仇春林

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，能反映客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，涉及代數(shù)式、方程、不等式、幾何等諸多領(lǐng)域. 但由于函數(shù)的復(fù)雜性，一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往力不從心，大批掉隊(duì)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“絆腳石”. 我們數(shù)學(xué)教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，積極開展函數(shù)教學(xué)實(shí)踐探究，提高數(shù)學(xué)成效.

一、初中生函數(shù)學(xué)習(xí)困難的認(rèn)知分析

1. 概念理解困難

學(xué)生局限于代數(shù)式、方程等慣性思維，習(xí)慣于靜態(tài)的、單一的數(shù)學(xué)知識(shí)，而對(duì)“對(duì)應(yīng)”、“變量”等具有動(dòng)態(tài)意義的詞匯感到生疏，易造成理解上的困難. 教師應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，以代數(shù)之“數(shù)”與幾何之“形”有機(jī)結(jié)合起來，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生理解函數(shù)關(guān)系.

2. 思維發(fā)展特點(diǎn)

由于初中生正由具體形象思維過渡到抽象邏輯思維，在函數(shù)中由靜止到運(yùn)動(dòng)、由割裂到融合的轉(zhuǎn)化，使本不成熟的抽象思維能力面臨“窘境”，造成函數(shù)學(xué)習(xí)障礙.

二、初中函數(shù)教學(xué)的有效策略

1. 函數(shù)概念教學(xué)策略

（1）有效引入，為生活與函數(shù)之間搭建橋梁. 教師要充分挖掘素材，創(chuàng)設(shè)具有生活性、知識(shí)性的情境，如選取與我們息息相關(guān)的水電費(fèi)、身高、股票走勢(shì)圖等內(nèi)容，這些不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有利于滲透數(shù)學(xué)思想方法. 如在“二次函數(shù)”教學(xué)中，教者創(chuàng)設(shè)情境如下：“某果園有100棵蘋果，每一棵樹平均結(jié)600個(gè)蘋果，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些蘋果樹以提高產(chǎn)量，但若多種樹勢(shì)必會(huì)造成樹與樹之間的間距縮小，使每棵樹少結(jié)5個(gè)蘋果樹. 問：① 如果園增種x棵蘋果，那么果園里共有多少棵蘋果？這時(shí)平均每棵樹結(jié)多少個(gè)蘋果？② 如果園蘋果的總產(chǎn)量為y（個(gè)），那么請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式. ”學(xué)生不難求出y = -5x2 + 100x + 60000. 教師適時(shí)指出，這種形如y = ax2 + bx + c（a，b，c是常數(shù)，a ≠ 0）的函數(shù)叫做x的二次函數(shù). （2）巧妙設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 教師要通過相關(guān)函數(shù)的知識(shí)提出具有懸疑性的問題，如提出“如何推測(cè)地球的年齡？”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，產(chǎn)生探究的熱情. （3）在舊知基礎(chǔ)上的建構(gòu)新知. 二次函數(shù)的概念教學(xué)可與一次函數(shù)、反比例聯(lián)系起來，也可以與一元二次方程聯(lián)系起來，讓學(xué)生在原有概念的基礎(chǔ)上接受函數(shù)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從常量到變量、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，有助于深入理解二次函數(shù)的概念.

（2）理解函數(shù)不同的表示形式. 函數(shù)的表示方法眾多，除列表法、圖像法、解析式三種表示方法外，還有自然語言表示、箭頭法等. 從解析式法到列表法只須經(jīng)過計(jì)算就可完成，是一個(gè)從一般到特殊的過程. 從解析式法到圖像法須經(jīng)過描點(diǎn)畫出圖像，是一個(gè)由數(shù)到形的蛻變過程. 而從列表法到解析法，類似于學(xué)生接觸的“找規(guī)律”. 如：受暴雨的影響，某水庫(kù)的水位在最近幾小時(shí)內(nèi)持續(xù)升高，下表記錄了近4個(gè)小時(shí)的水位高度，請(qǐng)由此推測(cè)出水位高度h（米）隨時(shí)間t（小時(shí)）變化的函數(shù)解析式，并預(yù)測(cè)3小時(shí)后的水位變化.

由上表可知，時(shí)間t對(duì)應(yīng)了每一個(gè)水位高度h，滿足函數(shù)的定義，所以h是t的函數(shù). 根據(jù)t和h的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不難表示出函數(shù)為：h = 0.08t + 12.5（0 ≤ t ≤ 3）.

2. 函數(shù)圖像的教學(xué)策略

（1）識(shí)別函數(shù)圖像. 一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中變量之間的變化規(guī)律一目了然，其圖像也較為典型，分別為直線、拋物線和雙曲線，但在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)圖像往往并不具有代表性. 教師要引導(dǎo)學(xué)生獲取主要信息，讓圖形“發(fā)言”，理解函數(shù)的變化過程. ① 識(shí)別分段函數(shù). 在分段函數(shù)中，對(duì)于自變量不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則. 如某自來水公司為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采用了按月用水量分段計(jì)費(fèi)的辦法，某戶居民交水費(fèi)y（元）與用水量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示. 請(qǐng)分別寫出當(dāng)0 ≤ x ≤ 15與x ≥ 15時(shí)的函數(shù)關(guān)系式. 若某戶該月用水25噸，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？

分析：由圖所知，用15噸水花費(fèi)27元，用20噸水花費(fèi)39.5元，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求出y1 = 1.8x（0 ≤ x ≤ 15），y2 = 2.5x - 10.5（x ≥15）.

② 比較型圖像. 通過捕捉圖像中的信息，識(shí)別圖像，解決實(shí)際問題. 如A、B兩地相距4千米，上午7點(diǎn)整甲從A地步行到B地，7：20乙從B地騎自行車到A點(diǎn)，甲乙兩人離A點(diǎn)的距離（千米）與甲所用時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，求乙到達(dá)A地的時(shí)間.

分析：由兩直線相交可知，在2公里處相遇，甲用去了0.5小時(shí)，可推算出乙的時(shí)間，根據(jù)乙所用的時(shí)間，求出乙的速度為12千米/時(shí)，因而乙走完全程需要20分鐘. 所以乙到達(dá)A地的時(shí)間為7：40.

（2）函數(shù)圖像的基本變換. ①平移變換. 函數(shù)的平移可抓住基本點(diǎn)，如一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的頂點(diǎn)，就能以不變應(yīng)萬變. 如求將二次函數(shù)y = x2 - 2x + 3向上平移2個(gè)單位、向右平移1個(gè)單位的函數(shù)解析式.

分析：先將此函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式：y=（x - 1）2 + 2，向上平移2個(gè)單位、向右平移1個(gè)單位可得到新的解析式為y = （x - 1 - 1）2 + 2 + 2，即y = x2 - 4x + 8.

②函數(shù)的對(duì)稱變換. 對(duì)稱變換宜以點(diǎn)來闡述變換規(guī)律，即點(diǎn)p（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為p1（x，-y），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為p2（-x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為p3（-x，-y）. 如求與函數(shù)y = x2 + x - 2圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖像的解析式.

分析：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都須變號(hào)，即-y = （-x）2 + （-x） - 2，即為y = -x2 + x + 2.

總之，函數(shù)反映事物之間的動(dòng)態(tài)變化關(guān)系，我們不能孤立地看待函數(shù)問題，要據(jù)其規(guī)律，加強(qiáng)與生活的聯(lián)系，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，讓其感受函數(shù)在生活中的應(yīng)用價(jià)值.