●江蘇省梁豐高級中學 宋東娟

設計有效問題串，引導學生主動探究
——以“二項式定理”的教學為例

●江蘇省梁豐高級中學 宋東娟

傳統(tǒng)應試教學追求“快節(jié)奏、大容量”的“題海式”講練教學，在課堂上不可能給學生留下足夠的思考時空，學生始終處于被動接受狀態(tài).這種教學，忽略了學生的主體地位，忽視了調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性和主動性.隨著新課程改革的不斷深入，把學習的時空還給學生，讓學生快樂學習，越來越成為廣大教育工作者追求的目標.最近教研室在筆者所在學校開展了“學為中心”理念下課堂教學的組織形態(tài)問題研討課，筆者執(zhí)教了“二項式定理”一課，在仔細研讀教材后，在教學設計上作了一些思考，在課堂教學中，把主動權(quán)交給學生，學生的探究積極性很高，自感效果不錯，現(xiàn)把探究問題的設計意圖、教學流程及關(guān)鍵部分的教學過程等整理成文，與讀者交流、研討，以期拋磚引玉.

一、內(nèi)容分析

“二項式定理”是蘇教版選修2-3第一章的內(nèi)容，其特殊情況（a+b）2、（a+b）3早在初中階段學生就已學習過，但要得出（a+b）n的展開式，僅僅知道乘法分配律是不夠的，還需要一些“組合”知識，因此，教材把它安排在“排列組合”之后.利用二項式定理，可以解決一些指數(shù)（正整數(shù)）較大的多項式問題，它在江蘇高考理科卷中也有十分重要的地位，常以壓軸題的身份出現(xiàn)在附加題中.

二、教學方法分析

“二項式定理”第一課時，不僅要讓學生理解二項式定理、把握其結(jié)構(gòu)特征、能運用定理解決一些簡單問題，更需要定理的生成過程，增強學生探究、發(fā)現(xiàn)問題的能力，真正激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情.由于“二項式定理”是關(guān)于正整數(shù)n的命題，因此定理的生成，可以歸納探究為主線設計問題，引導學生從特殊情況n取1、2、3、4出發(fā)，發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論，正好“歸納推理”是選修2-2中的內(nèi)容，學生已經(jīng)學習過，這也體現(xiàn)了學以致用的原則.對于（a+b）n的展開式，學生容易發(fā)現(xiàn)其項數(shù)、字母a和b的指數(shù)的變化規(guī)律，而各項系數(shù)的變化規(guī)律較難發(fā)現(xiàn)，這是本節(jié)課探究的核心，需要教師巧妙設計問題，并合理引導.

三、教學過程設計

1.提出問題

問題1：對于正整數(shù)n，用什么方法能得到（a+b）n的展開式？

設計意圖：問題1的提出雖有點兒唐突，甚至讓有些學生不知所措，但這樣的設計是有必要的，要讓學生自己分析出由特殊到一般的歸納思想，即根據(jù)特殊情況n取1、2、3、4，猜想出（a+b）n的展開式，從而使學生深刻認識到“歸納推理”在處理正整數(shù)問題中的重要性.

倘若設問：由多項式的乘法法則，我們已經(jīng)知道（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展開式，能得到（a+b）n的展開式嗎？這樣的設問過渡很自然，學生會立即運用歸納的手段，但學生失去了對解決方案選擇的思考，相當于教師引導過多，失去了探究的本真性.

2.學生自主探究

問題2：通過歸納推理，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

這一過程約需要5分鐘，一般情況下，學生都能得到（a+b）n的展開式：（1）共有n+1項；（2）每一項中a、b的指數(shù)之和都為n；（3）首尾兩項an、bn的系數(shù)都為1等，因而可初步歸納（a+b）n的展開式，即（a+b）n=an+an-1b+an-2b2+an-3b3+…+abn-1+bn，主要是中間n-1項的系數(shù)還要進一步歸納探究.

