劉立漢

摘 要：本文分析了微分中值定理命題結(jié)論只含一個(gè)中值的三種證明題型，總結(jié)了相對(duì)比較實(shí)用的思路及方法，從而為以后相關(guān)的證明提供了一個(gè)明確的方向或技巧.

關(guān)鍵詞：微分中值定理；一個(gè)中值；證明.

【中圖分類號(hào)】O172

微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，包括羅爾（Rolle）定理（見[1]，[2]，[3]，[4]）、拉格朗日（Lagrange）中值定理（見[1]，[2]，[3]，[4]）和柯西（Cauchy）中值定理（見[1]，[2]，[3]，[4]），它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的橋梁，在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)課程中有著廣泛的應(yīng)用.

一、所證命題形如

例1（見[5]，[6]） 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間[0， 3]上連續(xù)，在開區(qū)間（0， 3）內(nèi)可導(dǎo).又 ， ，證明：至少存在一個(gè) ，使得 .

證明 因?yàn)楹瘮?shù) 在閉區(qū)間[0， 3]上連續(xù)，于是由最值定理可知：函數(shù) 在閉區(qū)間[0， 3]上存在最大值 與最小值 ，從而 ，根據(jù)題意 ，于是 ，又由介值定理可知：至少存在一點(diǎn) ，使得 ；又根據(jù)題意 ，于是 ；再由羅爾定理可知：至少存在一個(gè) ，使得 .

例2（見[5]，[6]） 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間[a， b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a， b）內(nèi)二階可導(dǎo)，連接點(diǎn) 的直線與 相交于點(diǎn) ，證明：至少存在一個(gè) ，使得 .

證明 根據(jù)題意函數(shù) 在閉區(qū)間[a， b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a， b）內(nèi)二階可導(dǎo)，于是由拉格朗日中值定理可知：至少存在一個(gè) ，使得 ；又根據(jù)題意 、 、 三點(diǎn)位于同一直線上，于是 ；再根據(jù)題意函數(shù) 在開區(qū)間（a， b）內(nèi)二階可導(dǎo)，由羅爾定理可知：至少存在一個(gè) ，使得 .

二、所證命題中函數(shù)導(dǎo)數(shù)差一階

例3（見[5]，[6]） 若函數(shù) 在閉區(qū)間[0， 1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0， 1）內(nèi)可導(dǎo)， ，證明：至少存在一個(gè) ，使得 .

分析

證明 構(gòu)造函數(shù) ，根據(jù)題意 ，于是 ，由羅爾定理可知：至少存在一個(gè) ，使得 ；又由 ，于是 ，即 .

例4（見[5]，[6]） 若函數(shù) 在閉區(qū)間[0， 1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0， 1）內(nèi)二階可導(dǎo)， ，證明：至少存在一個(gè) ，使得 .

分析

證明 構(gòu)造函數(shù) ，于是 ；又根據(jù)題意 在閉區(qū)間[0， 1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0， 1）內(nèi)二階可導(dǎo)， ，由羅爾定理可知：至少存在一點(diǎn) ，使得 ，即 ，從而 ，再由羅爾定理可知：至少存在一個(gè) ，使得 ，又由 ，于是 ，即 .

三、所證命題中函數(shù)導(dǎo)數(shù)差二階及以上

例5（見[5]，[6]） 若函數(shù) 在閉區(qū)間[0， 1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0， 1）內(nèi)二階可導(dǎo)， ， ，證明：至少存在一個(gè) ，使得 .

證明 根據(jù)題意 在閉區(qū)間[0， 1]上連續(xù)， ， ，由零點(diǎn)定理可知：至少存在一點(diǎn) ，使得 ；先構(gòu)造函數(shù) ，于是 ，由羅爾定理可知：至少存在一個(gè) ，使得 ，又由 ，于是 ；再構(gòu)造函數(shù) ，于是 ，再由羅爾定理可知：至少存在一個(gè) ，使得 ，又由

，即 .

參考文獻(xiàn)

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