潘建軍

[摘 要]學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)全過程。在四則混合運算教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的計算能力是主要目標(biāo)，但并不是唯一的目標(biāo)，教師還要有意識地注重學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，這也是一個十分重要的任務(wù)。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感主要是對運算結(jié)果的估計，這樣能使看似機(jī)械枯燥的四則混合運算“活”起來，增強(qiáng)課堂教學(xué)的生命力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)感 四則混合運算 估測 思考

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）26-028

課前思考

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。同時，數(shù)感是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出的十個核心概念之一，位于十個核心概念之首，并將數(shù)感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟。而且，史寧中、呂世虎認(rèn)為：“數(shù)感是對數(shù)的感悟?！惺峭饨绱碳ぷ饔糜谥黧w而產(chǎn)生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗性的成分?！蚴侵黧w自身的，是通過大腦思維而產(chǎn)生的?！形蚣韧ㄟ^肢體，又通過大腦。因此，‘感悟既有感知的成分，又有思維的成分?！?/p>

很明顯，在“整數(shù)四則混合運算”復(fù)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感主要是對運算結(jié)果的估計。我認(rèn)為，結(jié)合四則混合運算，對運算結(jié)果的估計可以分為三個層次：第一層次，在四則混合運算中，要有判斷計算結(jié)果的意識；第二次，在第一層次的基礎(chǔ)上，既能根據(jù)有關(guān)的特殊數(shù)的規(guī)律，如0乘、除任何數(shù)都得0等，又能根據(jù)所積累的相關(guān)計算經(jīng)驗，如和大于加數(shù)、差小于被減數(shù)等，靈活合理地估測結(jié)果，進(jìn)一步提高估測的能力；第三層次，在第二層次的基礎(chǔ)上，能對提供的運算數(shù)據(jù)和符號進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，主動?chuàng)造條件，合理靈活地估測結(jié)果。這三個層次都有對運算結(jié)果的估計，但估測水平是不一樣的，從最基本的對一步計算結(jié)果的估測，到比較高級的混合運算結(jié)果的估測，再到根據(jù)已有數(shù)感自覺地對提供的運算數(shù)據(jù)、符號進(jìn)行變形，靈活、簡捷地估測多步計算的結(jié)果。能力的提高本身就是一個漸進(jìn)的過程，需要在自身的實踐活動中不斷地積累經(jīng)驗，并通過對運算數(shù)據(jù)與符號的處理和對估計結(jié)果與實際結(jié)果的不斷比較，優(yōu)化估計認(rèn)識，從而使數(shù)感漸漸得到發(fā)展。

課堂回放

教學(xué)片斷一：

出示題目：下面幾題的一般運算順序是怎樣的？你能用①②③④在練習(xí)紙上標(biāo)出來嗎？

（1）816+816÷12 （2）800-800÷16×12

（3）（132+68）×（97-57） （4）702÷（720-21×33）

師：運算順序明確了，在具體計算前，我們再來判斷一下第（1）和第（2）題，哪一題的得數(shù)大一些？說出你的理由。

生1：第（1）題的得數(shù)大于816。

師：你是怎么思考的？

生1：816加上一個數(shù)的和肯定大于816。

生2：816加上一個數(shù)就是再往后數(shù)幾個數(shù)，當(dāng)然是越數(shù)越大。

生3：第（2）題的得數(shù)小于800。

生4：800減一個數(shù)，就是從800往前數(shù)幾個數(shù)，越數(shù)越小。

師：也就是說，第（1）題的得數(shù)大于第（2）題的得數(shù)。

[反思：對于任何一道四則混合運算題，首先要有估算的意識，而不是一味地動手計算。學(xué)生對運算數(shù)據(jù)和符號的觀察，需要借助一定的載體，源于一定的問題。因此，課堂教學(xué)中，教師出示題目后，不是讓學(xué)生馬上動筆計算，而是讓學(xué)生先估計并比較兩題結(jié)果的大小，使學(xué)生對計算有一定的期盼。但對結(jié)果的估計，不是無邊無際的，而是有一定的依據(jù)，如和與加數(shù)的大小關(guān)系、差與被減數(shù)的大小關(guān)系等，這些都是已有的經(jīng)驗，需要對這樣的經(jīng)驗不斷進(jìn)行喚醒，在激活、運用的過程中提升學(xué)生的元認(rèn)知能力，這樣數(shù)感的培養(yǎng)才能真正落到實處。]

師：你能不改變數(shù)據(jù)和符號，添上括號讓第（1）題的得數(shù)變小一些嗎？

生5：（836+836）÷12。

師：怎么判斷它的得數(shù)變?。?/p>

生6：（836+836）÷12=836÷12+836÷12，與816+816÷12相比，一個加數(shù)836÷12相同，另一個加數(shù)836÷12<836，所以得數(shù)變小了。

師：嚴(yán)密的推理證明。

生7：其實，結(jié)合生活很容易理解，即兩個數(shù)合在一起被分，肯定小于只有一個數(shù)被分的。

師：第（2）題的得數(shù)能不能再小一些？怎么辦？

生8：（800-800）÷16×12。

師：得數(shù)是多少？

生：0。

師：0是一個特殊的數(shù)，在計算中利用它的特殊性可以幫助我們估測和計算結(jié)果。

……

[反思：初步計算后，教師不是就此結(jié)束教學(xué)，而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：“你能不改變數(shù)據(jù)和符號，添上括號讓第（1）題的得數(shù)變小一些嗎？”這時問題聚焦于怎樣根據(jù)數(shù)據(jù)的特點，通過改變運算順序，達(dá)到改變計算結(jié)果的目的。這對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)感是非常有幫助的，因為對計算結(jié)果的估計往往是在綜合觀察及思考運算數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)、運算符號與符號、運算數(shù)據(jù)與符號的基礎(chǔ)上，對整個算式的一種全局性把握，而且這樣一種整體把握常常需要借助于算式與算式之間的比較，才能更好地激活思維，發(fā)現(xiàn)計算數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)與運算符號之間的微妙關(guān)系。這是數(shù)感的一種具體體現(xiàn)，所以應(yīng)不斷積累、優(yōu)化對這樣微妙關(guān)系的認(rèn)識，這樣數(shù)感的培養(yǎng)就有了堅實的基點作支撐。學(xué)生對于怎么判斷得數(shù)變小的思考過程的暴露，就是物化學(xué)生“悟”的過程，使數(shù)感的發(fā)展從無形變有形、從內(nèi)隱變外顯，變成一種可共享的資源，從而將數(shù)感的發(fā)展變得有形有跡，而不再是虛無縹緲的。]

