梁 棟，朱鴻玲

（1．天津楊村第一中學(xué)，天津 301700；2．天津師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，天津 300387）

數(shù)學(xué)概念二次教學(xué)的實(shí)踐與思考
——以一道例題的教學(xué)為例

梁 棟1，朱鴻玲2

（1．天津楊村第一中學(xué)，天津 301700；2．天津師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，天津 300387）

數(shù)學(xué)概念二次教學(xué)是例題教學(xué)的一個(gè)環(huán)節(jié)，具有發(fā)現(xiàn)解題方法源泉和展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的作用．熟悉知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系是概念二次教學(xué)的起點(diǎn)，挖掘概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是實(shí)施概念二次教學(xué)的途徑，寬闊的教學(xué)視野是概念二次教學(xué)創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)，創(chuàng)造性的教學(xué)設(shè)計(jì)是概念二次教學(xué)的成敗關(guān)鍵．

概念二次教學(xué)；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)文化；思維

1 引 言

隨著數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，數(shù)學(xué)的教育功能越來越被人們所認(rèn)識(shí)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是為了讓學(xué)生掌握一種重要的“工具”或“方法”，更重要的是掌握一種嶄新的思維模式，即“會(huì)用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行理性的思維”；同時(shí)也是為了培養(yǎng)學(xué)生的一種良好的素養(yǎng)，即“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”．《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：“數(shù)學(xué)為其它科學(xué)提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用，數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分．”[1]

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果．?dāng)?shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想，它含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的[2]．

所謂數(shù)學(xué)方法，是處理、探索、解決問題，實(shí)施有關(guān)“數(shù)學(xué)廖想”的技術(shù)手段和操作程式．“方法”是指向“實(shí)踐”的，是理論用于實(shí)踐的中介，數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用、實(shí)施與數(shù)學(xué)思想的概括、提煉，是并行不悖、相互為用、互為表里的．由于數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想互為表里，它們都建立在一定的知識(shí)基礎(chǔ)上，反過來又促進(jìn)知識(shí)的深化和向能力的轉(zhuǎn)化[3]．從數(shù)學(xué)方法論的角度考慮這種既統(tǒng)一又有差異，但卻沒有明確界限的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法及其關(guān)系時(shí)，特別是考慮到中學(xué)生的實(shí)際認(rèn)識(shí)水平，因而在教學(xué)大綱、教科書和實(shí)際教學(xué)中，通常把“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”籠統(tǒng)地稱為“數(shù)學(xué)思想和方法”或“數(shù)學(xué)思想方法”．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是開啟數(shù)學(xué)知識(shí)寶庫的金鑰匙，是層出不窮的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉．學(xué)生只有把數(shù)學(xué)知識(shí)上升到數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，乃至學(xué)生的整體素質(zhì)．首先，數(shù)學(xué)思想方法是素質(zhì)教育的重要內(nèi)容．素質(zhì)教育要求我們教育要面向全體學(xué)生，讓每位學(xué)生都得到全面發(fā)展．為了實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人們都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．”[4]數(shù)學(xué)思想方法比形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)更具有普遍性，在學(xué)生未來的工作和生活中有更加廣泛的應(yīng)用．其次，數(shù)學(xué)思想方法有助于教師正確地把握教材．高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系包括兩條主線：一是數(shù)學(xué)知識(shí)，這是寫在教材上的明線；二是數(shù)學(xué)思想和方法，是隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的暗線．教師只有掌握數(shù)學(xué)的思想和方法，才能明確領(lǐng)會(huì)教材編寫的意圖．才能從整體上、本質(zhì)上去理解教材，才能科學(xué)、靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)過程，選擇教學(xué)方法，提高教學(xué)效率．再有，數(shù)學(xué)思想方法有助于幫助學(xué)生建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的正遷移、促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，最終提高學(xué)生解決問題的能力．

