高建芳

[摘 要] 數(shù)學(xué)錯(cuò)誤借助適當(dāng)?shù)牟呗钥梢陨山虒W(xué)資源. 數(shù)學(xué)教師不妨營(yíng)造適宜的教學(xué)情境，引領(lǐng)學(xué)生尋找、交流、評(píng)價(jià)錯(cuò)誤，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位，從而將數(shù)學(xué)錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)價(jià)值.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)錯(cuò)誤；教學(xué)資源；生成；尋找；評(píng)價(jià)

由于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)失衡和心理狀態(tài)的復(fù)雜性等多種因素，學(xué)生的作業(yè)出錯(cuò)總是不可避免. 作為教師，如果能夠正確處理數(shù)學(xué)作業(yè)“錯(cuò)誤”，將對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力起著舉足輕重的作用.

梳理各種錯(cuò)誤類型，我們不難發(fā)現(xiàn)，這些錯(cuò)誤包含理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的諸多問(wèn)題：（1）思維誤區(qū)；（2）心理障礙；（3）熟練程度不夠；（4）綜合性分析能力欠缺；（5）作業(yè)設(shè)置超出學(xué)生的認(rèn)知水平等. 可見(jiàn)，排除了這些錯(cuò)誤，就意味著學(xué)生能夠進(jìn)入“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的境界，能夠極大地提高數(shù)學(xué)成績(jī). 因此，這些資源極有教學(xué)價(jià)值. 心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過(guò)最富成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻. 我們要善待學(xué)生的‘錯(cuò)誤，抓住這種數(shù)學(xué)教育契機(jī)，讓錯(cuò)誤變成寶貴的教學(xué)資源. ”那如何生成呢？

尋找策略

尋找策略指有組織、有目的地搜尋錯(cuò)誤的方式、方法. 運(yùn)用這種策略可以幫助師生有趣味、有效率地快速發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，生成教學(xué)資源. 一般而言，數(shù)學(xué)作業(yè)的批改主體過(guò)于單一，絕大多數(shù)是由教師承擔(dān)的. 這當(dāng)然可以讓教師最快速地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，卻不能深層次地鍛煉學(xué)生，不能驅(qū)動(dòng)他們的自主性. 因此，除了重大的考試、檢測(cè)外，我們完全可以放手讓學(xué)生分組批改，然后梳理、歸納錯(cuò)誤. 在學(xué)生批改的過(guò)程中，一方面能檢測(cè)批改者的學(xué)習(xí)狀態(tài)，另一方面，能幫助被批改者尋找錯(cuò)誤. 學(xué)生經(jīng)歷了這樣的批改體驗(yàn)，就等于自行構(gòu)建了一個(gè)交流的公共平臺(tái)，會(huì)使他們忌諱再次出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤，也會(huì)極力避免簡(jiǎn)單、低級(jí)錯(cuò)誤的產(chǎn)生，從而悄無(wú)聲息地幫助他們建立一個(gè)良好的監(jiān)督機(jī)制，約束他們盡可能地減少錯(cuò)誤.

當(dāng)然，教師的主導(dǎo)參與作用也不可省去，可以通過(guò)巡視、抽查、交流等形式幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸類錯(cuò)誤.

評(píng)價(jià)策略

評(píng)價(jià)策略指針對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤而展開(kāi)的反饋、評(píng)價(jià)和修正等一系列行動(dòng)的方式、方法. 數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)置的目的“不僅應(yīng)當(dāng)是程序性知識(shí)的簡(jiǎn)單再現(xiàn)式鞏固，更應(yīng)體現(xiàn)對(duì)‘教與‘學(xué)的診斷作用，體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)‘順應(yīng)的催化上”. 學(xué)生作業(yè)錯(cuò)誤率在面積和題型上均呈現(xiàn)高比率，這說(shuō)明教學(xué)改進(jìn)的空間十分巨大，且必須及時(shí)采取有效的應(yīng)對(duì)策略.

1. 對(duì)話交流

組織有效的對(duì)話交流平臺(tái)，能夠利用集體的智慧發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，尋找避免錯(cuò)誤的方法，從而修正錯(cuò)誤，獲得正確的認(rèn)知. 這在多層次和多元指向性的作業(yè)中尤其具有極強(qiáng)的有效性.

案例1？搖 如圖1所示，在矩形ABCD中，M，N分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且MN=MD，MN⊥MD，求證：AM平分∠BAD.

錯(cuò)誤？搖 過(guò)點(diǎn)M作AD的垂線段MO，可得四邊形ABMO為矩形. 因?yàn)锳M為其一條對(duì)角線，由MB⊥AB，MO⊥AD可知，MO=MB，所以AM平分∠BAO，也即平分∠BAD.

