殷曉丹

工程問題在沉寂了幾年之后，人教版2014六上教材中再度呈現(xiàn)。我的理解是經(jīng)過上一輪的教學(xué)實踐，教材編寫者和一線教師認(rèn)識到工程問題對訓(xùn)練學(xué)生的思維和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識有著不可或缺的價值和意義，因此教材專門安排了一個工程例題的教學(xué)（42～43頁的例7）。

在工程問題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生自我認(rèn)識模型、自主建構(gòu)模型、自覺運(yùn)用模型，是課堂教學(xué)中教師必須跨越的，也是學(xué)生學(xué)習(xí)工程問題必須跨越的。

由此延伸，工程問題的建模過程也是學(xué)生從具體有形的實例解決到無形的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟的跨越過程。

一、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的跨越

1.由整數(shù)工程問題引入，幫助學(xué)生認(rèn)識模型

學(xué)生最初是從整數(shù)來開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的，對整數(shù)有著天然的親近感和歸屬感，而整數(shù)的單一性（小數(shù)部分沒有計數(shù)單位）又給數(shù)據(jù)的處理帶來了方便。從這個意義上來說，創(chuàng)設(shè)整數(shù)的問題情境，有利于學(xué)生自我認(rèn)識工程問題模型。

在例7教學(xué)之前，我設(shè)計了一道整數(shù)工程問題來鋪墊：

修一條長360米的路，一隊單獨修，12天能修完，二隊單獨修，18天才能修完。如果兩隊合修，多少天能修完？

鋪墊練習(xí)著重從兩個方面引導(dǎo)學(xué)生：一是引導(dǎo)學(xué)生自我認(rèn)識工程問題的模型結(jié)構(gòu)，具體地說就是有哪些數(shù)量，每個數(shù)量的含義是什么，哪些數(shù)量之間有關(guān)系，哪些數(shù)量之間沒有關(guān)聯(lián)；二是引導(dǎo)學(xué)生自我認(rèn)識工程問題的數(shù)量關(guān)系。

由工作總量360米求兩隊合修的時間，學(xué)生自然聯(lián)想到要先求出兩隊合修的工作效率；由工作總量360米，一隊單獨完成時間12天，學(xué)生自然聯(lián)想到能求出一隊工作效率是每天修30米；由工作總量360米，二隊單獨完成時間18天，學(xué)生也能自然聯(lián)想到可求出二隊的工作效率。整數(shù)數(shù)量情境的創(chuàng)設(shè)調(diào)動了學(xué)生自我感知模型、自我認(rèn)識模型的主動性和積極性。

2.由刪除工作總量遷移，引領(lǐng)學(xué)生探究模型

刪除“長360米”的條件，遷移至例7：

一條道路，如果一隊單獨修，12天能修完。如果二隊單獨修，18天才能修完。如果兩隊合修，多少天能修完？

學(xué)生最有可能想到的是假設(shè)路長，路長假設(shè)成多少呢？有講究，在運(yùn)用不同的假設(shè)數(shù)據(jù)比較之后，孩子們會盡量假設(shè)成12米和18米的公倍數(shù)。但學(xué)生仍然沒有跳出“整數(shù)”圈，教師可適時點撥：①假設(shè)路長，不就是想先求出一隊、二隊的工效嗎！②沒有了具體的長度，我們也可以表示一隊、二隊的工效。③想一想什么數(shù)能幫忙？

三層點撥，三步臺階。第一層，明確假設(shè)路長的目的；第二層，達(dá)成這個目的還有第二條路；第三層，為第二條路指明方向。三步臺階之后，生成的是學(xué)生想到用單位“1”來表示工作總量，用分?jǐn)?shù)表示工作效率。整數(shù)到分?jǐn)?shù)的跨越是在沒有了具體工作總量的情況下“無意”中實現(xiàn)的，整數(shù)到分?jǐn)?shù)的跨越也是工程問題學(xué)習(xí)從有形到無形的起點。

二、從具體到抽象的跨越

1.不同角度比較工程問題，助推學(xué)生由具體到抽象的跨越

整數(shù)工程問題與分?jǐn)?shù)工程問題本質(zhì)上相同，都有工作總量、工作效率和工作時間，三者的相互關(guān)系也沒有改變，改變的只是它們的呈現(xiàn)形式。因此在學(xué)生嘗試解決了分?jǐn)?shù)工程工程問題之后，我又送上一道“對比小菜單”：