但從目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視程度還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，數(shù)學(xué)教學(xué)以概念、定理、規(guī)律的灌輸和大量的習(xí)題訓(xùn)練為主要的教學(xué)模式仍然占據(jù)著課堂教學(xué)的主要位置．?dāng)?shù)學(xué)是作為人類文化遺產(chǎn)中的一個(gè)主要部分，它來源于人又服務(wù)于人，因而是一門人類科學(xué)．而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)被降為記憶公式和概念時(shí)，這一特別的文化價(jià)值就喪失殆盡了[5]．

為了克服傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的弊端，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中探索如何應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行概念教學(xué)正日益受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛重視．發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，探尋數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的途徑和方法是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)對(duì)當(dāng)前普通高中課程改革的重要途徑之一．

2 何謂“數(shù)學(xué)概念的二次教學(xué)”

目前，中國(guó)高中數(shù)學(xué)教學(xué)多采用“概念—例題—練習(xí)”的教學(xué)模式，在這一模式中，概念教學(xué)基本上是一次性的，即教師對(duì)新概念的教學(xué)設(shè)計(jì)投入精力較多，在隨后的解題活動(dòng)中只是對(duì)學(xué)過的概念復(fù)習(xí)鞏固，極少進(jìn)行二次開發(fā)．

概念是思維的基本形式，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的核心和邏輯起點(diǎn)[6]，是數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)．因此很多概念都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法．隨著課程改革的不斷深入，人們對(duì)概念教學(xué)的重視正逐漸從形式走向內(nèi)涵，教學(xué)中，教師在讓學(xué)生了解概念產(chǎn)生的背景，體驗(yàn)概念形成與發(fā)展的過程，感受概念中數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，對(duì)概念中的數(shù)學(xué)思想方法也傾注了極大的熱情，并在實(shí)踐中積累了大量的寶貴經(jīng)驗(yàn)，探索出許多行之有效的教學(xué)方法．然而，由于教學(xué)內(nèi)容的制約，當(dāng)概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與當(dāng)堂教學(xué)內(nèi)容無關(guān)時(shí)，這些“弦外之音”就容易被忽略，甚至是被埋沒．而一旦用到這些數(shù)學(xué)思想方法，教師又往往將其作為一種解題技巧向?qū)W生介紹，無形中為數(shù)學(xué)方法蒙上了一層神秘的色彩，使學(xué)生匪夷所思，心生畏懼．概念中的數(shù)學(xué)思想方法讓學(xué)生感到親切自然，容易接受，也樂于接受，因此，概念教學(xué)不應(yīng)是一次性的，應(yīng)根據(jù)需要進(jìn)行二次開發(fā)，并貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生在概念中感受數(shù)學(xué)的思維方式，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法．

數(shù)學(xué)概念的二次教學(xué)，是指教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已掌握概念的再次學(xué)習(xí)，其目的不是復(fù)習(xí)鞏固概念，不是進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)，而是挖掘概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并運(yùn)用這些思想方法解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題．概念二次教學(xué)一般是在學(xué)習(xí)解題方法，探究解題方法得來的過程時(shí)進(jìn)行，是例題教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)．

3 案例分析

下面是關(guān)于一道例題的教學(xué)案例，課型是高三復(fù)習(xí)課．

例1 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為_________．（2008年四川高考題）

大部分學(xué)生不假思索就寫出了如下解題過程：

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

學(xué)生解答這兩道題的思路是，先求出a1和d的取值范圍，再求a4=a1+3d的范圍，從而得到a4的最值．這種看起來順理成章的解法實(shí)際上是錯(cuò)誤的，例1由于a1≥1和d≤1的不等號(hào)方向相反而沒能使錯(cuò)誤成為事實(shí)，例2給了學(xué)生犯錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)，也就將問題暴露了出來．當(dāng)教師提醒學(xué)生求出a4取得最值時(shí)相應(yīng)的a1和d時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a4=-11時(shí)，有a1=1，d=-4，不適合已知條件，也就是說-11不是a4的最小值；當(dāng)a4=12時(shí)，有a1=9，d=1，也不適合已知條件，即12不是a4的最大值（只有少數(shù)學(xué)生能自己進(jìn)行驗(yàn)證，從而對(duì)解法提出質(zhì)疑）．

