晉守博 趙美玲 霍承剛

摘 要： 本文分別從實(shí)積分新解法、數(shù)學(xué)建模及實(shí)驗(yàn)三個(gè)方面入手，研究了復(fù)變函數(shù)課程的實(shí)踐性教學(xué)改革問題.首先給出了培養(yǎng)學(xué)生多元思維能力的方法，然后從數(shù)學(xué)建模和實(shí)驗(yàn)方面探討了學(xué)生應(yīng)用能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞： 復(fù)變函數(shù) 實(shí)踐性教學(xué) 教學(xué)改革

近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論已被廣泛應(yīng)用到理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、解析數(shù)論、信號(hào)處理和天體力學(xué)等領(lǐng)域.經(jīng)過大量教學(xué)工作者的努力，復(fù)變函數(shù)課程建設(shè)方面已經(jīng)取得了顯著的成就，但是仍然存在許多問題：課程的嚴(yán)密性被過分強(qiáng)調(diào)，教師在講課時(shí)過于注重定理的證明過程，很少提到定理的背景知識(shí)，更不會(huì)討論如何利用該定理解決現(xiàn)實(shí)問題.這種教學(xué)方式導(dǎo)致學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)課程的學(xué)習(xí)缺乏興趣，已經(jīng)不能滿足當(dāng)今學(xué)生的需求.

近年來，上述現(xiàn)象已經(jīng)引起了廣大教育工作者的反思，眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)該問題進(jìn)行了研究，并提出了一系列改進(jìn)方法.唐笑敏對(duì)復(fù)變函數(shù)教學(xué)過程中存在的問題進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，并且提出了一系列改革設(shè)想[1].鄭玉輝提出可以通過類比教學(xué)與改變考核方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以求達(dá)到最好的教學(xué)效果[2].朱建民和李穎從可視化教學(xué)方面對(duì)復(fù)變函數(shù)課程的許多內(nèi)容進(jìn)行了分析，指出了大部分內(nèi)容都可以從幾何方面進(jìn)行刻畫[3].文[4]和[5]指出數(shù)學(xué)建模方法可以作為一種重要的工具，有效提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.文[6]分析了Matlab軟件在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中的應(yīng)用.本文將從三個(gè)方面討論復(fù)變函數(shù)課程的實(shí)踐性教學(xué)改革問題.

1.利用新方法求實(shí)積分，培養(yǎng)學(xué)生的多元思維能力

反常積分的計(jì)算是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，而且沒有統(tǒng)一的方法，如果能夠利用復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論求解，就會(huì)極大地簡(jiǎn)化計(jì)算過程.例如在計(jì)算Frensnel積分？蘩■■cosx■dx時(shí)，若采用常規(guī)方法求解，計(jì)算量將會(huì)極其巨大，但是如果能夠采用復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論求解，那么不僅求解方法多樣，問題也將變得較簡(jiǎn)單，對(duì)于該問題我們可以用下面三種方法求解.

1.1利用柯西積分定理求解

首先構(gòu)造輔助函數(shù)f（z）=e■，并取中心角為■，半徑為R，起始邊在x軸上的扇形的邊界C■為積分路徑，由柯西積分定理得■e■dz=0，再將左邊積分分為三段可以得到：？蘩■■e■dx+？蘩■e■+？蘩■■e■e■dx=0，其中Г■為扇形的曲線弧部分.最后令R→+∞，經(jīng)過計(jì)算可知■e■dz→0，并利用泊松積分？蘩■■e■dx=■，所以？蘩■■cosx■dx=■.

1.2利用Laplace變換求解

Laplace變換可將實(shí)函數(shù)f（t）轉(zhuǎn)化為特殊的復(fù)變函數(shù)F（s），是常用的一種變換，具體的變換公式為F（s）=？蘩■■f（t）e■dt，其中實(shí)數(shù)t≥0，s為復(fù)數(shù).為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程，可以輔助函數(shù)f（t）=？蘩■■cos（tx■）dx，由Laplace變換得

F（s）=■？蘩■■■dy=■■

通過逆變換得：f（t）=■？蘩■■F（s）e■ds=■■.令t=1，可得？蘩■■cosx■dx=■.

1.3利用傅里葉變換求解

在實(shí)積分計(jì)算過程中，合理利用傅里葉變換同樣能夠起到化繁為簡(jiǎn)的作用.為了計(jì)算Frensnel積分，首先令x■=t，利用換元法可得？蘩■■cosx■dx=■？蘩■■■dt，對(duì)函數(shù)f（t）=■（t>0）進(jìn)行傅里葉變換得：F（w）=2？蘩■■■dt=■，取w=1，則？蘩■■■dt=■，因此？蘩■■cosx■dx=■.

2.在教學(xué)過程中穿插數(shù)學(xué)建模實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力

復(fù)變函數(shù)課程的理論體系非常嚴(yán)密，如果教師嚴(yán)格按照教科書講解，學(xué)生就會(huì)感覺枯燥無味，從而逐漸失去學(xué)習(xí)興趣。若能夠?qū)?shù)學(xué)建模實(shí)例應(yīng)用到復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程中，學(xué)習(xí)的積極性必定就會(huì)有所提高.在教學(xué)過程中，可以分別從概念、定理及知識(shí)應(yīng)用等方面穿插數(shù)學(xué)建模案例，幫助學(xué)生理解相應(yīng)知識(shí)點(diǎn).

