俞烽

【摘要】高中數學知識是一個環(huán)環(huán)相扣的整體，每一個知識點之間的內在聯系都非常緊密，一道數學題通常會涉及多個知識點，要想完整地解題，就需要學生要有較強的發(fā)散能力，在有充足的知識儲備的前提下，將各個知識點有機地聯系起來.因此，學生的數學發(fā)散性思維就顯得特別重要了，培養(yǎng)學生的數學發(fā)散能力成為高中數學教學的主要目標之一.本文將從幾個方面來談談如何利用學生的發(fā)散性思維，來學習高中數學，發(fā)揮學生的發(fā)散能力，提高解題能力.

【關鍵詞】高中數學；發(fā)散能力；解題能力；學習方法

受到傳統(tǒng)應試教育思想的影響，部分高中數學教師在日常教學中，過于強調學生應試技巧的訓練，讓學生在固化的模板內反復訓練，而忽略了學生的數學思維的培養(yǎng)，導致學生的思維被局限在一個狹窄的范圍內，缺乏思維發(fā)散能力.學生在題海戰(zhàn)術中，只是每做一題算一題，而沒有捉住知識點之間的聯系和題目與題目之間的聯系.這樣的學習方法，不但浪費大量的時間而且效果也不好.長時間這樣下去，便會降低學生對數學學習的積極性，最終導致數學成績下降.

在素質化教育的今天，培養(yǎng)學生的思維能力成為數學教學的第一目標.在保障學生的數學思維充分發(fā)展的前提下，加強發(fā)散性思維訓練，使學生能捉住題目的內在聯系，達到提高學生解題能力的目標.接下來，筆者將結合自身的教學經驗，總結出四種有效的發(fā)散思維方法，來提高學生的發(fā)散能力和解題能力，供各位同仁參考與借鑒.

一、直接發(fā)散法

直接發(fā)散法是在題目本身提供了足夠多的已知條件的前提下，直接聯系到相對應的數學概念和公式，以此來尋找關系，是比較簡單而直接的發(fā)散思維方法.這一種方法不需要太復雜的邏輯思維，只需要學生掌握基本的數學知識就可以完成.在習題中，用這種方法可以解決基礎類的題目，這一類題目本身比較簡單，教師可以在講解完新知識后，及時用這類題目來鞏固學生的基礎知識.

比如以下的題目：

例1 已知兩集合分別是P={x|x2≤1}，M={a}，則a為何值時，有P∪M=P？

例2 向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3），且a-2b與c共線，求k的取值.

例3 在△ABC中，b=5，∠B=π4，tanA=2，求sinA和a的值.

例題1，由題意可知這是一道與集合有關的問題，可以直接聯系到集合有關的知識.我們可以由P∪M=P推出MP，所以根據集合的知識容易求得a要滿足的條件，即a2≤1，a的取值就很容易算出.

例題2，這是一道向量問題，涉及向量平行的判定知識，由題意可知a-2b=λc，所以我們可以列出方程求出k的取值.

例題3，題目與三角形的三角函數有關，并且求的是長度和正弦值，因此可以發(fā)散到解三角形有關的知識.在解三角形的公式中，主要是正弦定理和余弦定理，以及基本的三角形面積公式.題目中求正弦那么可以確定和正弦定理有關，對于sinA，我們用三角形誘導公式可以求得.

上述三道題，都可以經過簡單的發(fā)散，聯系到相關的知識和公式.這類題型考查的是基礎知識的掌握情況，應該作為學生的基礎訓練，強化學生的直接發(fā)散思維能力.

二、間接發(fā)散法

有些題目的表層含義很模糊，不容易摸透題目的本質，這就需要利用語言的間接發(fā)散能力，通過題目中的文字語言描述或者是圖形語言描述的內容來進行間接的發(fā)散.這類題是考試的難點，需要學生對題目有較深入的理解，對題目進行一定的提煉、轉換、類比等才能解得答案.

比如以下幾題

例4 設y=f（x）的函數周期為2，且存在x∈[-1，1]，f（x）=x2，求函數y=f（x）和y=|lgx|的交點個數.

例5 假設y=f（x）的函數圖像關于直線x=a以及點（b，0）對稱，試證明：原函數的周期是4|a-b|，（a≠b）.

例題4，由題意可知這是一道涉及對數函數的題目，直接用代數方法很難進行計算.此時需要教師引導學生發(fā)揮語言間接發(fā)散能力，將文字語言轉換為圖像語言，畫出坐標軸和函數圖像，利用特殊點找出兩圖像的位置關系，然后進行定性判斷，求出答案，如下圖.