教師分析上述解法錯(cuò)誤的原因．以例2為例，已知條件中a1和d有制約關(guān)系，而解法并沒考慮到這種制約關(guān)系，雖然a1和d的范圍是由已知條件推出，但在求a4取值范圍時(shí)，a1和d 卻相對(duì)獨(dú)立，這是錯(cuò)誤的根源所在．這就如同由x2+y2=1可得|x|≤1，|y|≤1，但當(dāng)|x|=1且|y|=1時(shí)，x2+y2=1顯然不成立．錯(cuò)因已經(jīng)明了，例1又尚未找到解決的方法，那么這兩道題應(yīng)如何解決呢？此時(shí)學(xué)生對(duì)正確解法充滿期待，教師抓住時(shí)機(jī)就例1給出兩個(gè)提示：

提示1：如果設(shè)a1=x ，d=y ，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題看似順利解決了，但有學(xué)生追問：提示2是怎么想到的？這種方法為什么就一定正確？很多學(xué)生也有同感．

面對(duì)學(xué)生的追問，教師不直接回答，而是提出了新的問題：誰能告訴我，基底是怎樣定義的？這個(gè)問題學(xué)生感到意外，努力回憶幾分鐘，除了個(gè)別學(xué)生能說出個(gè)大概，其他學(xué)生都忙著去翻課本．基底的概念在高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的頻率很低，只是在引入平面向量的坐標(biāo)形式時(shí)做了一點(diǎn)貢獻(xiàn)，以后便銷聲匿跡，因此很多學(xué)生腦海中沒留下什么印象．這種情形在教師的預(yù)料之中，教師和學(xué)生一起再次學(xué)習(xí)基底的概念．

根據(jù)上面的分析，例1中的a4=-(2a1+3d)+3(a1+2d)不僅合情合理，而且把2a1+3d和a1+2d 看成基底后，a1和d的制約關(guān)系也很完整地保存下來，沒有任何的損失和變化，得出正確答案也就不足為奇了．基底概念和平面向量基本定理一經(jīng)寫出，任何語言都顯得多余，學(xué)生在會(huì)心的微笑中豁然開朗，教師順勢(shì)給出了下面的練習(xí)．

4 案例教學(xué)的功效

由于中國(guó)目前評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和水平的主要方式是考試，解題又是考試的唯一形式，因此，和解題教學(xué)相比，概念在教學(xué)中依然扮演著敲門磚的角色，還難以擺脫功利的色彩，學(xué)習(xí)概念的落腳點(diǎn)只是為了知道某個(gè)定義，在例題上有更多的選擇，之后教師的重心依然回到解題教學(xué)上，解題的誘惑會(huì)使師生直奔解題方法，然后通過大量訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，提高能力．概念對(duì)于學(xué)生的作用只是表層的顯性含義，反映在解題中，就是把已知條件涉及到的概念進(jìn)行最直接的轉(zhuǎn)化，至于題目的解決要靠教師補(bǔ)充的課外知識(shí)、總結(jié)的解題規(guī)律來完成，以至于很多學(xué)生在學(xué)完全部高中數(shù)學(xué)課程后，對(duì)很多重要概念不能準(zhǔn)確表述，甚至是毫無記憶．引入概念時(shí)教師煞費(fèi)苦心培育出的學(xué)生對(duì)概念的情感，在隨后的題海中蕩然無存．這不僅使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)難以真正理解，也使解題教學(xué)的成本大大增加．

從教學(xué)案例看出，一方面，概念二次教學(xué)能淋漓盡致地暴露思維過程，清晰展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的來龍去脈，使解題活動(dòng)成為學(xué)生在認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的創(chuàng)造性活動(dòng)，使解題過程成為學(xué)生知識(shí)能力的自我生長(zhǎng)過程．另一方面，概念的二次教學(xué)能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的價(jià)值，使概念的作用顯性化，并具有下面的作用．

