紀(jì)恭婷 蘇抗男

[摘要]通過構(gòu)建一個草原放牧的博弈模型，以博弈論的視角對牧民的一次行為和連續(xù)行為進行研究分析，在參與者行為之間存在相互約束和牽制的情況下，得出以下結(jié)論：在重復(fù)博弈的環(huán)境下，“公地悲劇”問題能夠得到解決，這需要依靠內(nèi)生的約束機制。

[關(guān)鍵詞]公地悲??；博弈論；內(nèi)生規(guī)則

[DOI]1013939/jcnkizgsc201529111

1968年英國哈丁教授（Garrett Hardin）在《The tragedy of the commons》一文中首先提出“公地悲劇”這一概念，它意味著“環(huán)境的退化會發(fā)生在任何時候，只要許多人共同使用一種稀缺資源”。本文把博弈論的概念和思想引入到“公地悲劇”這一現(xiàn)象中，致力于找出化解“公地悲劇”的方法。

1“公地悲劇”的博弈論模型

假設(shè)在由n個牧民共同擁有的草原上，每個牧民都養(yǎng)羊，根據(jù)世代多年放牧的傳統(tǒng)，他們都知道這片草原上羊的最優(yōu)的飼養(yǎng)數(shù)量，我們把這一數(shù)量設(shè)為Q1，那么每個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量為Q1/n。由于草原是公共的，只要有利可圖，牧民養(yǎng)羊的飼養(yǎng)數(shù)量越多越好。假定每個牧民能獲得收益的飼養(yǎng)量不低于Q1/n，這樣，每個牧民羊的飼養(yǎng)數(shù)量有兩個可能，一是超額飼養(yǎng)，二是根據(jù)統(tǒng)一的指標(biāo)限額飼養(yǎng)。

為了使我們的分析更具有一般的普遍性，把草原上的n個牧民簡化為兩個典型性的代表A和B，A和B共同在這片草原上放牧，把羊的飼養(yǎng)量的確定過程看作是A和B相互之間的博弈，那么A和B就有兩個可選擇的策略，即超額或限額。在A、B選擇不同的策略的情況下，A、B會出現(xiàn)收益變化：①A超額、B限額，在市場均衡的情況下，A的飼養(yǎng)里比B的飼養(yǎng)量多，收益也多，A的收益為a，B的收益為b，則a>b；②B超額、A限額，A的收益為b，B的收益為a，同理，有a>b；③A、B都限額，總收益為T，達(dá)到社會最優(yōu)，A、B共享收益π，每人π/2，由公地放牧?xí)?dǎo)致非帕累托最優(yōu)，有π>a+b，④A、B都超額，那么A、B的收益均為τ/2，有τ<π。同時，為了讓超額飼養(yǎng)顯得有利可圖，我們還假定，無論是A或B超額，超額方的收益都大于π/2。A、B中只要有一方超額，另一方限額，則超額方的多獲得的收益為限額方損失的收益。

2博弈模型分析

首先，假定以上“公地悲劇”博弈模型是在完全信息的情況下進行的，即A、B都知道對方的策略和收益；之后，將A和B的博弈分為同時博弈和序貫博弈兩種情形。下面將對以上兩種情形進行敘述分析。

當(dāng)A和B同時博弈，對A來說，當(dāng)B采取限制飼養(yǎng)數(shù)量的策略時，A的收益a>π/2，A的最優(yōu)選擇是超額；當(dāng)B采取超額飼養(yǎng)策略時，A的收益b>τ/2；由以上分析可知對A不存在占優(yōu)策略，A所采取的策略需要根據(jù)B的策略進行選擇。對B來說，當(dāng)A采取限額策略時，B的收益為a>π/2；當(dāng)A采取超額策略時，B的收益b>τ/2，B的最優(yōu)選擇是限額；同樣，B也不存在占優(yōu)策略，B所采取的策略需要根據(jù)A的策略進行選擇。

由以上分析可知，在同時博弈的情形下，A、B之間有著兩個納什均衡，即（限額；超額）與（超額；限額）。因為同時博弈存在的階段性，納什均衡不具有唯一解，這說明在實際情況下A和B會面臨策略選擇上的困境，在這樣的情形下，為了實現(xiàn)自身利益的最大化，A和B均有可能以一定的概率選擇超額策略或限額策略。那么，我們假定A選擇限額策略的概率是r1，選擇超額策略的概率是1-r1；B選擇限額策略的概率是r2，選擇超額策略的概率是1-r2，那么，A的最優(yōu)化模型為：

VA=r1[[SX（]π[]2[SX）]r2+（1-r2）b]+（1-r1）[ar2+（1-r2）[SX（]τ[]2[SX）]]

求A在概率r1下的收益最大值Max[DD（X]r1[DD）]VA，有：[SX（]π[]2[SX）]r2+b（1-r2）-ar2-[SX（]τ[]2[SX）]（1-r2）=0，則，r2=[SX（]b-[SX（]τ[]2[SX）][]（a+b）-（[SX（]π[]2[SX）]+[SX（]τ[]2[SX）]）[SX）]>0

根據(jù)支付矩陣的對稱性，可推出：r1=r2=[SX（]b-[SX（]τ[]2[SX）][]（a+b）-（[SX（]π[]2[SX）]+[SX（]τ[]2[SX）]）[SX）]