教學(xué)片斷二：

師：41×99，誰能算？

生1：41×99=41×（100-1）=4100-41=4059。

師：依據(jù)是什么？

生1：乘法分配律。

師：有沒有不同的思考？可以列豎式計算嗎？

生：可以。

師：我們?yōu)槭裁床贿x擇列豎式計算？

生：因為可以簡算。

師：簡算更利于鍛煉我們的思維。如果改成41×90，該怎樣算？

生2：將41×90看成41×9，再在積的末尾添上一個0。

師：依據(jù)是什么？

生2：乘法結(jié)合律。

師：算法為什么不一樣？

生：數(shù)據(jù)不一樣。

師：那改成41×25呢？

生3：41×25=（40+1）×25=40×25+25=1025，這是依據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡算的。

師：再改成44×25，怎樣算？

生4：44×25=（40+4）×25=40×25+4×25=1100。

生5：44×25=11×4×25=11×100=1100。

師：反思這一組題，為什么算法都不一樣？你對這樣的計算題有什么想說的嗎？

生6：需要仔細(xì)觀察問題，根據(jù)具體數(shù)據(jù)的特點，靈活運用所學(xué)知識，合理地進(jìn)行巧妙計算。

……

[反思：數(shù)感哪兒來？數(shù)感不是對數(shù)的被動感受，而是在實際解決問題的過程中，通過不斷地對比、感悟，才能使自己對相關(guān)數(shù)據(jù)的感受逐漸深刻。同樣的乘法，類似的相關(guān)數(shù)據(jù)，但就是這么細(xì)微的差別，往往決定了所用計算方法的不同，而這樣的不同，就是對不同數(shù)的不同感受。這樣不同的感受，可以幫助學(xué)生在解決實際問題的過程中，很快地對運算結(jié)果進(jìn)行估計與把握，因為估算與精算往往是相輔相成的。只有不斷提高學(xué)生的精算能力，學(xué)生的估算能力才能不斷得到提升。數(shù)感好的人，往往不必借助計算器就能對相關(guān)的計算結(jié)果做出估計，且結(jié)果八九不離十；而數(shù)感差的人，對運算結(jié)果毫無感覺，甚至有時運算結(jié)果與正確結(jié)果已經(jīng)相差十萬八千里，但還蒙在鼓里，渾然不知。]

課后感想

如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，我想了很多，有一天觀察學(xué)生的作業(yè)，更感到數(shù)感對于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性。如一位學(xué)生計算（2.8+27.2）×0.5時，第一次算成了（2.8+27.2）×0.5=3×0.5=1.5，我指出2.8+27.2不可能等于3后，他又算成了（2.8+27.2）×0.5=35×0.5=17.5。該學(xué)生計算出現(xiàn)錯誤的原因有多方面的，而且對運算結(jié)果的估計幾乎是空白的。所以，對于一門與數(shù)據(jù)打交道的學(xué)科來說，如果沒有對運算結(jié)果的一定估計能力，時刻在運算過程中保持對結(jié)果可能性的一種自我監(jiān)控，那么這樣的學(xué)習(xí)效果可想而知，這可能也是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把數(shù)感作為十個核心概念之首的原因吧！

作為基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，教師真的不能沒有作為。那么，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感呢？就四則混合運算的教學(xué)而言，我想：“結(jié)合具體的計算環(huán)境，提供具有鮮明對比度的變式練習(xí)，通過一題多變、一題多用等訓(xùn)練，在學(xué)生深切的感受中，或許數(shù)感能慢慢地培養(yǎng)起來?！彪S著學(xué)生計算活動的豐富，計算中獲得的許多緘默性的知識，需要教師及時地幫助學(xué)生進(jìn)行激活、喚醒，依靠這樣的激活、喚醒，學(xué)生對混合運算結(jié)果的估測水平才能不斷得到提高。

學(xué)生是天生的學(xué)習(xí)者，在數(shù)感培養(yǎng)的過程中，學(xué)生不是沒有能力的，更多的時候是因為沒有平臺、沒有翅膀，而沒有飛翔的機(jī)會。從學(xué)生的反映來看，首先，學(xué)生對于這樣的計算練習(xí)，由于充滿挑戰(zhàn)性而倍感興趣，且計算需要按一定的程序操作，更需要思考怎樣合理簡捷地操作；其次，數(shù)據(jù)的特殊性本身就是數(shù)感的重要組成，只有感受到不同數(shù)據(jù)、不同計算情景中的不同特殊性，數(shù)感才能真正發(fā)展起來；再次，計算能力的提高是一個綜合實踐的結(jié)果，其中估測能力與精算能力的和諧發(fā)展才是有效的。反之，混合運算教學(xué)中如果一味地重復(fù)練習(xí)，相類似的習(xí)題之間缺少對比，連學(xué)生的感官都進(jìn)入不了的話，又何談關(guān)于數(shù)的感悟呢？

（責(zé)編 杜 華）