例題5，可以用作圖法證明，但是這樣不夠嚴謹，學生也不會信服.教師要從代數的知識出發(fā)，進行推理，引導學生將文字語言轉換為代數語言，就像看到f（x）關于x=a對稱，就可以轉換為f（x+a）=f（a-x）.此題也需要進行轉換后才能求解，教師應該在日常訓練中注意這方面的訓練.

三、抽象發(fā)散法

當題目中沒有明顯提及相關的知識點，但通過題目條件進行抽象后，可以找出題目內在關系，以此來尋找題目的著手點.這就需要學生發(fā)揮抽象發(fā)散能力，挖掘題目深處的本質，對學生的觀察能力和抽象概括能力要求比較高.這類問題目在考試當中占絕大部分，同時對這類題目的訓練，是學生思維能力提高的關鍵，教師需要重點對這類題目加以輔導，幫助學生突破思維障礙.

比如以下幾題：

例6 當x，y∈[-π4，π4]時，有8x3-lg1-2x1+2x+sin2x=y3-lg1-y1+y+siny，則2x-y的值為多少？

例7 函數f（x）=ax4+bsin3x+cx3+dx+2滿足f（1）=7，f（-1）=9，且f（-2）+f（2）=124，求f（2）+f（-2）.

例題6，從題目的形式上來看也比較難的題目，學生會有種無從下手的感覺.此時，教師要引導學生發(fā)揮抽象發(fā)散能力，對原式進行仔細的觀察，并加以抽象處理，可以聯想到等式左邊是關于2x的表達式，右邊是關于y的表達式，且等式兩邊的表達形式是一樣的.由此我們可以大膽地推出：f（x）=x3-lg1-x1+x+sinx，因此，原式就可以轉換為f（2x）=f（y）的形式.接著由原函數的單調性，可以推算出函數變量和函數值的關系，最后便可解得答案.

例題7，題目中涉及的未知數比較多，但給定的已知條件無法列出相對應的方程來求解，因此，這道題無法通過直接列方程解答.教師應該引導學生重新觀察題目，進行抽象概括，發(fā)揮思維發(fā)散能力，可以聯系到f（1）和f（-1），f（2）和f（-2）具有對稱關系，那么就可以用偶函數的性質，通過整體法代入即可解得.

上述兩題都是比較難的題目，要求學生發(fā)揮一定的觀察能力和抽象能力，在此基礎上進行思維的發(fā)散，還能聯系到對應的知識點，找到解題的切入點.抽象發(fā)散對于解析幾何和三角函數類的題目尤為有效，在日常訓練中需多加練習.

四、綜合發(fā)散法

對于一些綜合性強，涉及知識點多的題目，就需要學生從問題出發(fā)或者從結論出發(fā)，進行逆向的綜合發(fā)散，以此來將已有的知識、已做過的題型、已形成的思路聯系起來解題.

例8 設在實數范圍內，y=f（x）為周期函數，T=5，在x∈[-1，1]內，y=f（x）是奇函數，在[0，1]內是一次函數，在[1，4]內是二次函數，在x=2時有最小值-5.

（1）證明：f（1）+f（4）=0；（2）求f（x）在[1，4]的解析式；

（3）求f（x）在[4，9]的解析式.

對于這題，信息量比較大，需要學生往幾個方面發(fā)散思維：

方向一：由周期為5，可得f（x+5）=f（x），由奇函數，可得f（-x）=f（x）.

方向二：由函數的形式求解析式，可確定的是用常用的二次函數求法.

方向三：要求[4，9]的函數解析式，可以通過周期轉化為求[-1，4]的解析式.

從這三個方向出發(fā)便可以解得此題.對這類題目，只要在清楚審題的基礎上，進行綜合發(fā)散，聯系到相關知識，便可以迎刃而解.平時訓練中，要多加歸納總結題目規(guī)律，做到以不變應萬變.

總的來說，數學發(fā)散能力在一定程度上決定了學生的解題能力，提高學生的發(fā)散能力，能幫助學生提高解題能力，達到事半功倍的效果，提高學生的學習信心和動力.上述四種思維發(fā)散方法，只是冰山一角，作為數學教師，還需在教學中不斷研發(fā)新的方法和思想，來幫助學生克服困難，不斷提高思維的發(fā)散性，保證學習效率，提高數學成績.

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