余少洪

摘 要： 本文介紹帶電粒子在勻強磁場中的運動規(guī)律，重點介紹了如何找圓心，確定半徑和計算時間的方法。作者在高三連續(xù)從教八年之久，感覺學生對帶電粒子在磁場中的運動規(guī)律總不是很明確，感覺有必要系統(tǒng)歸納一下，希望能對部分學生起到拋磚引玉的作用。

關(guān)鍵詞： 帶電粒子 勻強磁場 運動分析

一、帶電粒子在磁場中的運動

1.勻速直線運動：若帶電粒子的速度方向與磁場方向平行（相同或相反），此時帶電粒子所受的洛倫茲力為零，帶電粒子將以入射速度v做勻速直線運動。

2.勻速圓周運動：若帶電粒子垂直勻強磁場方向進入磁場，則做勻速圓周運動。

（1）qvB=m■，得出r=■

（2）T=■=■

注意：①洛侖茲力始終和速度垂直，洛侖茲力不做功。

②r與v有關(guān)，T與v、r無關(guān)。

圖3.6-2 帶電粒子在勻強

磁場中做勻速圓周運動。

3.等螺距的螺旋線運動：當帶電粒子與磁場一夾角θ（θ≠0o，900，1800）時，帶電粒子做等螺距的螺旋線運動。

二、帶電粒子在有界勻強磁場中做圓周運動的解題方法

正確解決這類問題的前提和關(guān)鍵是：畫軌跡、找圓心、定半徑、求時間。

1.找圓心：圓心一定在與速度方向垂直的直線上，通常有四種情況。

（1）已知入射點與方向和出射點與方向時，可以通過入射點和出射點分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心。

（2）已知入射點與入射方向和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心。

（3）已知圓弧兩不平行弦，兩弦的中垂線必為圓心。

（4）已知粒子進入磁場和離開磁場時的速度方向（具體的位置未知），則圓心必在速度夾角的角平分線上。

根據(jù)以上總結(jié)的結(jié)論可以分析下面幾種常見的不同邊界磁場中的運動規(guī)律：

①直線邊界（進出磁場具有對稱性，如圖（a）、（b）、（c）所示）；

②平行邊界（存在臨界條件，如圖（a）、（b）、（c）所示）；

③圓形邊界（沿徑向射入必沿徑向射出，右圖所示）。

2.定半徑：

（1）利用公式r=■計算，再利用幾何圖求其他量。

（2）用幾何知識（勾股定理、三角函數(shù)等）求出半徑的大小。

3.求時間：粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應(yīng)的圓心角為α時，其運動時間表示為：t=■T（或t=■T）.

注意：偏向角Ф，圓心角α，弦切角θ三者關(guān)系：Ф=α=2θ.

例1.如圖所示，一束電子（電量為e）以速度v垂直射入磁感應(yīng)強度為B，寬度為d的勻強磁場中，穿過磁場時速度方向與電子原來入射方向的夾角是30°，則電子的質(zhì)量是？搖？搖 ？搖？搖？搖，穿過磁場的時間是？搖？搖？搖 ？搖？搖。

解析：電子在磁場中運動，只受洛倫茲力作用，故其軌跡是圓弧的一部分，又因為F⊥v，故圓心在電子穿入和穿出磁場時受到洛倫茲力指向交點上，如圖中的O點，由幾何知識知，圓心角θ=30°，所以r=d/sin30°=2d.

又由r=■得m=2dBe/v.

又因為AB圓心角是30°，所以穿過時間t=■T=■×■=■.

例2.如圖所示，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，寬度為d，邊界為CD和EF.一電子從邊界CD外側(cè)以速率v■垂直射入勻強磁場，入射方向與邊界CD間夾角為θ.已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e，為使電子能從磁場的另一側(cè)EF射出，則電子的入射速率v■至少多大？

解析本題考查圓周運動的邊界問題.當入射速率v■很小時，電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從CD一側(cè)射出.入射速率越大，軌道半徑越大，當軌道剛好與邊界EF相切時，電子恰好能從EF射出，如圖所示，電子恰好能射出時，由幾何知識可得

r+rcosθ=d.

由evB=m■得r=■.

聯(lián)立得v■=■，

故電子要射出磁場，速率至少為■.

針對練習：如下圖，在xOy坐標系的第一象限內(nèi)有互相正交的勻強電場E與勻強磁場B，E的大小為1.0×10■V/m，方向未知，B的大小為1.0T，方向垂直紙面向里；第二象限的某個圓形區(qū)域內(nèi)，有方向垂直紙面向里的勻強磁場B′。一質(zhì)量m=1×10■kg、電荷量q=1×10■C的帶正電微粒以某一速度v沿與x軸負方向60°角從A點沿直線進入第一象限運動，經(jīng)B點即進入處于第二象限內(nèi)的磁場B′區(qū)域，一段時間后，微粒經(jīng)過x軸上的C點并與x軸負方向成60°角的方向飛出。已知A點的坐標為（10，0），C點的坐標為（-30，0），不計粒子重力，g取10m/s■。

（1）請分析判斷勻強電場E的方向并求出微粒的運動速度v；

（2）勻強磁場B′的大小為多大？

（3）B′磁場區(qū)域的最小面積為多少？

【思路點撥】洛倫茲力與安培力的關(guān)系：洛倫茲力是安培力的微觀實質(zhì)，安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)。所以洛倫茲力的方向與安培力的方向一樣也由左手定則判定。

【解析】（1）由于重力忽略不計，微粒在第一象限內(nèi)僅受電場力和洛倫茲力，且微粒做直線運動，速度的變化會引起洛倫茲力的變化，所以微粒必做勻速直線運動。這樣，電場力和洛倫茲力大小相等，方向相反，電場E的方向與微粒運動的方向垂直，即與x軸正方向成30°角斜向右上方。

由力的平衡條件有Eq=Bqv

得v=■=■m/s=10■m/s

（2）微粒從B點進入第二象限的磁場B′中，畫出微粒的運動軌跡如右圖。

粒子在第二象限內(nèi)做圓周運動的半徑為R，由幾何關(guān)系可知：

R=■cm=■cm

微粒做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，即qvB′=m■

B′=■=■代入數(shù)據(jù)解得B′=■T

（3）由圖可知，B、D點應(yīng)分別是微粒進入磁場和離開磁場的點，磁場B′的最小區(qū)域應(yīng)該分布在以BD為直徑的圓內(nèi)。由幾何關(guān)系易得BD=20cm，磁場圓的最小半徑r=10cm。

所以，所求磁場的最小面積為S=πr■=0.01π=3.1×10■m■.

參考文獻：

[1]物理選修3-1.人民教育出版社.

[2]劉增利.教材解讀與拓展選修3-1.開明出版社.