●北京市第二十中學 王曉青

●北京市第二十中學 付 莉

數(shù)學教學設(shè)計視角：尊重學生的認知規(guī)律
——以“離散型隨機變量的數(shù)學期望”一課為例

●北京市第二十中學 王曉青

●北京市第二十中學 付 莉

最近研磨公開課“離散型隨機變量的數(shù)學期望”的教學設(shè)計，幾易其稿，在課堂實施時，受到了聽課老師的認可，課堂效果也比較好.回顧修改教學設(shè)計的過程，更多地立足尊重學生的認知規(guī)律，讓學生能學會，讓學生愿意學，讓學生的思維獲得發(fā)展.

一、教學設(shè)計的修改過程及修改過程中的思考

1.情景引入的設(shè)計和修改

情景引入第一稿：在咨詢發(fā)達的今天，同學們每天的生活都與數(shù)據(jù)息息相關(guān)，媒體、網(wǎng)絡(luò)、社交軟件都傳遞著大量的數(shù)，通訊、購票、醫(yī)療也離不開各種數(shù).那么，你會從數(shù)據(jù)中讀取有價值的信息嗎？

最近大家有沒有去愛心水站買過水？你知道它每天得準備多少水嗎？我找到愛心水站的負責人，了解了水站的經(jīng)營情況.下表是某段時間內(nèi)，水站每天的經(jīng)營情況：

減少瓶數(shù) 62 62 63 63 66 66 66 66 82 82回收資金（單位：元）55 42.5 64.8 58.5 60.7 60.7 69 62.5 60.5 78減少瓶數(shù) 82 83 84 84 86 86 86 102 110 110回收資金（單位：元）66.1 68 72 61.5 77 73.5 81 102 108.5 116

從這個表中你能得到什么信息？（該問題是開放式的，學生可以從任意角度回答）你會算什么？（此處期望學生答出計算平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計量）

思考：選擇貼近學生生活的實例引入，便于引起學生共鳴，激發(fā)學生興趣.但也有其存在的問題，當學生看到這樣的數(shù)據(jù)時，學生的注意力一定會指向水站的盈虧，并不能像設(shè)計初衷所期望的那樣讓學生關(guān)注到平均數(shù)，也就是說這樣的設(shè)計學生的興趣點與教學目標不一致，課堂實施時學生思維會過于發(fā)散無法聚攏到有利于概念生成的信息，從而失去創(chuàng)設(shè)情境的價值.基于這樣的分析，筆者修改得到第二稿.

情景引入第二稿：大家知道咱們一樓有一個“向日葵”愛心水站吧，你有沒有去愛心水站買過水？

如果讓你來負責水站的運營，你如何決定每天準備多少瓶水才能滿足需求？你會怎么做？（預(yù)設(shè)回答：根據(jù)前一天的情況，或者根據(jù)一段時間的平均值）

我找到愛心水站的負責人，了解了水站的經(jīng)營情況.下表是某段時間內(nèi)，水站每天被取走水的瓶數(shù)統(tǒng)計：

水站每天被取走水的瓶數(shù)62 62 63 63 66 66 66 66 82 82 82 83 84 84 86 86 86 102 110 110

從這些數(shù)據(jù)中你能得到什么信息？你會算什么？（預(yù)設(shè)回答：平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計量）

思考：這樣的修改，問題的提出有現(xiàn)實應(yīng)用的針對性，數(shù)據(jù)的收集服務(wù)于問題提出與問題解決的需要，如此滲透數(shù)學應(yīng)用意識，自然容易被學生接受和理解，進而內(nèi)化為學生自己對生活的觀察和思考，提升提出問題、解決問題的能力，從整節(jié)課來講，問題和數(shù)據(jù)都更容易聚焦，更便于與學生已有的知識相銜接和引出新概念，符合最近發(fā)展區(qū)理論.

