祝振志

摘 要： 本文以北京師范大學(xué)出版社高中《數(shù)學(xué)1（必修）》、人民教育出版社高中《數(shù)學(xué)1（必修）A版》教科書(shū)函數(shù)概念一節(jié)內(nèi)容為研究對(duì)象，從“與學(xué)生的交流”和“對(duì)學(xué)生的要求”兩個(gè)維度比較分析.研究發(fā)現(xiàn)：人教版函數(shù)概念范例呈現(xiàn)講究實(shí)效，方便自學(xué)，北師大版教材范例呈現(xiàn)講究點(diǎn)到為止的啟發(fā)式學(xué)習(xí)，適合探究式合作學(xué)習(xí)；人教版教材問(wèn)題數(shù)量是北師大版的2倍多，但人教版整體問(wèn)題綜合難度偏低.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教科書(shū) 范例 比較研究

一、問(wèn)題提出

隨著高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布實(shí)施與新課改的需要，現(xiàn)階段我國(guó)有五種版本新課標(biāo)的數(shù)學(xué)教材在各省使用.課改前，大部分省份采用的都是人教版的數(shù)學(xué)教材；課改后，各省份根據(jù)本省學(xué)情選取了適合自己的教材.前后教材版本的不同對(duì)一些經(jīng)驗(yàn)豐富的老教師提出了挑戰(zhàn)，即前版本對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)方法是否適用于新版本，前版本教材側(cè)重的基本知識(shí)和基本技能，新版本弱化了，能否在新版本補(bǔ)充這些基本知識(shí)和基本技能，等等.

如何做好兩個(gè)版本教學(xué)銜接的問(wèn)題，除了研究課程標(biāo)準(zhǔn)、新版本教材特點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)外，我們有必要對(duì)兩個(gè)版本教科書(shū)具體對(duì)應(yīng)內(nèi)容做比較分析.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)六大主線之一，其重要性不言而喻，而函數(shù)概念又是學(xué)生從初中升入高中接觸的第一個(gè)既抽象又難理解的概念，故函數(shù)概念的教學(xué)極其重要.因此下面分別選取北京師范大學(xué)出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)1（必修）》和人民教育出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)1（必修）A版》函數(shù)概念的一節(jié)內(nèi)容作比較.

二、分析框架

文獻(xiàn)[1]的作者通過(guò)對(duì)以往關(guān)于教材比較文獻(xiàn)分析后提出了一個(gè)橫向和縱向的教科書(shū)比較分析框架，用以調(diào)查教科書(shū)為學(xué)生提供的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，并運(yùn)用這一框架對(duì)三個(gè)地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中分?jǐn)?shù)加減法內(nèi)容進(jìn)行了比較研究.本文在此框架的基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)概念內(nèi)容的特點(diǎn)，主要對(duì)北師版和人教版教科書(shū)函數(shù)概念問(wèn)題模塊進(jìn)行比較分析，分析框架如下：

表1 教科書(shū)的分析框架

在表1中，“與學(xué)生的交流”主要指教科書(shū)如何將數(shù)學(xué)知識(shí)傳遞給學(xué)生，包括數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想。

三、函數(shù)概念的問(wèn)題比較

函數(shù)概念初步建立之后，學(xué)生需要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解概念，通常范例和問(wèn)題是幫助學(xué)生理解和構(gòu)建概念的重要組成部分.所以下面主要分析兩個(gè)版本教科書(shū)范例和問(wèn)題的異同.

3.1范例

范例主要指教材中演示某個(gè)特定步驟或技能的例子，但不局限于給出完整的解題步驟或給出答案的例子.下面主要從教科書(shū)中范例的呈現(xiàn)順序和范例解題步驟兩個(gè)方面分析比較.

3.1.1范例的呈現(xiàn)順序

在概念的理解部分，北師大版在給出函數(shù)的概念之后，首先，通過(guò)兩個(gè)大家比較熟悉的反比例函數(shù)和一元二次函數(shù)，讓學(xué)生對(duì)新概念形成初步認(rèn)識(shí)；然后，從集合的角度解釋了三個(gè)具有不同背景函數(shù)，讓學(xué)生再次認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念；最后，用一個(gè)有實(shí)際背景函數(shù)，升華概念的理解.