3.系數(shù)探究，定理構(gòu)建

系數(shù)探究是二項式定理生成的核心過程，筆者將課堂教學的具體過程整理如下.

師：同學們已經(jīng)初步歸納出（a+b）n的展開式，只是中間n-1項的系數(shù)還不清楚，這說明我們對展開式中各項的成因不清楚，還需要進一步分析和歸納，請大家思考問題3.

問題3：對于（a+b）3的展開式，為什么a2b的系數(shù)為3？（PPT展示）

設計意圖：如果學生沒有預習，絕大多數(shù)學生（甚至全部）是沒有辦法歸納出中間n-1項的系數(shù)的變化規(guī)律的，他們找不到探究方向，這時需要教師適時點撥.問題3的提出，使得學生明確了分析目標，只要運用乘法分配律理清a2b的形成過程，就能知道a2b的系數(shù)為什么是3，由此，他們就能歸納出（a+b）n的展開式各項的系數(shù).

生1：（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b），第一個括號、第二個括號中的字母a與第三個括號中的字母b相乘得a2b；第一個括號、第三個括號中的字母a與第二個括號中的字母b相乘得a2b；第二個括號、第三個括號中的字母a與第一個括號中的字母b相乘得a2b，所以a2b的系數(shù)是3.

師：對！生1利用列舉法得到a2b的系數(shù)是3，有沒有更好的解釋方法？

生2：要得到a2b，在三個括號中，從其中兩個括號中取字母a，從另一個括號中取字母b相乘得到，運用組合知識，共有種情況，所以a2b的系數(shù)是3.

師：不錯！生2用組合知識解釋了a2b的系數(shù)為什么是3.這里同學們注意一下，通常把組合數(shù)的上標對應于字母b的指數(shù)，所以該項可寫成我們再認識一下（a+b）3的各項，誰來進一步總結(jié)一下？

生3：（a+b）3的展開式的每一項都是3次項，每一項都是從3個括號中各取1個字母的乘積，所以（a+b）3展開后為

師：好！根據(jù)乘法分配律可知：同一括號內(nèi)的字母不能相乘，一括號內(nèi)的字母可以與其他括號內(nèi)的任何字母相乘，展開式的每一項中字母b的指數(shù)對應于選擇字母b的括號數(shù)，所以每一項的系數(shù)都可以用組合數(shù)表示.通過以上分析，請同學們思考問題4.

問題4：根據(jù)問題3的分析，你能得出（a+b）n的展開式嗎？（PPT展示）

師：對！解釋一下展開式的得出過程.

生4：（a+b）n的展開式是由n個（a+b）相乘得到，第一項是從每個括號中都取字母a相乘，得；第二項是從n-1個括號中取字母a，從另一個括號中取字母b相乘，得，依次類推可得（a+b）n的展開式.

師：好！我們再看an-rbr項的系數(shù)，它是從r個括號中取字母b，從另外n-r個括號中取字母a相乘得到的，所以它的系數(shù)是Cnr，其上標通常與字母b的指數(shù)對應.以上我們得到的公式叫二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b）n的二項展開式.

設計意圖：原先課前的教學設計，是定理生成之后，講授定理的運用，用PPT展示課本例題及變式，但考慮到時間問題，到此離下課僅有10分鐘時間，例題的講解剖析會有點兒草率.因此，課堂上臨時做了調(diào)整，原來準備的PPT未展示，直接提出二項式系數(shù)和的問題.現(xiàn)在想來也有合理之處，問題5的二項式系數(shù)和問題，是在上述詳細分析二項式系數(shù)的概念之后提出的，過渡自然，又進一步加強了對定理的理解，體現(xiàn)了知識間的關(guān)聯(lián)，而且問題5也算是定理的運用.