4.1 發(fā)現(xiàn)解題方法的源泉

關(guān)注普遍的必然性，是人類基本的思維傾向[7]．反映在解題中，主要表現(xiàn)在學(xué)生對(duì)解題思路和解題方法的挑剔，“為什么這樣做？”“我這樣做行不行？”是很多學(xué)生看過解法后產(chǎn)生的困惑．對(duì)教師而言，解題思路分析是以不變應(yīng)萬變的教法，教師總是試圖通過思路分析，來說明某種解題思路的必然性，進(jìn)而讓學(xué)生認(rèn)可這種解法．但是多數(shù)的思路分析是建立在知道題目解法的前提下，是在為已知的解法尋找合適的理由，有些題目教師教過幾遍了，其解法是經(jīng)過多次反思的產(chǎn)物，是不斷改進(jìn)之后近乎完美的方法，每一步看起來都很自然，但對(duì)第一次接觸題目的學(xué)生來說卻知其然不知其所以然．另外，教師總是無意識(shí)地用自己的認(rèn)知水平來衡量學(xué)生，造成解題方法的呈現(xiàn)方式和時(shí)機(jī)脫離學(xué)生的實(shí)際，這是學(xué)生聽得懂卻學(xué)不會(huì)、不會(huì)用的原因之一．當(dāng)人們意識(shí)到解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)探索解法得來的過程，讓方法的出現(xiàn)自然流暢的時(shí)候，又一個(gè)問題擺在教師的面前：怎樣才能做到這一點(diǎn)？提示2的解法無論如何解釋都難以自圓其說，而基底的思想?yún)s可讓學(xué)生茅塞頓開，這讓教師有理由把目光聚焦在概念的二次教學(xué)上．

教育心理學(xué)認(rèn)為，興趣是一個(gè)人傾向于認(rèn)識(shí)、研究獲得某種知識(shí)的心理特征，是推動(dòng)人求知的一種內(nèi)在力量．興趣對(duì)于學(xué)習(xí)的重要性不言而喻，用各種手段激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并不困難，難在興趣的持久和發(fā)展．顯而易見的刺激只是興趣的誘因，真正能使學(xué)生興趣得以保持的是興趣的源泉．知識(shí)的力量是產(chǎn)生興趣的源泉之一，關(guān)鍵是要讓學(xué)生感受到這種力量．從概念中尋找方法，讓概念中的方法在解題中有所作為，這樣，數(shù)學(xué)方法就有了源泉，就不是無根之水無本之木，它會(huì)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)解題之間的關(guān)系，感到數(shù)學(xué)是平易近人的，是講理的、簡(jiǎn)單的，數(shù)學(xué)方法就在身邊，并在方法的運(yùn)用中享受思維的樂趣．概念在解題中也就不只是標(biāo)簽的作用，不再只是解題的起點(diǎn)，而是貫穿解題過程的靈魂．