人教版在處理函數(shù)理解的部分，則采取了不同的范例呈現(xiàn)順序.首先，從集合角度分析三個(gè)不同背景函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生分析、歸納三個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)，得到函數(shù)的概念，形成概念的初步認(rèn)識(shí)；其次，通過(guò)學(xué)生熟悉的一次函數(shù)和二次函數(shù)，讓學(xué)生建立新舊知識(shí)聯(lián)系，以達(dá)到概念再認(rèn)識(shí)的目的；最后，讓學(xué)生經(jīng)歷求函數(shù)定義域、函數(shù)值和判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等的過(guò)程，強(qiáng)化雙基，達(dá)到同化概念的目的.

3.1.2范例的解題步驟的比較

我們把范例的解題步驟分為完整解題步驟和部分解題步驟.完整解題步驟應(yīng)該包括：分析、求解過(guò)程、結(jié)果、反思四部分，而部分解題步驟只包含以上四部分當(dāng)中的一個(gè)或幾個(gè)，如只有求解過(guò)程和結(jié)果.按照以上劃分規(guī)則得到：

表7 解題步驟范例數(shù)量對(duì)比

表8 范例解題步驟詳細(xì)對(duì)比

由表7和表8可知，北師大版函數(shù)的概念側(cè)重于探究式學(xué)習(xí)，教科書(shū)上的范例解題步驟都是部分解題步驟，都是點(diǎn)到為止的啟發(fā)式學(xué)習(xí).人教版則側(cè)重于盡可能向讀者展示完整的解題步驟，通過(guò)詳細(xì)分析，夯實(shí)讀者的數(shù)學(xué)雙基.

3.2問(wèn)題比較分析

本文研究的問(wèn)題是指教科書(shū)中函數(shù)概念一節(jié)相關(guān)問(wèn)題，包括范例、思考題、練習(xí)、課后習(xí)題.我們從問(wèn)題類型、問(wèn)題難度、范例呈現(xiàn)的解題步驟三個(gè)視角進(jìn)行比較分析.

3.2.1問(wèn)題類型及數(shù)量比較

我們把有關(guān)函數(shù)概念的問(wèn)題按題型進(jìn)行了劃分[2]，并對(duì)問(wèn)題數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下表格.

表5 兩版本教材問(wèn)題形式及數(shù)量統(tǒng)計(jì)

通過(guò)觀察上表，我們得到以下結(jié)果：

（1）兩版本教科書(shū)課內(nèi)鞏固習(xí)題的數(shù)量相差不大，分別是13和14.

（2）人教版題目總數(shù)量遠(yuǎn)高于北師大題目的數(shù)量，是北師大版的2倍多.

（3）人教版課后習(xí)題的數(shù)量是北師大版教科書(shū)的3倍多，這樣處理雖能促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握和理解，但無(wú)形中加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān).

我們仔細(xì)分析任教版有關(guān)函數(shù)概念的題目，發(fā)現(xiàn)人教版課后習(xí)題數(shù)量多的原因在于對(duì)課后習(xí)題設(shè)置了層次化的變式.如關(guān)于已知函數(shù)解析式求解函數(shù)值的問(wèn)題，一共有三個(gè)變式；而關(guān)于求函數(shù)定義域的問(wèn)題，也有三組變式.

3.2.2問(wèn)題難度比較

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，我們計(jì)算出如下表所示的一組題目綜合難度.

表6 兩版本問(wèn)題難度因素的加權(quán)平均

根據(jù)鮑建生的蛛網(wǎng)難度模型[3]，得到兩版本問(wèn)題綜合難度對(duì)比圖.

圖6 兩版本題目難度綜合比較

從圖中可以看出，北師大版教科書(shū)函數(shù)概念問(wèn)題整體難度高于人教版，主要表現(xiàn)在：?jiǎn)栴}探究水平、背景深度、運(yùn)算量和知識(shí)點(diǎn)含量的難度都高于人教版；而人教版問(wèn)題推理水平難度則略高于北師大版.這從側(cè)面說(shuō)明了，北師大版函數(shù)概念配套問(wèn)題數(shù)量雖少，但探究性強(qiáng)，思維深度較高；而人教版，配套問(wèn)題數(shù)量雖遠(yuǎn)高于北師大版，但整體難度偏低.

3.3對(duì)學(xué)生認(rèn)知要求的比較

3.3.1潛在認(rèn)知要求對(duì)比

文獻(xiàn)[1]把問(wèn)題對(duì)學(xué)生潛在認(rèn)知要求劃分為四個(gè)層次，分別是記憶型、無(wú)聯(lián)系的程序型、有聯(lián)系的程序型、做數(shù)學(xué).結(jié)合兩版本教科書(shū)內(nèi)容的特點(diǎn)和新課標(biāo)對(duì)知識(shí)與技能的認(rèn)知要求，對(duì)以上四個(gè)層次水平理解如下：

*記憶型：任務(wù)要求對(duì)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)在理解的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)單記憶.如求y=■的定義域和值域.