2.概念形成的設(shè)計

概念的形成是這節(jié)課的核心所在，當學生接觸一個新的概念時，既要與原有的認知相比較，發(fā)現(xiàn)其中與之類似的部分，又要進行對比區(qū)別，找到新概念與已有知識的不同之處，及時發(fā)展出新的認知.在心理學大師皮亞杰的認知發(fā)展理論中，新的內(nèi)容會在原有圖式的基礎(chǔ)上，進行添加和更新，形成對新概念的認識.而課堂教學的任務(wù)，就在于讓學生在課堂活動中，經(jīng)歷概念形成的過程，體驗新、舊知識的聯(lián)系和區(qū)別，發(fā)展和完善他們的認知結(jié)構(gòu).基于以上的認識和對本節(jié)課概念的理解，形成了如下的教學設(shè)計.

整理數(shù)據(jù)，關(guān)注每天取走多少瓶水的分布情況.

取走瓶數(shù) 62 63 66 82 83 84 86 102 110天數(shù) 2 2 4 3 1 2 3 1 2

由表計算：這20天共取走了多少瓶水？

62×2+63×2+66×4+82×3+83×1+84×2+86×3+102×1+110×2=1591.

平均每天取走多少瓶水？

換一個角度理解，就是用取走礦泉水的個數(shù)乘以頻率.

取走瓶數(shù) 62 63 66 82 83 84 86 102 110頻率 2 20 2 2 0 4 2 0 3 2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 1 2 0 2 2 0

很多隨機現(xiàn)象都可以用頻率估計概率，所以如果將“一天中取走礦泉水的數(shù)目”看做隨機變量X，則X的概率分布為：

X 62 63 66 82 83 84 86 102 110 P 2 20 2 2 0 4 2 0 3 2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 1 2 0 2 2 0

則平均每天取走水的數(shù)目為：

那么，由隨機變量的分布列生成了一個新的定義，你能類比統(tǒng)計中的平均數(shù)給它一個定義嗎？

思考：此處設(shè)計保持原樣，這個設(shè)計非常突出新、舊知識之間的聯(lián)系.整理數(shù)據(jù)，計算平均數(shù)，是學生已有的知識和技能.進而改寫式子，引導聯(lián)想，遷移舊知，生成新知.在整個過程中，學生感受概念的變化、生成，能夠充分理解新、舊知識之間的聯(lián)系，認識新知識的本質(zhì).最后一個問題“你能類比統(tǒng)計中的平均數(shù)給它一個定義嗎”，引出新概念——離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望（簡稱期望）.

在進行完這節(jié)高二年級新授課的教學后不久，2014年北京卷數(shù)學理科高考的統(tǒng)計概率題目，就考查了學生對于數(shù)據(jù)的平均數(shù)和隨機變量的期望之間關(guān)系的理解.二者的比較，正是基于學生在接觸“數(shù)學期望”的概念時，是否理解了期望的意義，而不僅限于記憶公式.

3.新知應(yīng)用環(huán)節(jié)的設(shè)計及修改

在新知應(yīng)用環(huán)節(jié)的教學設(shè)計中，筆者對例題的選擇進行了不斷的修改，主要體現(xiàn)在三稿教學設(shè)計兩次修改之中.

新知應(yīng)用第一稿如下所示.

隨機變量的期望如何應(yīng)用呢？

例1 我在CBA官網(wǎng)上查了一下北京金隅隊朱彥西的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)他在2013-2014賽季的罰球命中率為70%.則在一次比賽中，

（1）他一次罰球得分的期望是多少？

（2）他2次罰球得分的期望是多少？

猜想：他3次罰球得分的期望是多少？

可以證明：對于獨立重復試驗X~B（n，p），X的期望E（X）=np.

數(shù)學期望還可以用來估計不同運動員的水平高低.

例2 根據(jù)歷次比賽或訓練記錄，甲、乙兩射手在同樣的條件下進行射擊，成績的分布列如下：

?

試比較甲、乙兩射手射擊水平的高低.