師：同學(xué)們看看，王亮（化名）這道題證明得正確嗎？

生1：不正確. 已知條件怎么沒(méi)有充分利用上去啊？

生2：不對(duì)，四邊形ABMO為矩形，這一點(diǎn)沒(méi)錯(cuò). 但是請(qǐng)問(wèn)王亮，你怎么知道AM就一定平分∠BAD呢？（這位學(xué)生快速跑到講臺(tái)上，畫出一個(gè)圖形，證明王亮的證明不成立）

生3：我猜測(cè)，王亮同學(xué)一定是沒(méi)有找到合適的方法解決這個(gè)問(wèn)題，或者只是通過(guò)這道題目給定的圖形相對(duì)比較特殊，使他誤以為四邊形ABMO為正方形，才犯了錯(cuò)誤.

師：看來(lái)，如果給定的已知條件沒(méi)有充分使用，那么，就可以斷定解題錯(cuò)誤. 不過(guò)，應(yīng)該怎樣證明這道題呢？

生4：先逆向推理，假設(shè)AM為平分線，那么根據(jù)平分線的性質(zhì)判斷，BM=MO. 如何證明呢？根據(jù)已知條件，MN=MD，且∠MOD與∠MBN都為直角，如果能再求出∠BMN=∠OMD，就可以證明這兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而推斷出BM=MO.

師：有了兩個(gè)條件，再找出一個(gè)條件，就可以證明它們?nèi)攘? 大家看，還有MN⊥MD這個(gè)條件沒(méi)有利用呢！

生5：明白了，利用矩形ABMO的性質(zhì)和MN⊥MD這兩個(gè)條件，可以推出∠OMD=∠BMN，這樣就可以證明它們?nèi)攘?

師：對(duì)，這是“K型”問(wèn)題.

該題涉及邏輯推理，跳躍性強(qiáng)，需要幾個(gè)轉(zhuǎn)換，具有多向性和多元性，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的發(fā)散思維和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力. 學(xué)生做題想到畫輔助線，但是在利用輔助線并根據(jù)已知條件分析數(shù)學(xué)元素之間的關(guān)系時(shí)，存在一定的茫然性. 通過(guò)師生的共同診斷、分析，大家找到了病根，于是豁然開(kāi)朗. 如果沒(méi)有交流，出錯(cuò)的學(xué)生恐怕不能獨(dú)立解決這個(gè)問(wèn)題，且使大家喪失了一次寶貴的預(yù)防錯(cuò)誤產(chǎn)生、鍛煉分析錯(cuò)誤的機(jī)會(huì).

2. 集中糾正

對(duì)于典型錯(cuò)誤，可以采取集中統(tǒng)一講解的方式，給予糾正，這樣可以更有效地利用錯(cuò)誤，及時(shí)、高效地轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源，使錯(cuò)誤的價(jià)值集成化. 比如數(shù)學(xué)常見(jiàn)的錯(cuò)誤有：（1）概念理解模糊；（2）誤解題意；（3）遺忘條件；（4）思路錯(cuò)誤；（5）非技術(shù)性錯(cuò)誤等，針對(duì)這些錯(cuò)誤，可結(jié)合實(shí)際例題具體分析成因及對(duì)策.

案例2？搖 耿思亮為了幫助爸爸弄清楚日平均用電量，在10月份前五天，每天準(zhǔn)時(shí)抄錄電表，記錄情況如下：

耿思亮同學(xué)給出了他一家10月總的用電量大約為：（122+127+133+136+142）÷5×31=4092（度）.

分析？搖 這位學(xué)生由于受思維定式的影響，沒(méi)有結(jié)合生活實(shí)際情形，致使機(jī)械地按常規(guī)平均數(shù)的求解方法去審題、解題.

正解 （142-122）÷（5-1）×31=155（度）.

利用這個(gè)典型錯(cuò)誤，可以有效地提醒學(xué)生要根據(jù)具體的數(shù)學(xué)情景，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，而不能主觀臆斷.

除此之外，我們還應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生自主整理典型的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤. “好記性不如爛筆頭. ”指導(dǎo)學(xué)生制作典型錯(cuò)誤題集，能夠切實(shí)幫助學(xué)生避免再犯類似的錯(cuò)誤，提高其分析問(wèn)題的能力. 我們可以不定期地通過(guò)交流、抽查等形式，督促他們切實(shí)整理好. 我們本身也要不斷地反思學(xué)生錯(cuò)題產(chǎn)生的原因，便于從源頭上解決數(shù)學(xué)知識(shí)和技能傳授上的不足.

荷蘭著名學(xué)者弗賴登塔爾說(shuō)過(guò)：“反思是數(shù)學(xué)的重要活動(dòng)，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力. ”反思的內(nèi)容必然也包括數(shù)學(xué)錯(cuò)誤. 因此，我們力求最大可能地使學(xué)生避免錯(cuò)誤的產(chǎn)生，同時(shí)也要有效地利用好數(shù)學(xué)錯(cuò)誤.endprint