*無(wú)聯(lián)系的程序型：任務(wù)側(cè)重訓(xùn)練學(xué)生的基本技能，如計(jì)算、化簡(jiǎn)、解不等式等，與概念的理解無(wú)關(guān).

*有聯(lián)系的程序型：任務(wù)強(qiáng)調(diào)問(wèn)題的解決過(guò)程，與概念的理解相關(guān).如判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù).

*做數(shù)學(xué)：任務(wù)沒(méi)有暗示可預(yù)期的解決途徑，屬于開(kāi)放性問(wèn)題，答案通常不唯一，需要將具體問(wèn)題上升到本質(zhì)聯(lián)系，并進(jìn)行復(fù)雜的思考、設(shè)計(jì)解決方案等.

按照以上四個(gè)認(rèn)知要求標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)教科書(shū)中的問(wèn)題進(jìn)行了劃分，得到如下條形統(tǒng)計(jì)圖：

圖7 兩版本認(rèn)知要求對(duì)比對(duì)比

由上圖可知，兩個(gè)版本教科書(shū)中的問(wèn)題對(duì)學(xué)生認(rèn)知要求主要集中在有程序的聯(lián)系型和無(wú)聯(lián)系的程序型，即二者都注重培養(yǎng)學(xué)生的雙基.從問(wèn)題數(shù)量上看，人教版整體認(rèn)知要求要高于北師大版.

3.3.2作答類型的對(duì)比

結(jié)合兩個(gè)版本問(wèn)題的特點(diǎn)，把問(wèn)題作答類型劃分為答案和數(shù)學(xué)陳述、解釋、推理論證三個(gè)層次.答案和數(shù)學(xué)陳述指的是解答過(guò)程不僅要求有結(jié)果，還要做相關(guān)數(shù)學(xué)說(shuō)明；解釋指的是為了加深概念的理解，把問(wèn)題與概念對(duì)應(yīng)起來(lái)的一個(gè)過(guò)程；推理論證指的是根據(jù)一般的原理和結(jié)論說(shuō)明某個(gè)特殊問(wèn)題的合理性.

按照以上規(guī)則，得到如下表7所示的兩套教材關(guān)于問(wèn)題作答類型的比較，北師大版以“答案和數(shù)學(xué)陳述”和“解釋”為主要作答類型；而人教版三個(gè)作答類型比例則比較均勻.

表7 兩版本問(wèn)題回答類型對(duì)比

四、結(jié)論與啟示

在“函數(shù)概念”內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，兩版本教材的問(wèn)題都以“無(wú)程序的聯(lián)系型”和“有程序的聯(lián)系型”為主.但人教版教材問(wèn)題總量較大，是北師大版的2倍多，其原因在于人教版通常對(duì)同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)設(shè)置幾組變式練習(xí)，意在加強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)生的基本知識(shí)和基本技能.雖然，人教版問(wèn)題總量較大，但問(wèn)題總體知識(shí)難度低于北師大版.此外，人教版教材通常會(huì)在問(wèn)題旁邊附加旁白，作為對(duì)教材正文內(nèi)容的補(bǔ)充或拓展.北師大版問(wèn)題數(shù)量相對(duì)較少，但教材有意對(duì)某些內(nèi)容“留白”，旨在讓學(xué)生自己填空，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.如在給出函數(shù)定義之后，北師大版教材又給出三個(gè)不同表現(xiàn)形式的函數(shù)，但并沒(méi)有結(jié)合函數(shù)定義從集合的角度具體分析.且北師大版問(wèn)題的探究性和背景的豐富性要高于人教版.主要表現(xiàn)在教材中設(shè)置學(xué)生自己動(dòng)手參與的思考交流欄目及問(wèn)題類型與生活聯(lián)系緊密.

兩套教材不同的內(nèi)容組織與呈現(xiàn)方式體現(xiàn)出編排者教學(xué)理念的不同.人教版教材無(wú)論從函數(shù)概念的引入還是范例等問(wèn)題的呈現(xiàn)都講究實(shí)效，方便學(xué)生自學(xué)；北師大版教材范例呈現(xiàn)的特點(diǎn)主要表現(xiàn)為點(diǎn)到為止的啟發(fā)式問(wèn)題，學(xué)生需要結(jié)合函數(shù)定義，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行加工.也就是說(shuō)北師版教材側(cè)重于探究式學(xué)習(xí)，注重讓學(xué)生經(jīng)歷自我構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程.

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