●江蘇省江陰市華士高級(jí)中學(xué) 沈亞軍

HPM視角下的一道風(fēng)頭浪尖上的高考題

●江蘇省江陰市華士高級(jí)中學(xué) 沈亞軍

2015年高考數(shù)學(xué)湖北卷引起了軒然大波，因?yàn)槔砜凭淼?9題、文科卷第20題采用生僻詞“陽(yáng)馬”與“鱉臑”.一時(shí)間輿論嘩然，褒貶不一.有學(xué)生感慨“數(shù)學(xué)題中竟然有不認(rèn)識(shí)的字.”有網(wǎng)友吐槽“鱉臑！出卷老師你別鬧！”及“別鬧（鱉臑），回家養(yǎng)馬（陽(yáng)馬）吧.”也有教師認(rèn)為“這兩個(gè)詞對(duì)于解題并沒(méi)有影響，只是穿了個(gè)馬甲而已.只要考生靜心讀兩遍，就能看明白.”果真如此？本文試從一個(gè)數(shù)學(xué)教師的角度談?wù)勛约旱目捶?

一、原題再現(xiàn)，探究命題人出題之意圖

例1《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑．

如圖1，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE.

（文科Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

（文科Ⅱ）記陽(yáng)馬P-ABCD的體積為V2，四面體EBCD的體積為V，求的值.

（理科Ⅰ）證明：PB⊥平面DEF．試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析：該題是理科卷第19題、文科卷第20題，兩題題干相同，問(wèn)題相近，實(shí)為姊妹題.文科Ⅰ通過(guò)一次線(xiàn)面垂直（即BC⊥平面PCD）證得DE⊥平面PBC；而理科Ⅰ則需通過(guò)兩次線(xiàn)面垂直（即BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC）證得PB⊥平面DEF，是文科Ⅰ的遞進(jìn).文科Ⅱ求體積之比，運(yùn)用體積公式即可，相比之下，理科Ⅱ則困難得多，體現(xiàn)了文理科不同的學(xué)習(xí)要求，解決方法可以直接作出二面角，也可以利用射影面積法，理科生還可以建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法解題，體現(xiàn)了理科解題的多樣性、靈活性.

這道題讓人眼前一亮，并發(fā)出“高考題題源還可以是古代數(shù)學(xué)”之感嘆.如此處理，命題人出于何種考慮？是慣性使然，是嘩眾取寵，還是試圖利用高考的高關(guān)注度傳播數(shù)學(xué)文化，從文化學(xué)的角度理解數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育呢？筆者認(rèn)為答案顯然是后者.事實(shí)上，武漢中學(xué)數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)楊銀舟老師在考后介紹說(shuō)：“從數(shù)學(xué)古籍中尋找古代數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)作為高考試題，是湖北省一貫的傳統(tǒng).”筆者統(tǒng)計(jì)了2011~2015年湖北省高考卷涉及古代數(shù)學(xué)的問(wèn)題（如表1）.

表1