數(shù)學期望還可以幫助人們進行決策，在不確定的情況下選擇期望較好的方案.

例3 根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)下個月有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.設(shè)工地上有一臺大型設(shè)備，為保護設(shè)備有以下三種方案.

方案1：運走設(shè)備，此時需花費3800元.

方案2：建一保護圍墻，需花費2000元.但圍墻無法防止大洪水，當大洪水來臨時，設(shè)備受損，損失費為60000元.

方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水.此時大洪水來臨損失60000元，小洪水來臨損失10000元.

試比較哪一種方案好，說明理由.

在很多體育賽制中，往往不是一局定勝負，為什么這么設(shè)置，用概率的知識能解釋嗎？

延伸思考：比如我國優(yōu)秀的女子網(wǎng)球選手李娜和老對手莎拉波娃，統(tǒng)計她們自2010年起的交手記錄，發(fā)現(xiàn)在17盤正式比賽的對抗中，李娜獲勝9盤.以此來估計，如果現(xiàn)在李娜和莎拉波娃打一場練習賽，用一盤決勝負的賽制（假設(shè)贏一盤計兩分），還是用三盤兩勝決勝負的賽制（假設(shè)贏一盤計一分）對李娜更有利？

新知應(yīng)用第二稿如下所示.

例1 同第一稿的例1.

數(shù)學期望還可以用來估計不同運動員的水平高低.

例2 同第一稿的例2.

數(shù)學期望還可以幫助人們進行決策，在不確定的情況下選擇期望較好的方案.

例3 同第一稿的例3.

思考延伸：對于愛心水站來說，由于它的公益性，“取走一瓶水，留下一元錢”，是否交費全靠同學們的自覺.從水站的統(tǒng)計來看，我們發(fā)現(xiàn)某段時間取走的水的瓶數(shù)與回收的資金并不完全對等，如下表顯示：

取走瓶數(shù) 62 62 63 63 66 66 66 66 82 82回收資金 55 42.5 64.8 58.5 60.7 60.7 69 62.5 60.5 78取走瓶數(shù) 82 83 84 84 86 86 86 102 110 110回收資金 66.1 68 72 61.5 77 73.5 81 102 108.5 116

根據(jù)上表，你能否幫愛心水站算一算，每瓶水的進價不超過多少錢，才能保證水站不虧損？

修改原因：觀察新知應(yīng)用第一稿和第二稿的差別，主要體現(xiàn)在思考延伸部分，將第一稿中李娜與莎拉波娃比賽問題的設(shè)置，換成了對“愛心水站”問題的再探究，為什么有這樣的修改呢？

在第一稿的設(shè)計中，由于網(wǎng)球比賽是廣受歡迎的體育項目，并且我國女子網(wǎng)球運動員李娜在“大滿貫”比賽中的出色表現(xiàn)，贏得了國人的喜愛與支持，選用學生熟知的明星人物，易于引起學生興趣，并且能進一步體會期望在實際應(yīng)用中的意義.但此例不盡如人意之處在于，“對于每盤比賽中勝率較大的人，比賽的場次越多，獲勝的概率越大”這一問題的探討，更多地體現(xiàn)在計算兩人獲勝概率的比較上，如若用期望去衡量，必然需要給每盤賦分，而賦分是否合理，會給學生理解期望帶來額外的困難，因此舍棄此例.

而“愛心水站”是學生比較熟悉的身邊的例子，雖然引入時截取了部分信息，但是學校設(shè)計該水站的初衷是希望借此對學生進行誠信教育，也多次因為回收率低而停止過水站的運營，學生對此有切身的體會.深入挖掘該生活素材，設(shè)計連續(xù)的問題，不斷地把學生對身邊生活的思考引向深入，應(yīng)該比引入另外的素材進行知識應(yīng)用訓練更能夠激發(fā)學生的興趣，也有利于發(fā)展學生的實踐應(yīng)用能力.這樣的設(shè)計前后呼應(yīng)，有效深入.

