(dāng)AB=4， BC=4， CC1=5時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長。先看第一小題。

生：前右或者前上（學(xué)生作畫，如下）

師：如果每個(gè)面都是正方形，它爬的路程怎樣？

生：一樣的。

師：但第2小題里說是長方體，情況怎樣？

生：不一樣。

師：利用勾股定理計(jì)算一下AC和AC， 利用勾股定 AC=89 ，AC=97，AC< AC，所以從前面的面爬到右面到C比較近。

為什么要這樣設(shè)計(jì)？因?yàn)椤吧械抡n堂”強(qiáng)調(diào)順應(yīng)師生的發(fā)展“本心”、順應(yīng)知識(shí)建構(gòu)的基本規(guī)律、順應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的獨(dú)特性去設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂。探究勾股定理應(yīng)用時(shí)，例題難度只有層層深入，才能引導(dǎo)孩子們“跳一跳摘蘋果”。 例7中螞蟻爬靠墻柜子的問題中，在筆者的正確引導(dǎo)下，學(xué)生的思維進(jìn)入正軌，沒有胡亂思考，考慮得非常全面。這個(gè)例子在討論環(huán)節(jié)出現(xiàn)了一些爭論，大部分學(xué)生能想出2種情況，也有同學(xué)說是4種情況。筆者便把同學(xué)的典型思考及作畫的情況用實(shí)物投影展示出來，因?yàn)橛械耐瑢W(xué)所認(rèn)為的不同，其實(shí)有可能是相同的情況，只是觀察思考的角度不同而已。這樣，我們討論后，歸納出有3種不同情況。這樣，更符合尚德課堂的“合乎本心”的理念。

這樣設(shè)計(jì)是基于學(xué)生“本心”發(fā)展的態(tài)勢的。在圖形轉(zhuǎn)化環(huán)節(jié)，從一開始的圓柱展開、壁虎爬臺(tái)階，然后細(xì)線繞長方體一圈，讓學(xué)生自主探究如何將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，只是展開后的情形是不同的。而從例5開始，漸漸增加問題解決的難度，讓學(xué)生意識(shí)到問題解決可能要分幾種情況來思考。所以，例7在例6的基礎(chǔ)上又增加了更多的思考角度，以達(dá)到逐漸深化課堂教學(xué)的目的。如果不遵循認(rèn)知的本心，不符合學(xué)生認(rèn)知深入的規(guī)律就很難實(shí)現(xiàn)從簡到難，循序漸進(jìn)，從而走進(jìn)尚德課堂教學(xué)境界。這節(jié)課，在學(xué)生研究每個(gè)題目時(shí)，筆者只是起到穿針引線的作用，主要讓學(xué)生自己思考研究，自己畫圖并解決問題。這樣，每個(gè)學(xué)生都成為“尚德課堂”的參與者，他們自由討論，自由交流，自主建構(gòu)著開放式的勾股定理應(yīng)用模型。

尚德課堂崇尚“遵行本心，順乎自然”的理念。在教學(xué)時(shí)，筆者也預(yù)設(shè)了可能出現(xiàn)的問題，以讓學(xué)生自己產(chǎn)生錯(cuò)誤、自己發(fā)現(xiàn)、自己討論、自己改正，這樣會(huì)使課堂氣氛寬容、民主、和諧，學(xué)生也是極其快樂。由于教師不加限制，學(xué)生的思維可以無限的展開，從而主動(dòng)建構(gòu)自己的運(yùn)用模型，增強(qiáng)了學(xué)生運(yùn)用勾股定理的自信心。

由于所教班級中女生較多，而大部分女生的抽象思維處于亟待激發(fā)與拓展時(shí)期。討論第7題目時(shí)，其中有一個(gè)女生上來修改了3次，但筆者還是給予了肯定和鼓勵(lì)。因?yàn)閷W(xué)生需要老師的肯定，這樣他們才會(huì)越來越有自信！我們的核心理念“順其自然，合乎本心”，這與數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)理念，教學(xué)方式真是不謀而合！學(xué)生在探究過程中，為什么會(huì)出現(xiàn)這種問題？如果在課前準(zhǔn)備好一個(gè)長方體模型，在課堂上適時(shí)展開，這樣學(xué)生會(huì)比較直觀的看到長方體展開的情況，可能更符合學(xué)生的認(rèn)知情況，也更符合尚德課堂的“合乎本心”的要求。

基于“尚德理念”的“勾股定理的應(yīng)用”教學(xué)，既復(fù)習(xí)了勾股定理原理及常用的勾股數(shù)，又通過運(yùn)用提高了學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力，這對于如何培養(yǎng)學(xué)生的解題速度和能力是非常有意義的。只要教師“遵循本心，順乎自然”，加強(qiáng)正確引導(dǎo)，既不滿堂灌，也不過于放手，學(xué)生的思維才能如一列火車一樣在方向正確的軌道上行駛。

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