在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，主要強(qiáng)調(diào)的是知識(shí)的發(fā)展價(jià)值，即知識(shí)對(duì)于學(xué)生的身心素質(zhì)的形成與發(fā)展所具有的促進(jìn)作用．對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展而言，并不是所有的知識(shí)都是有效的，即使是那些科學(xué)、正確的知識(shí)，如不能夠使學(xué)生的身心素質(zhì)有所增進(jìn)，那也是無效的知識(shí)[8]．基于此，即使學(xué)生機(jī)械、被動(dòng)地學(xué)會(huì)了一種解題方法，然后通過模仿、練習(xí)能按圖索驥去應(yīng)用，也沒有太大的價(jià)值，因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)思維并沒有真正意義上的發(fā)展．而有了源泉的方法不僅有較高的實(shí)用價(jià)值，有利于促進(jìn)學(xué)生思維的遷移，同時(shí)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀也會(huì)產(chǎn)生積極影響，對(duì)提升學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的層次和品位有助推作用．就提示2而言，教師曾對(duì)兩種教學(xué)方法的效果進(jìn)行比較，一種是直接給出方法，要學(xué)生記住，一種是文中的方法．從結(jié)果看，學(xué)生解類似題目的成功率沒有太大差異，在做隨后的練習(xí)題時(shí)也沒有差別，前者還有節(jié)省教學(xué)時(shí)間的優(yōu)勢(shì)．但隨著類似的對(duì)比持續(xù)進(jìn)行，區(qū)別會(huì)逐漸顯現(xiàn)出來，盡管考試成績(jī)?nèi)噪y分伯仲，但前者容易使學(xué)生產(chǎn)生消極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，認(rèn)為一種方法只要會(huì)用，能得到正確答案，考試能得分，沒必要知其究竟，從而失去了進(jìn)一步探索的欲望，久而久之，潛在的數(shù)學(xué)天賦會(huì)逐漸泯滅，也就難以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到快樂．而后者則在使學(xué)生保持濃厚的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展上有持續(xù)的作用．

4.2 感受數(shù)學(xué)文化的價(jià)值

教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）中把體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值作為課程的基本理念之一，數(shù)學(xué)文化隨之逐漸走進(jìn)課堂，然而教學(xué)中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，對(duì)教師來說還缺乏足夠的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)支持，對(duì)如何把理念轉(zhuǎn)化成教學(xué)行為還感到茫然．課程標(biāo)準(zhǔn)中指出數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值[9]，這是教師認(rèn)為容易實(shí)現(xiàn)的一個(gè)理念，于是簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、奇異美在課堂中時(shí)有出現(xiàn)．然而，數(shù)學(xué)的美不僅只是形式上的美，也不僅是看得見、聽得到的感官的愉悅，數(shù)學(xué)的美更體現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的令人神往的無窮魅力，數(shù)學(xué)的美不一定能夠言表，但當(dāng)你觸摸它的時(shí)候會(huì)引起你的共鳴，觸動(dòng)你的心靈．?dāng)?shù)學(xué)的美“是蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，是從數(shù)學(xué)內(nèi)容反映出來的”[10]．“數(shù)學(xué)邏輯推理中蘊(yùn)含著美的因素，數(shù)學(xué)的內(nèi)在美是一種高尚的理性美”[11]．提示2的解法正是因?yàn)槠矫嫦蛄炕径ɡ碓趦?nèi)容上體現(xiàn)的協(xié)調(diào)、平衡之美，才有結(jié)果的科學(xué)合理．當(dāng)學(xué)生細(xì)細(xì)品味解法的內(nèi)涵時(shí)，會(huì)感受到這種內(nèi)在的力量，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)方法不僅僅是解題的工具，也是人類智慧的結(jié)晶，能給人的思維以啟迪．

例2的解決過程也是一個(gè)求真的過程，從最初看似合理的方法竟然存在漏洞，到正確方法的出現(xiàn)以及對(duì)正確解法的追問，都體現(xiàn)出數(shù)學(xué)理性的探索精神，而最后基底思想為解法找到歸宿，則彰顯了概念的生命力．這種問題驅(qū)動(dòng)、層層遞進(jìn)的探索歷程帶給學(xué)生的體驗(yàn)，是單純介紹解題方法無法比擬的．更重要的是，在這一過程中，學(xué)生不是旁觀者，而是身心投入的參與者．

數(shù)學(xué)文化不可能脫離數(shù)學(xué)內(nèi)容孤立存在，也不可能只以形式化、表面化的形態(tài)出現(xiàn)，它根深于數(shù)學(xué)思想方法中，它和數(shù)學(xué)知識(shí)是渾然天成，不可分割的．教師要善于發(fā)現(xiàn)，然后引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)文化的氛圍中開展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，使解題真正成為學(xué)生的一種精神需要和追求，成為感受數(shù)學(xué)的最好載體．在解題中豐富他們的數(shù)學(xué)情感，在充滿著創(chuàng)造力和想象力的文化背景下掌握解題方法，逐漸學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界”[9]．

