王琪芬

【摘要】高考題是既源于教材，又注重能力，處處體現(xiàn)創(chuàng)新。所以在平常的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，關(guān)鍵要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)方法，注重理解，才能提升能力，有所創(chuàng)新，以不變應(yīng)萬(wàn)變。而不要盲目背題型，套模式，做題目。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列求和 裂項(xiàng)法 分式數(shù)列 等比數(shù)列 等差數(shù)列

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（A版）必修5第47頁(yè)，習(xí)題2.3 B組第4題：數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和 。研究一下，能否找到求 的一個(gè)公式，你能對(duì)這個(gè)問(wèn)題作一些推廣嗎？

顯然，我們不妨把數(shù)列{ }叫分式數(shù)列，其求和方法為“裂項(xiàng)法”。即因?yàn)?= ，所以

= = = 。

推廣：一般地，形如分式結(jié)構(gòu)的數(shù)列求和問(wèn)題，可考慮用“裂項(xiàng)法”使數(shù)列裂項(xiàng)后能前后相消達(dá)到求和的目的。

2014年高考數(shù)學(xué)試卷中，有關(guān)數(shù)列求和問(wèn)題，有的和分式數(shù)列求和有關(guān)，但又不是簡(jiǎn)單的課本上所講的裂項(xiàng)，他需要我們根據(jù)題目的特征進(jìn)行分析，整理，構(gòu)造。真正體現(xiàn)出高考出題的“源于課本，重在能力，體現(xiàn)創(chuàng)新”的精神，確實(shí)需要我們?cè)诮虒W(xué)和學(xué)習(xí)中去體會(huì)。

例1. （2014大綱卷理18） 等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，已知 ， 為整數(shù)，且 .（1）求 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 .

解：（1）因?yàn)?，所以 ，得到 ，又因?yàn)?為整數(shù)，所以 ，所以 。

（2）因?yàn)?= = 。所以 =

= 。

[評(píng)析]：本題（2）與課本題是同一類題型，關(guān)鍵是裂項(xiàng)時(shí)要注意等價(jià)變形。

例2.（2014新課標(biāo)卷理17）已知數(shù)列 滿足 =1， .

（Ⅰ）證明 是等比數(shù)列，并求 的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明： .

（Ⅰ）證明：由 得 ，所以 ，所以 是等比數(shù)列，首項(xiàng)為 ，公比為3，所以 ，解得 。

⑵ 因?yàn)?，所以

。

所以 +

.

[評(píng)析]：本題（2）從形式上看是不等式的證明，進(jìn)一步分析確是分式數(shù)列求和，但這個(gè)分式數(shù)列通頂公式的分母中只含一項(xiàng)，按常規(guī)不能用裂項(xiàng)法，要用裂項(xiàng)法就要再構(gòu)造一相鄰項(xiàng)從而達(dá)到裂項(xiàng)目的。由此可看出出題人的良苦用心。

例3.（2014山東卷理19）已知等差數(shù)列 的公差為2，前 項(xiàng)和為 ，且 成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令 ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .

解：（I）∵

解得

（II） ，

[評(píng)析]：本題（2）中雖然是分式數(shù)列，但按常規(guī)，通項(xiàng)裂成相減的兩項(xiàng)顯然不能達(dá)到要求，而恰恰相反它能裂成相加的兩項(xiàng)，此時(shí)注意到前面的符號(hào)關(guān)系，馬上就能達(dá)到要求。

綜上所述，高考題是既源于教材，又注重能力，處處體現(xiàn)創(chuàng)新。所以在今后的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，關(guān)鍵要學(xué)習(xí)方法，注重理解，才能提升能力，有所創(chuàng)新，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

【參考書目】

2014高考試題。