新知應(yīng)用第三稿如下所示.

數(shù)學期望可以用來估計不同運動員的水平高低.

例1 同第一稿的例2.

試比較甲、乙兩射手射擊水平的高低.

數(shù)學期望還可以幫助人們進行決策，在不確定的情況下選擇期望較好的方案.

例2 同第一稿的例3.

思考延伸：對于愛心水站來說，由于它的公益性，“取走一瓶水，留下一元錢”，是否交費全靠同學們的自覺.從水站的統(tǒng)計來看，我們發(fā)現(xiàn)每天取走的水的瓶數(shù)與回收的資金并不完全對等，水站20天的誠信率（當天實收資金÷應(yīng)收資金）如下表顯示：

統(tǒng)計每天的誠信率89% 69% 103% 93%92% 92% 105% 95%74% 95% 81% 82%86% 73% 90% 85%94% 100% 99% 105%

能否根據(jù)這些數(shù)據(jù)定義一個“誠信指數(shù)”，體現(xiàn)同學們?nèi)∷恼\信度？（把“誠信率的期望”定義為“誠信指數(shù)”，算得為90%）

某班今天恰有3人取水，各取一瓶，每人的誠信率均為“誠信指數(shù)”，且3人在取水時是否誠信是相互獨立的.這個班的誠信得分由班級取水人的誠信狀況決定，依照規(guī)定，若取水付錢得2分，取水不付錢得-1分.則今天班級誠信得分的期望是多少？

修改原因：從第三稿中可以看到，第一稿和第二稿的例1被刪除了.考慮到原稿中的例1主要突出了期望的計算，雖然可以順勢拓展歸納服從二項分布的隨機變量的期望計算公式，但是對本節(jié)課的教學目標“理解期望的概念和運用期望的概念解決簡單的實際問題”來講意義不大，只是簡單機械地重復一下期望的定義，至于為什么要求期望、期望對生活的指導意義又是什么，卻不好回答.比如：罰兩次球得分的期望是1.4，單純來計算這個期望有什么意義呢？學生會覺得很困惑.而原稿中例2和例3更能突出期望的意義和價值，這樣的訓練更能讓學生感受到概念的必要性并自覺地應(yīng)用在生活中，指導實際.

在最后思考延伸的部分，將“愛心水站”的問題設(shè)置又做了修改.因為第二稿中，問題的設(shè)計關(guān)注水站盈虧，用以前的知識，甚至小學的知識也可以解決，引入期望，略顯牽強，無法讓學生理解新概念數(shù)學期望的價值.后來在分析學情時，了解到學生對獨立重復試驗的概率模型的理解和計算還存在問題，并且基于舊有數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析用于對未來的預(yù)估是概率統(tǒng)計學科的基本思想和基本應(yīng)用，于是筆者結(jié)合誠信教育，設(shè)計了第三稿中的思考延伸問題.

在實際課堂教學中，學生對此很感興趣，且思維呈現(xiàn)多元.學生選擇不同的隨機變量求分布列，最終殊途同歸，在獲解的同時又產(chǎn)生了新的問題，把思維引向后續(xù)課程，如二項分布的期望是否有規(guī)律、有線性關(guān)系的兩個隨機變量其期望是否一定也具有同樣的線性關(guān)系等.

二、對修改過程的反思

1.學生何以能學會

維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，認為學生的發(fā)展有兩種水平：一種是學生的現(xiàn)有水平，一種是學生可能的發(fā)展水平.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).奧蘇貝爾的有意義學習理論也指出，有意義學習過程的實質(zhì)，就是符號所代表的新知識與學習者認知結(jié)構(gòu)中已有的適當觀念建立非人為的和實質(zhì)性的聯(lián)系.由此可以看出，在教學設(shè)計時要充分考慮學生已有的認知基礎(chǔ)，考慮新知識與已有認知的本質(zhì)的、內(nèi)在的聯(lián)系.