5 教學(xué)建議

開展概念二次教學(xué)的關(guān)鍵是要有相關(guān)的素材，這就需要教師對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行重新的思考，需要教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行由此及彼，由表及里的再創(chuàng)造，需要教師不僅具有概念二次教學(xué)的意識(shí)，更要有把這種意識(shí)物化為教學(xué)行為的方法．

5.1 各知識(shí)之間的聯(lián)系了然于心是概念二次教學(xué)的起點(diǎn)

進(jìn)行概念二次教學(xué)，教師首先要“清晰把握基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，洞悉不同學(xué)段教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系”[12～13]．?dāng)?shù)學(xué)各部分知識(shí)之間的聯(lián)系不僅是簡(jiǎn)單的先后承接，也不單是形式上相互的轉(zhuǎn)化，還包括某個(gè)內(nèi)容中發(fā)散出來的思想方法和在其它知識(shí)中的應(yīng)用．具體地講，例1中通過換元把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，這是形式上的轉(zhuǎn)化，因?yàn)椴粨Q元同樣是線性規(guī)劃問題，換元并沒起決定性的作用；基底的概念和平面向量基本定理是對(duì)平面向量而言的，但它在數(shù)列問題中能夠使用，這是思想方法的應(yīng)用，這當(dāng)中雖然也有形式的轉(zhuǎn)化，但這是基于思想的轉(zhuǎn)化，是質(zhì)的飛躍．把握這種聯(lián)系是教師的內(nèi)功，是概念二次教學(xué)的必要條件．

教學(xué)方法通過教師賦予該方法的內(nèi)容來發(fā)揮作用，缺乏內(nèi)容的方法是蒼白無力的．教師可以通過深入研究教材，多角度全方位審視教學(xué)內(nèi)容，來儲(chǔ)備概念二次教學(xué)的資本，隨著教師對(duì)教材獨(dú)到理解的逐漸增多，就可以隨心所欲地駕馭教材和教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)出內(nèi)涵豐富充滿活力的概念二次教學(xué)．

5.2 挖掘概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是概念二次教學(xué)的途徑

盡管挖掘概念中的數(shù)學(xué)思想方法早已是人們的共識(shí)，但由于教師獲取解題方法的途徑很多，“拿來主義”便是一種常見的方式，用這種方式獲取的解題方法多數(shù)情況下只是一種結(jié)果，教學(xué)中教師關(guān)注的往往是解法的應(yīng)用，解法的“起源”常被略去，因此客觀存在的解法與概念的關(guān)系也就難以被發(fā)現(xiàn)，即使從概念中得到了一些數(shù)學(xué)思想方法，大多也是一種形式化的解讀，在解題中少有作為．

概念中的數(shù)學(xué)思想方法不是從概念表面得來的，它存在于概念的“深處”，需要教師智慧的探索才能發(fā)掘，需要教師深入地思考和再加工才能在教學(xué)中應(yīng)用．撇開概念的外延和內(nèi)涵，提出由概念衍生出的問題，再試著解決這些問題，是深入一步的方法；觀察概念形式上的特征，與其它知識(shí)作橫向的聯(lián)系，再概括出共性，是再加工的途徑．反過來，對(duì)常用的解題方法可以采取逆向思考的辦法，考察其可能在哪些概念中出現(xiàn)．這個(gè)“出現(xiàn)”當(dāng)然也不是直接能看到的，需要教師反復(fù)探索、嘗試，可以對(duì)用某種解題方法解決的問題一般化或特殊化，這樣方法和概念的聯(lián)系會(huì)清晰起來；還可以對(duì)解題方法中涉及到的數(shù)學(xué)式子進(jìn)行各種變形，變形后可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)概念的蹤跡．精彩的教學(xué)設(shè)計(jì)更多來自于從學(xué)生質(zhì)疑中獲取的靈感，如果學(xué)生對(duì)一種解題方法感到費(fèi)解，教師可以沿著學(xué)生的疑問進(jìn)行思考，從概念中為質(zhì)疑尋找簡(jiǎn)單普通的答案．例1解法2中的基底思想，就是“您是怎么想到的？”的產(chǎn)物．