5．課堂小結(jié)

問題6：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

設計意圖：課堂小結(jié)交給學生，讓他們自己總結(jié)學習的得失，長期如此，能養(yǎng)成善于總結(jié)、歸納問題的好習慣.主要是讓學生總結(jié)出以下三點：（1）對于正整數(shù)方面的問題，要善于用歸納推理的手段研究一般性結(jié)論；（2）學習了二項式定理，我們能得到兩數(shù)之和的任意正整數(shù)指數(shù)冪的展開式；（3）對于組合數(shù)公式我們有了新的證明方法.

四、教學感悟

1.合理設計問題，促進學生思維.

問題，是驅(qū)動學生思維的源泉！在數(shù)學教學中，好的問題，可以啟發(fā)學生的思維，形成有效的數(shù)學探究活動.因此，所設計的問題要符合學生的實際，如果問題過大、過難，會造成學生無從下手，教師啟而不發(fā)；當然，問題過小、過碎，也不行，學生遵循教師的思路（必經(jīng)之路），最終達到目的，這樣的引導，學生思維量小，失去了“探究發(fā)現(xiàn)”的意義（見文2）.如文中問題1，若改為“我們已經(jīng)知道（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展開式，能得到（a+b）n的展開式嗎？”，則思維量過小，學生失去了用歸納思想解決整數(shù)問題的思考.再如文中問題3，提出“為什么a2b的系數(shù)為3？”，學生有能力解決，若直接提出“怎樣得到（a+b）n的展開式的各項系數(shù)？”，學生將無所適從.此外，還需要注意問題間的自然過渡，使學生的思維能夠延續(xù)，這樣容易激發(fā)學生思維的興奮點.

2.注重數(shù)學概念的教學

章建躍博士在文3中講到，概念表明了我們研究的數(shù)學對象是“什么”.研究一個數(shù)學對象的性質(zhì)，前提是對概念內(nèi)涵（要素）有清晰的把握，……，數(shù)學研究的第一步就是要從數(shù)學的角度——舍棄事物的其他屬性，從數(shù)形的角度抽象出事物的本質(zhì)屬性，獲得數(shù)學研究對象.從數(shù)學學習的角度看，抽象過程需要經(jīng)歷一系列的觀察、分析、比較、歸納、概括等思維活動，要讓學生通過對一些典型的、豐富的具體實例的觀察，通過比較、分析等思考活動，歸納出事物的共同屬性，并概括到同類事物中去，得到這類事物的本質(zhì)屬性，進而獲得概念.在本文的教學案例中，要得到（a+b）n的二項展開式，首先由學生對（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展開式進行觀察，通過自主探究，初步發(fā)現(xiàn)（a+b）n的展開式的特征，進而指導學生觀察、比較（a+b）3的展開式中各項的系數(shù)，分析其成因，總結(jié)出各項系數(shù)的一般屬性，從而得到二項式定理.

3.數(shù)學課堂模式未必要套路化

本文的教學案例，原定的教學計劃是按常規(guī)的教學思路：提出問題—探究構(gòu)建—知識運用—課堂小結(jié)，由于定理的探究生成過程較長，影響了定理運用這一教學環(huán)節(jié)，因此課堂教學臨時調(diào)整，省去知識運用環(huán)節(jié)，把所剩不多的時間用于對二項式系數(shù)的深化理解.對此，筆者認為沒有什么不妥，教學應為促進學生的理解而設，追求課堂教學步驟的完整沒有錯，但我們的教學更應符合學生的認知規(guī)律、順應學生的分析理解能力、滿足學生的探究需求，讓學生先透徹理解概念、定理、公式等，把知識運用放到下一節(jié)課，有何不可？

1.單墫.蘇教版普通高中課程標準實驗教科書（數(shù)學選修2-3）［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.

2.聶必凱，等.美國現(xiàn)代數(shù)學教育改革［M］.北京：人民教育出版社，2010.

3.章建躍.編后漫筆：如何理解“數(shù)學是玩概念的”［J］.中小學數(shù)學，2015（1-2）.A