這節(jié)課的教學設(shè)計從引入到概念生成的過程，充分考慮了學生已有的關(guān)于數(shù)據(jù)平均數(shù)的概念，并很好地在已有平均數(shù)的概念的基礎(chǔ)上引入新的隨機變量的數(shù)學期望的概念，揭示了新、舊概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，從課堂教學實施看，也正是因為設(shè)計充分尊重了學生的認知規(guī)律，課堂教學效果很好.

2.學生怎樣才能愿意學

《普通高中數(shù)學課程標準》中，特別強調(diào)高中數(shù)學在數(shù)學應(yīng)用和聯(lián)系實際方面需要大力加強.高中數(shù)學課程應(yīng)力求使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系，促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學應(yīng)用意識，提高實踐能力.

學生在機械做題應(yīng)對考試的教學模式中，常常感覺數(shù)學無用，于是就沒有了學習的興趣和熱情，事實上學生的身邊就存在著大量的素材，運用數(shù)學的視角觀察生活，可以讓生活數(shù)學化，在數(shù)學化的過程中，更精確地感知生活并指導生活.

本課教學設(shè)計中，選取學生身邊的“向日葵水站”，從學生司空見慣的生活中，提煉數(shù)學問題，生成新的數(shù)學概念，并連續(xù)深入挖掘設(shè)計系列問題.從課的引入，到最后的應(yīng)用提升，展示了觀察生活、提出問題、收集數(shù)據(jù)、分析整理數(shù)據(jù)、解決問題的全過程，學生能夠從學習過程中感受到學習的價值和意義，這樣的教學設(shè)計充分尊重了學生的心理需求，學生當然愿意學，學得有興趣.

3.教學設(shè)計如何關(guān)注學生思維的提升

《2003年普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中指出：高中數(shù)學課程應(yīng)注意提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一.人們在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程.

數(shù)學教學要重視獲取知識和運用知識的思維過程，在此過程中，使學生獲得對數(shù)學的理解，并在思維能力、情感態(tài)度價值觀方面獲得發(fā)展，但是在數(shù)學教育實踐中常常忽視概念的形成過程、忽視問題的發(fā)現(xiàn)過程、忽視規(guī)律的揭示過程、忽視思維過程中的非邏輯思維的作用，為了追求“效率”，常出現(xiàn)用教師的思維去代替學生的思維活動，結(jié)果導致學生表面上雖然能夠按照一定模式去解題，但學生并未真正理解數(shù)學概念、定理的內(nèi)涵.

在本節(jié)課的教學設(shè)計中，突出了概念的形成過程，概念應(yīng)用過程的設(shè)計，從簡單到復雜，從解決他人設(shè)置的模擬實際問題，到深入挖掘生活素材，引導學生創(chuàng)造性地設(shè)計新的問題并運用知識解決問題的過程，是一個思維逐漸深入的過程，學生的思維能力和應(yīng)用意識在這個過程中得到提升.

總之，思維的提升是數(shù)學課堂教學的價值，提升學生的思維要尊重學生的認知規(guī)律，要滿足學生的心理需求.教育心理學研究表明，教學從根本上來說是一個師生雙方在認知和情感兩方面進行交互作用的過程，教學過程就是不斷地尋求教學要求與學生已有認知水平之間及教學要求與學生學習意愿之間平衡的過程.

1.中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.任全紅.數(shù)學教學設(shè)計視角：關(guān)注數(shù)學思維過程［J］.教學與管理：理論版（太原），2013（12）.

3.朱先東，潘云超.例談數(shù)學整體性教學設(shè)計的策略［J］.中國數(shù)學教育，2012（Z3）.

4.人民教育出版社課程教材研究所，中學數(shù)學教材實驗研究組，編著.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學B版選修2-3［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.人民教育出版社課程教材研究所，中學數(shù)學教材實驗研究組，編著.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學B版選修2-3教師教學用書［M］.北京：人民教育出版社，2007.A