5.3 寬闊的例題教學(xué)視野是概念二次教學(xué)不斷創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是感知、體驗(yàn)、感悟、生長(zhǎng)的過程，這需要學(xué)生有足夠的實(shí)踐機(jī)會(huì)來獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，從這個(gè)意義上說，平時(shí)潤(rùn)物細(xì)無聲的滲透，遠(yuǎn)比強(qiáng)化訓(xùn)練更有效果，所以教師要有戰(zhàn)略眼光，要從學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)歷程謀劃概念教學(xué)，要注意現(xiàn)實(shí)利益和長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展相結(jié)合的原則，要經(jīng)得起忍耐和等待，這樣概念才能真正發(fā)揮其應(yīng)有的作用，概念的二次教學(xué)也才能持續(xù)不斷地深入發(fā)展．例如，有些概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法并非某個(gè)單元的教學(xué)重點(diǎn)，課上加以拓展對(duì)概念二次教學(xué)大有裨益，但可能會(huì)沖淡主題，甚至不合時(shí)宜，對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生沖擊．這種情況下，可以設(shè)置起點(diǎn)低，有遞進(jìn)關(guān)系的問題串，分解在幾節(jié)課上要學(xué)生探討，這樣既為二次教學(xué)做了必要的準(zhǔn)備，也減少了“弦外之音”的投入時(shí)間，不至于喧賓奪主．有些解題方法在學(xué)習(xí)概念之前學(xué)生已經(jīng)掌握，那么在概念學(xué)習(xí)后，可以讓方法再現(xiàn)，以達(dá)到“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的效果，催化學(xué)生對(duì)方法的深層理解．

5.4 教師創(chuàng)造性的教學(xué)設(shè)計(jì)是概念二次教學(xué)的成敗關(guān)鍵

數(shù)學(xué)教師是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的榜樣，僅從解題教學(xué)的角度看，體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是教師是學(xué)生學(xué)習(xí)解題最直接的模仿對(duì)象．學(xué)生的模仿包括教師探求解題途徑的思維方式，教師對(duì)解題方法的選擇和偏好等；二是教師對(duì)解題的理解、對(duì)數(shù)學(xué)的追求潛移默化地影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的情感和認(rèn)識(shí)．從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)教師本身就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的資源．概念二次教學(xué)能否取得成效，關(guān)鍵要看學(xué)習(xí)資源為學(xué)生提供的學(xué)習(xí)價(jià)值．一般來說，教學(xué)設(shè)計(jì)中融入的教師智慧越多，學(xué)生的學(xué)習(xí)資源就越豐富，對(duì)學(xué)生身心和智力的發(fā)展也就越有益．和一般意義上的解題教學(xué)相比，概念二次教學(xué)對(duì)教師的要求更高，因?yàn)槟壳斑@方面可供借鑒的成果不多，每一節(jié)課都需要教師調(diào)動(dòng)自己的才智進(jìn)行創(chuàng)造性的教學(xué)設(shè)計(jì)．

在進(jìn)行概念二次教學(xué)的設(shè)計(jì)時(shí)，教師可針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，對(duì)儲(chǔ)備的素材進(jìn)行篩選、充實(shí)、重組，整合相關(guān)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，找到數(shù)學(xué)思想方法呈現(xiàn)的最佳時(shí)機(jī)和最佳方式，用問題觸發(fā)學(xué)生思維，通過反思完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．文中的案例，如果沒有變式的例2，例1中學(xué)生的錯(cuò)誤就不夠徹底，就不會(huì)引起對(duì)解法的反思，對(duì)正確解法的渴望也就不那么強(qiáng)烈；兩種正確的解法出現(xiàn)的形式雖然相同，但學(xué)生的感觸是不一樣的，線性規(guī)劃的方法只要點(diǎn)撥到位學(xué)生就能接受，而第二種方法就顯得有些突然，而這恰恰為基底的登場(chǎng)做了鋪墊；富有深意的練習(xí)2則是點(diǎn)睛之筆．

