王曙輝

摘 要：在課堂教學(xué)中，合理利用“錯誤”，將其變“廢”為“寶”，成為學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的重要資源，其意義深刻。

關(guān)鍵詞：錯誤；解題能力；合作探究；師德

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）19-091-2

一、暴露學(xué)生的知識弱點(diǎn)，指明教學(xué)方向

犯錯誤是學(xué)習(xí)過程中自然存在的一種現(xiàn)象。在教學(xué)中企圖讓學(xué)生完全避免錯誤是不可能的，也是沒有必要的。事實(shí)上，一方面可以充分暴露學(xué)生知識點(diǎn)薄弱環(huán)節(jié)，可以對癥下藥；另一方面，有時錯誤比正確更有教學(xué)價值，更重要的是學(xué)生的錯誤可以讓教師的教學(xué)方向更明確。

案例1：已知雙曲線右準(zhǔn)線為x=4，右焦點(diǎn)F（10，0），離心率e=2，求雙曲線方程。

（請兩位同學(xué)上黑板解答，其他同學(xué)在下面做，教師要留意下面同學(xué)做的情況）

學(xué)生1 ∵x=a2c=4，c=10，∴a2=40，∴b2=c2-a2=60。

故所求的雙曲線方程為x240-y260=1。

學(xué)生2 由焦點(diǎn)F（10，0）知c=10，∵e=ca=2，∴a=5，b2=c2-a2=75。

故所求的雙曲線方程為x225-y275=1。

毫無疑問，這兩個解法都是錯誤的，兩位同學(xué)都誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心在原點(diǎn)這個條件（班上有近一半人都這樣認(rèn)為的）。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。這里充分暴露了同學(xué)們在學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)時，沒能從真正意義上體會和感受教師所講解的數(shù)學(xué)概念和相關(guān)的知識點(diǎn)。鑒于此，我覺得數(shù)學(xué)教師在備課時一定要把主要的精力放在如何講透概念上，課堂上重點(diǎn)是讓學(xué)生真正懂得數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。有時學(xué)生的錯誤更是一種真實(shí)的、有價值的課程資源，通過學(xué)生的錯誤，教師可以及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生所學(xué)知識的不足，發(fā)現(xiàn)他們思維中的困惑。針對作業(yè)中生成的這些錯誤，需要教師把錯誤當(dāng)成教學(xué)的有效資源，善于適時放大有利用價值的錯誤資源，透過錯誤的分析使學(xué)生找到錯因，弄清道理，吸取教訓(xùn)。幫助學(xué)生及時解除思維中的困惑，突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，從而更扎實(shí)有效地掌握新知。

二、分析錯誤的原因，提高數(shù)學(xué)解題能力

數(shù)學(xué)解題的思維過程是數(shù)學(xué)問題的變換過程；數(shù)學(xué)問題的推廣、引申和應(yīng)用過程是新的數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)和解決的過程，也是數(shù)學(xué)思維深化過程和數(shù)學(xué)知識發(fā)展的過程。在教學(xué)中，學(xué)生常常會犯這樣或那樣的錯誤，如果教師在平時的教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤的原因，注意收集錯題及解決的方法，避免以后的學(xué)習(xí)中再犯同樣的錯誤。

案例2：雙曲線x29-y216=1上有一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為165，則P到右焦點(diǎn)的距離為 。

學(xué)生錯解：設(shè)F1、F2分別為由雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則由雙曲線的方程為x29-y216=1，易求得a=3，c=5，從而離心率e=53，再由第二定義，易求|PF1|=ed1=53×165=163，于是又由第一定義||PF2|-|PF1||=2a=6，得|PF2|=6±163。

事實(shí)上P若在右支上，則其到F1的最短距離應(yīng)為右頂點(diǎn)A2到F1的距離|A2F1|=a+c=8，而163<8，故點(diǎn)P只能在左支，于是|PF2|=6+163=343。一般地，若|PF1|≥a+c，則P可能在兩支上，若|PF1|

三、解決錯誤，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣

興趣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最好的老師，作為數(shù)學(xué)教師最重要的是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。當(dāng)學(xué)生學(xué)完知識，應(yīng)用自己掌握的知識解決問題、找出錯誤時，學(xué)生就會產(chǎn)生了強(qiáng)烈的糾錯感。同時在解決問題、尋找到錯誤的過程中讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)的成就感，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈興趣。

案例3：求與y軸相切于右側(cè)，并與⊙C：x2+y2-6x=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。

學(xué)生錯解：已知⊙C的方程為（x-3）2+y2=9。設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x>0）為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且⊙P與y軸相切于M點(diǎn)，與⊙C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得

|CP|=|PM|+3，即（x-3）2+y2=x+3，化簡得y2=12x（x>0）。

教師：本題只考慮了所求軌跡的充分性，而沒有考慮所求軌跡的必要性。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。