綜上可知：r*1=r*2=[SX（]b-[SX（]τ[]2[SX）][]（1+b）-（[SX（]π[]2[SX）]+[SX（]τ[]2[SX）]）[SX）]為混合策略的納什均衡，這一均衡說明了當(dāng)A以概率r*1選擇限額策略時，A進行策略選擇時沒有必要參考B的策略選擇來進行，同樣的，B以概率r*2選擇限額策略時的策略選擇也不需要考慮A的策略選擇。

根據(jù)以上描述可得到以下結(jié)果：A、B選擇限額策略的聯(lián)合概率分布為：P（A=不超額；B=不超額）=r*1×r*2=[SX（]（b-[SX（]τ[]2[SX）]）2[][（a+b）-（[SX（]π[]2[SX）]+[SX（]τ[]2[SX）]）]2[SX）]；A、B選擇超額飼養(yǎng)策略的概率分布為：P（A=超額；B=超額）=（1-r*1）（1-r*2）；A、B選擇相異策略的概率為：r*1（1-r*2）+r*2（1-r*1）=2η*（1-r*2）=2r*2（1-r*1）。A和B中只要有一人選擇了超額飼養(yǎng)策略，草原的飼養(yǎng)量將偏離帕累托最優(yōu)，出現(xiàn)“公地悲劇”現(xiàn)象，出現(xiàn)的概率為：P（A=超額；B=超額）+P（A=超額；B=不超額）+P（A=不超額；B=超額）=（1-r*1）（1-r*2）+2η*（1-r*2）；根據(jù)概率的相關(guān)知識，“公地悲劇”出現(xiàn)的概率也可表示為1-P（A=不超額；B=不超額）=1-r*1×r*2∈[0，1]。

把A和B兩個牧民決定羊的飼養(yǎng)數(shù)量的決策過程看作是一個博弈，根據(jù)以上計算可知，“公地悲劇”這一現(xiàn)象會以一定的概率出現(xiàn)在博弈的收益中，這樣，從博弈論的視角分析“公地悲劇”就有了可行性。

其次，A、B連續(xù)博弈。當(dāng)A和B兩個牧民中有一個人在某些方面優(yōu)于另一個人即具備先行者的優(yōu)勢時，那么先行者就有觀望和利用先行者優(yōu)勢兩種選擇，這時A、B之間的博弈不再是同時博弈而是連續(xù)博弈。這里假設(shè)在完全信息的情況下，A是先行者，A先行動、B后行動，收益矩陣和同時博弈的時候相同。

對A來說，A知道假如他選擇超額策略，由于b>[SX（]π[]2[SX）]，B的最優(yōu)策略為限額策略，那么，A將獲得a的收益，B獲得b；假如A選擇限額策略，那么B一定超額，那么A獲得收益b，B獲得a。當(dāng)A具有先行者優(yōu)勢時，A能夠先行動，并獲得a的收益（a>b），所以無論如何A也會選擇超額策略，這時，博弈的均衡解釋（超額；限額）。這就表示在連續(xù)一次性的博弈過程中，A、B兩個牧民的羊的總的飼養(yǎng)數(shù)量將超過草原上的帕累托最優(yōu)數(shù)量，出現(xiàn)“公地悲劇”。

從上文中的分析可知，理論上，在一次博弈的情形下，不管是同時博弈還是連續(xù)博弈，“公地悲劇”都可能發(fā)生，但在實際情況下，因為養(yǎng)羊這個活動是不間斷連續(xù)進行下去的，那么草原上牧民之間養(yǎng)羊數(shù)量的決策過程就是重復(fù)博弈的過程。一旦存在重復(fù)博弈，牧民之間由于人際關(guān)系、文化等原因會形成一種相互牽制的情況，最終使草原上羊群的飼養(yǎng)數(shù)量限制在符合集體利益最大化的帕累托最優(yōu)數(shù)量上面。

3對策研究

由以上分析可知，A、B因為存在a-[SX（]π[]2[SX）]的超額收益而產(chǎn)生了超額飼養(yǎng)羊的投機心理。A和B都是理性人，都是自私的，都不愿意因為自己限額而損失了額外的收益，更不愿意看到因為雙方都超額而帶來的共同損失。當(dāng)不存在一個實際有效的機制來約束雙方行為時，為了能減少自身的損失，在博弈的過程中，博弈雙方會透露這樣的信息：如果在社會交換的過程中出現(xiàn)了違約者，則拒絕與他合作，而拒絕合作給違約者造成的損失大于他不違約的損失，這樣就形成了一種可信的、有效的威脅。A和B在牧羊博弈的過程當(dāng)中自主地限制羊的數(shù)量，使其形成一個內(nèi)生的規(guī)則。當(dāng)限額策略合理地解決了“公地悲劇”問題時，在接下來的重復(fù)博弈中，人們會將這一行為堅持下去，就成為了一種制度，一種內(nèi)生的制度，“公地悲劇”便得到了解決，不再出現(xiàn)。

4結(jié)論

通過以上分析，當(dāng)牧民們在選擇羊的飼養(yǎng)數(shù)量時，相互之間存在一種相互約束、制約機制，并且這一博弈是重復(fù)進行時，那么，飼養(yǎng)羊數(shù)量的限額將成為一個內(nèi)生的博弈規(guī)則，它不需要借助外界或第三方的力量來保證實施便能自己起到約束雙方行為的作用，因而“公地悲劇”能夠依靠內(nèi)部的約束機制自發(fā)解決。

參考文獻(xiàn)：

[1] Hardin GThe tragedy of the commons[J].Science，1968：162.

[2]方慶多中心視角下的“公地悲劇”治理研究——以廣州亞運免費公交地鐵為例[J].中國市場，2011（6）