引導(dǎo)學(xué)生由上至下對比同一列的數(shù)量，可以清晰地看到具體的數(shù)量與抽象的分率一一對應(yīng)；從左往右橫向觀察各個數(shù)量，可以得出：如果工作總量假設(shè)成具體的數(shù)量（360米），那么相應(yīng)的工作效率就可以是具體的數(shù)量。工作總量是工作效率的“因”，工作效率是工作總量的“果”，先因后果。因此把工作總量看做單位“1”，是學(xué)生自主探究工程問題的關(guān)鍵節(jié)點。

2.全面深刻理解分率本質(zhì)，確保學(xué)生由具體到抽象的跨越

分率的本質(zhì)是兩個數(shù)量之間的相對關(guān)系，具有高度的概括性和抽象性。譬如一隊工作效率，表示一隊每天的工作量占總工作量的，反映了一天的工作量與總工作量之間的相對關(guān)系；分率又內(nèi)含了工作總量、工作時間的復(fù)合信息：工作總量為1，則工作時間為12天。

分?jǐn)?shù)的本身就是一個概念模型，工程問題引入分?jǐn)?shù)，高度濃縮了總量與部分量的抽象關(guān)系。深刻理解分?jǐn)?shù)的意義，準(zhǔn)確運(yùn)用分?jǐn)?shù)來表示工作效率，是從具體（量）跨越到抽象（率）的必由之路，是工程問題建模從有形跨越到無形過程中的關(guān)鍵一環(huán)，有著承上啟下的作用。

三、從變到不變的跨越

分?jǐn)?shù)工程問題的探究始于假設(shè)工作總量，在多種假設(shè)可能性的對比中，引導(dǎo)學(xué)生觀察工作總量、工作效率、工作時間變與不變的現(xiàn)象，啟發(fā)學(xué)生思考分析工程問題中變與不變的實質(zhì)緣由，升華學(xué)生對自主建構(gòu)模型的認(rèn)同感。

1.有層次地自主探究，生成變與不變的數(shù)據(jù)信息

教材編排為例題教學(xué)設(shè)置了三個層次：

層次一：假設(shè)路長18千米。

這個層次的探究還是停留在具體有形的數(shù)量上。

層次二：假設(shè)路長30千米。

當(dāng)路長假設(shè)成30千米，求二隊工作效率，學(xué)生就“被逼”用到分?jǐn)?shù)：

用分?jǐn)?shù)數(shù)量來解決第二次的假設(shè)，或許是學(xué)生聯(lián)想到用分率來解決分?jǐn)?shù)工程問題的“敲門磚”。

層次三：假設(shè)路長是1。

第三層的假設(shè)是在第一、第二層假設(shè)之后生成的。

三種假設(shè)得出數(shù)據(jù)，“變與不變”的探討順勢而生：

變：工作總量、工作效率。

不變：兩隊合修的時間。

2.有條理地拓展延伸，探討變與不變的實質(zhì)緣由

“不同的方法計算出的結(jié)果一樣”，由此得出“不管假設(shè)這條道路有多長，答案都是相同的，把這條道路假設(shè)成1，很簡便。”如果學(xué)生的探究活動僅止于此，著實可惜。如果我們繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生想：

①路長變化，每天的工作量也隨之變化。

②但每天的工作量與路長的分率關(guān)系不變，也就是工效的分率不變。

③那么兩隊每天合修的長度占總長度的幾分之幾就是不變的。

……

通過逐層深入的交流探討，相信學(xué)生一定能悟出“合修時間不因工作總量的變化而變化”的實質(zhì)緣由。延伸問題的思考探討，一定能將工程問題的模型牢牢地固化在孩子們的知識網(wǎng)絡(luò)之中，“變與不變”就跨越于無形之中。

工程問題再度“復(fù)出”，不是簡單地重復(fù)“昨天的故事”。新《課程標(biāo)準(zhǔn)》為我們工程問題教學(xué)指出了一條光明的坦途：引導(dǎo)學(xué)生自我認(rèn)識模型、自主建構(gòu)模型、自覺運(yùn)用模型，做真正有用的數(shù)學(xué)！