6 結(jié) 語

在高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，面對(duì)一道復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，如何展開思路，如何尋找不同的解題方法，如何總結(jié)規(guī)律，已經(jīng)有很多頗有見地的成果，但對(duì)數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生背景的研究還稍顯不足，對(duì)學(xué)生思維習(xí)慣和認(rèn)知水平?jīng)]能充分尊重，解題思路的分析過于一廂情愿．對(duì)學(xué)生來說，面對(duì)精妙的解題方法，在欣賞贊嘆的同時(shí)，又覺得難以親近、遙不可及；題做了很多，解題經(jīng)驗(yàn)積累了不少，解題方法上也非常富有，但缺乏駕馭數(shù)學(xué)方法的方法，亦即沒有解題靈魂．從概念出發(fā)，用最基本的知識(shí)，最簡(jiǎn)單的方法，最普通的常識(shí)，逐步呈現(xiàn)探究的過程，詮釋思路的緣由，揭示思維的規(guī)律，是使學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、向往數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)的有效途徑之一．

[1] 鐘啟泉，崔允漷，張華．《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》解讀[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2001．

[2] 鐘啟泉，崔允漷，吳剛平．普通高中新課程方案導(dǎo)讀[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2003．

[3] 李秉德，李定仁．教學(xué)論[M]．北京：人民教育出版社，1991．

[4] 王道俊，王漢讕．教與學(xué)[M]．北京：人民教育出版社，1989．

[5] 陳玉琨，代蕊華．課程與課堂教學(xué)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2002．

[6] 阮曉明，王琴．高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（5）：29-33．

[7] 袁緣，李輝來．?dāng)?shù)學(xué)的邏輯思維在人類思想邏輯化進(jìn)程中的作用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（6）：23-26．

[8] 王新民，王富英．高效數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)成要素的分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（3）：20-24．

[9] 中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[10] 戴風(fēng)明．?dāng)?shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的缺失與對(duì)策[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（6）：74-77．

[11] 伏春玲，馮秀芝，董建德．?dāng)?shù)學(xué)文化在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（6）：89-92．

[12] 王光明，宋金錦，佘文娟，等．建立中學(xué)數(shù)學(xué)英才教育的數(shù)學(xué)課程系統(tǒng)——2014年中學(xué)英才教育數(shù)學(xué)課程研討會(huì)議綜述[J]．課程·教材·教法，2014，（5）：122-125．

[13] 王光明．高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的歸因[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（5）：75-77．

Practice and Thinking about Mathematics Concept Further-Teaching——In a Case of a Teaching Example

LIANG Dong1, ZHU Hong-ling2
(1. Yangcun NO.1 Middle School, Tianjin 301700, China; 2. College of Teacher Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

Mathematics concept further-teaching is a part of example teaching, which can make students find the source of the solutions to problems and display the cultural value of mathematics at the same time. Familiarity with the interrelation within knowledge is the origin of mathematics concept further-teaching; digging the methods of mathematical thoughts in the concept is the pathway of carrying out the mathematics concept further-teaching. A broaden teaching horizon is the base for the innovation and development of mathematics concept further-teaching and creative teaching design is the key to it.

mathematics concept further-teaching; mathematics thinking method; the culture of mathematics; mathematical thinking

G420

：A

：1004–9894（2015）02–0083–05

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2014–11–12

天津市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題——教育統(tǒng)計(jì)與測(cè)評(píng)技術(shù)在高中教學(xué)管理中的應(yīng)用研究（BEYP5007）

梁棟（1962—），男，天津武清人，中學(xué)特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究．朱鴻玲為本文通訊作者．