例如，輻角是復(fù)變函數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)，大部分學(xué)生對(duì)輻角的性質(zhì)理解不夠全面，為了幫助學(xué)生深刻理解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可以構(gòu)造實(shí)例：三角形的三個(gè)內(nèi)角和為什么必須等于π？目前關(guān)于該問題的證明方法比較多，我們可以利用輻角的性質(zhì)證明，具體做法是：首先構(gòu)造三個(gè)復(fù)數(shù)z■、z■和z■，它們對(duì)應(yīng)同一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其中相應(yīng)的對(duì)角分別是α、β和γ，于是α=arg■，β=arg■，γ=arg■，利用■·■·■=-1，以及輻角的性質(zhì)得：

α+β+γ=arg（-1）+2kπ=π+2kπ（k=0，±1，±2…）

再根據(jù)α+β+γ∈（0，3π）內(nèi)可知：α+β+γ=π.學(xué)生掌握該模型的算法后，必定能夠更全面地理解輻角概念，當(dāng)介紹復(fù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，除了利用伸縮率解釋外，還可以借助實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義解釋，如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度、電流強(qiáng)度等.

保形映射也是較重要的一個(gè)概念，研究表明保形映射在電力學(xué)中具有重要作用.為了保證學(xué)生理解該概念，可以假設(shè)有兩個(gè)同心金屬圓柱與z平面的截線為圓周|z|=r■和|z|=r■（0

？覬（z）=■[2lnz-（lnr■+lnr■）]

對(duì)于在復(fù)變函數(shù)教學(xué)過程中如何突出數(shù)學(xué)建模思想，需要相關(guān)學(xué)者做更深入的研究，需要發(fā)現(xiàn)更多與復(fù)變函數(shù)理論有關(guān)的應(yīng)用實(shí)例.若能有效地將數(shù)學(xué)建模實(shí)例貫穿到復(fù)變函數(shù)理論教學(xué)中，則必定能夠更好地幫助學(xué)生理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過兩者的有效結(jié)合，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力必定會(huì)有所提高.

3.將實(shí)驗(yàn)與理論相結(jié)合，提高學(xué)生的實(shí)際操作能力

隨著社會(huì)的快速發(fā)展及計(jì)算機(jī)軟件的不斷改進(jìn)，很多需要經(jīng)過復(fù)雜計(jì)算的理論問題都可以借助計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)完成，復(fù)變函數(shù)相關(guān)理論的實(shí)驗(yàn)主要借助于Matlab軟件完成，該軟件具有良好的數(shù)值計(jì)算功能，如果能在復(fù)變函數(shù)的理論教學(xué)中穿插實(shí)驗(yàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性必定就會(huì)有所提高.

對(duì)于任意一個(gè)復(fù)數(shù)，模、虛部、實(shí)部及輻角主值等知識(shí)點(diǎn)必須完全掌握，若采用常規(guī)的方法計(jì)算，則不僅計(jì)算過程過于繁瑣，而且會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間，如果使用Matlab軟件，上述問題的計(jì)算將會(huì)變得非常簡(jiǎn)單，僅需要輸入幾個(gè)命令即可完成，當(dāng)計(jì)算復(fù)數(shù)z=■的模、虛部、實(shí)部及輻角主值時(shí)，只要在Matlab軟件的編程窗口輸入abs（z）、imag（z）、real（z）和angle（z）等命令，即可快速求出real（z）=3.3，imag（z）=9.6，abs（z）=10.1，angle（z）=1.2.另外，對(duì)于一些復(fù)數(shù)形式的初等函數(shù)只要借助相應(yīng)的Matlab命令，也可快速求出相應(yīng)的結(jié)果.

另外，在計(jì)算“大范圍”積分問題時(shí)，恰當(dāng)利用留數(shù)理論可以收到事半功倍的效果，然而留數(shù)的計(jì)算問題往往較復(fù)雜，此時(shí)如果能借助計(jì)算機(jī)軟件快速求出留數(shù)，將會(huì)極大地簡(jiǎn)化計(jì)算過程，如果被積函數(shù)是有理分式函數(shù)，只需利用留數(shù)定理和Matlab軟件中的residue命令就能快速求出結(jié)果，若被積函數(shù)為其他形式，計(jì)算過程則稍顯復(fù)雜.例如在計(jì)算■■dz時(shí)，直接利用留數(shù)定理可知：■■dz=2πi■■

若采用常規(guī)的方法計(jì)算留數(shù)將會(huì)非常麻煩，Matlab軟件會(huì)使計(jì)算過程變得十分簡(jiǎn)單，經(jīng)過分析可知在圓|z|<1內(nèi)被積函數(shù)僅有一個(gè)一階極點(diǎn)z=0，根據(jù)一階極點(diǎn)的留數(shù)的計(jì)算規(guī)則可得：■■=■[（z-0）■].因此，在計(jì)算該留數(shù)時(shí)，僅需要使用以下Matlab語句：

syms z

limit（（z-0）*（z*sin（z））/（1-exp（z））^3，？謖z？謖，0）

我們立即可以得到■■=-1，于是所求積分的值為-2πi.

總之，Matlab的應(yīng)用范圍較廣，不僅上面提到的復(fù)數(shù)和復(fù)積分問題可以利用該軟件求解，而且復(fù)變函數(shù)中的泰勒級(jí)數(shù)、拉格朗日展開式、Laplace變換及傅里葉變換等問題都可以用該軟件完成.教師在教學(xué)過程中如果能夠借助該軟件適當(dāng)?shù)亻_展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，那么既可以克服常規(guī)教學(xué)方法中過于注重理論計(jì)算的缺點(diǎn)，又可以通過實(shí)驗(yàn)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

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