學(xué)生：還有一部分忽視了。

教師：我們還請剛才那位同學(xué)上黑板解決，其他同學(xué)在下面完成。

（學(xué)生在黑板上給出下面的部分）

從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以x軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以y=0（x>0且x≠3）也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是y2=12x（x>0）和y=0（x>0且x≠3）。（其他同學(xué)也相繼完成）

對于補(bǔ)充的這一部分，我給予了充分的肯定。我看到這位同學(xué)臉上露出了微笑，我相信學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、然后自己解決問題的過程中一定能體驗(yàn)收獲，從而興趣倍增。

四、充分利用錯誤，培養(yǎng)學(xué)生的自信心

我們說，錯誤是不可避免的，為此，我們必須正視錯誤的出現(xiàn)，更要尊重出錯的學(xué)生，幫其樹立自信心，不應(yīng)對學(xué)生鄙視。應(yīng)感謝這些為我們提供“錯誤”這一寶貴資源的學(xué)生，發(fā)揮“錯誤”潛能，發(fā)揮錯誤的價值。

案例4：1）若方程x2m+y2=1表示橢圓，則m的范圍是 。（0，1）∪（1，+∞）（漏解）

2）已知橢圓x2m+y2=1的離心率為32，則m的值為 。4或14（漏解）

3）橢圓的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓短軸的一個頂點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)F1、F2組成的三角形的周長為4+23且∠F1BF2=2π3，則橢圓的方程是 。x24+y2=1或x2+y24=1（漏解）

以上都是同學(xué)們練習(xí)時易出現(xiàn)漏解的題目，面對同學(xué)們犯的錯誤，盡管題目不難，可我沒有對犯錯誤的學(xué)生給予批評和指責(zé)，更沒有對此表現(xiàn)出失望。相反，我鼓勵做錯的同學(xué)重新做一遍，對于第二次做對的學(xué)生，我還是給予了肯定。從而大大增強(qiáng)他們的自信心，讓他們知道只要自己多注意，就一定能做得很好。我們應(yīng)善加利用“錯誤”，巧妙地運(yùn)用這一教育資源，為學(xué)生的全面發(fā)展服務(wù)。

五、利用好錯誤，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的能力

“當(dāng)局者迷，旁觀者清?！睂τ趯W(xué)生個人學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的各種各樣的錯誤，學(xué)生本人往往比較難于發(fā)現(xiàn)，許多時候需要靠合作學(xué)習(xí)來發(fā)現(xiàn)、分析、共同探討解決。

案例5：如圖，具有公共y軸的兩個直角坐標(biāo)平面α和β所成的二面角α-y軸-β等于60°。已知β內(nèi)的曲線C′的方程是y2=2px′（p>0），求曲線C′在α內(nèi)的射影的曲線方程。

（學(xué)生板書）

學(xué)生1：依題意，可知曲線C′是拋物線，

在β內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F′（p2，0），p>0。

因?yàn)槎娼铅?y軸-β等于60°，

且x′軸⊥y軸，x軸⊥y軸，所以∠xox′=60°。

設(shè)焦點(diǎn)F′在α內(nèi)的射影是F（x，y），那么，F(xiàn)位于x軸上，

從而y=0，∠F′OF=60°，∠F′FO=90°，

所以O(shè)F=OF′·cos60°=p2·12=p4。所以點(diǎn)F（p4，0）是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。所以曲線C′在α內(nèi)的射影的曲線方程是y2=px。

（同學(xué)爭議……）

此時，做錯的同學(xué)一臉無奈，不知道自己哪里錯了。我有目地引導(dǎo)同學(xué)們相互之間進(jìn)行合作探討，尋求正確的解法。（此時同學(xué)們討論開來了……）

教師：下面我請一位同學(xué)回答。

學(xué)生2：上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為F是射影（曲線）的焦點(diǎn)，其次，沒有證明默認(rèn)C′在α內(nèi)的射影（曲線）是一條拋物線。

學(xué)生3：應(yīng)該重點(diǎn)尋找原曲線上的任意點(diǎn)和射影曲線上的任意點(diǎn)之間的關(guān)系，利用原曲線的方程得出射影曲線的方程。（詳細(xì)解答略）

此時，教師應(yīng)充分發(fā)揚(yáng)民主，不急于點(diǎn)評錯誤，給學(xué)生辯駁“錯誤”的機(jī)會與空間，引導(dǎo)學(xué)生自己去分析產(chǎn)生錯誤的原因，體驗(yàn)尋求糾正錯誤的過程，進(jìn)而讓學(xué)生否定自己的錯誤。這樣比教師權(quán)威性的、灌輸性的正面點(diǎn)評，效果要好，學(xué)生從心理上更容易接受，學(xué)生主體性地位才能得以充分地體現(xiàn)出來，這對培養(yǎng)同學(xué)們相互合作也是大有裨益的。