魯翠仙

【摘要】在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的同時掌握繼續(xù)學(xué)習(xí)的方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、可持續(xù)發(fā)展能力、終身學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造力，使他們受益終身，本文給出在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想方法.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);教學(xué);數(shù)學(xué)思想方法;滲透

【基金項目】本文系2013年校級科研課題“臨滄師專高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革與實踐探討”的階段性成果

一、數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想、方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是開啟數(shù)學(xué)知識寶庫的金鑰匙，是層出不窮的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉.可以說數(shù)學(xué)的發(fā)展史是一部生動的數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，它深刻的告訴我們：數(shù)學(xué)思想、方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，它為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題提供了指導(dǎo)方針和解題策略.

二、《高等數(shù)學(xué)》課程中的若干思想方法

1.抽象性的思想方法

從具體到抽象是高等數(shù)學(xué)發(fā)展的一個重要思想之一，具體的實例是抽象思維的源泉，高等數(shù)學(xué)中的級數(shù)、多元微積分、隱函數(shù)、反常積分與含參變量的積分、重積分等都是比較具體的，但其中很多概念還是比較抽象的，比如我們要解決何謂瞬時速度及怎樣求出瞬時速度這兩個問題，先引出：V=limΔt→0ΔSΔt，其次我們引出了導(dǎo)數(shù)的定義式f′（x）=limΔx→0fx+Δx-f（x）Δx，從這些具體的對象出發(fā)形成了一般的對象.通過對高等數(shù)學(xué)中概念抽象思維方法的學(xué)習(xí)和掌握，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，也正是學(xué)科的嚴謹抽象性，才客觀、正確、深刻地反映事物的本質(zhì)和自然屬性，學(xué)生只有熟悉、接受和深刻理解這種抽象，他們的思維才會發(fā)展起來，實際問題才能得到解決.

2.辯證思維的思想方法

世界是遵循不以人們意志轉(zhuǎn)移的辯證規(guī)律發(fā)展變化的，數(shù)學(xué)又是關(guān)于現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因此它必然充滿辯證的思想.在高等數(shù)學(xué)課程中將教材與辯證的思想方法有機結(jié)合，無疑大大的提高了教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的素質(zhì).有限可以窮盡，無限是由無數(shù)個有限構(gòu)成，無限不可窮盡，無限只有通過有限來存在，在高等院校高等數(shù)學(xué)中凡與無限相關(guān)的概念，都是有限與無限對立統(tǒng)一的反映，要認清其中的概念及其本質(zhì).另一方面數(shù)分中常量與變量，為了計算定積分，首先引進變上限的定積分∫mnf（x）dx是f（x）的一個原函數(shù)（即把轉(zhuǎn)化變量）然后用它的一個原函數(shù)在點n，m處值的差計算，這個過程也就是常量與變量的辯證關(guān)系.

3.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法

將難以解決的問題及未知的解法，通過類比、觀察分析、聯(lián)想等思維的過程，選擇應(yīng)用恰當?shù)臄?shù)學(xué)方法進行變換、化歸為已知知識范圍內(nèi)易解決或者已經(jīng)解決的思想叫做轉(zhuǎn)化與化歸的思想，它是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法.函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)，待定系數(shù)法、分析法等都是轉(zhuǎn)化的手段，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀、具體的問題，將難解和不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或熟悉的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的解決方法，將一般轉(zhuǎn)化為直觀特殊的問題，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單的問題，都是轉(zhuǎn)化與化歸原則.在講授定積分在幾何上的應(yīng)用時，我們應(yīng)該始終抓住分割、取近似、求和、取極限這四個步驟，將這些物理量和幾何量轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)在某個區(qū)間上的和式極限，通過計算積分值得到所求的量.

4.公理化的思想方法

數(shù)學(xué)理論體系當中，盡可能少地選取不加證明的公理和原始概念，以此為出發(fā)點，利用邏輯的推理法則，在此基礎(chǔ)上建立成一個演繹系統(tǒng)的方法，就是公理化方法.在數(shù)學(xué)史上，利用公理化的思想對公理化系統(tǒng)進行邏輯的推理、演繹以及進一步的抽象概括，實現(xiàn)對公理化系統(tǒng)進行改造，使其完備化，高等數(shù)學(xué)的理論系統(tǒng)就是建立在公理基礎(chǔ)上的邏輯演繹的科學(xué)理論體系.公理化的思想方法具有總結(jié)、分析知識的作用，可以把零散的數(shù)學(xué)知識用邏輯鏈串聯(lián)起來，使之完整，讓人易掌握，更便于應(yīng)用，在教學(xué)中加強公理化思想方法的教育，培養(yǎng)了學(xué)生的求實精神，并激發(fā)他們對簡潔美、抽象美以及統(tǒng)一美的追求.

5.數(shù)學(xué)建模的思想方法

數(shù)學(xué)建模如果一定要下一個定義的話，可以說它是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是“對現(xiàn)實的現(xiàn)象通過心智活動構(gòu)造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化或符號的表示”，從科學(xué)、工程、經(jīng)濟、管理等角度看數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)工具.數(shù)學(xué)應(yīng)用題就是最簡單一類數(shù)學(xué)建模問題，涉及了數(shù)學(xué)建模思想方法的一般過程，而高等數(shù)學(xué)課程的各個章節(jié)的理論學(xué)習(xí)之后，都有一些實際應(yīng)用題，我們要引導(dǎo)學(xué)生加以分析，解決實際問題.這樣既讓我們的學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的方法步驟，也能體會到數(shù)學(xué)在解決實際問題中的重要作用，同時貫徹了理論中與實際問題相結(jié)合的原則并培養(yǎng)提高了學(xué)生分析和解決問題的能力.

6.數(shù)學(xué)語言和符號的思想方法

高等數(shù)學(xué)由于其學(xué)科的特殊性，使它具有含義精準、詞語豐富、邏輯嚴謹?shù)恼Z言符號.數(shù)學(xué)的語言和符號為科學(xué)研究提供了精準簡潔的形式化語言，每一種數(shù)學(xué)思想和方法都是數(shù)學(xué)家經(jīng)過數(shù)學(xué)或其他學(xué)科的具體問題抽象概括為“純粹”的數(shù)學(xué)語言符號，借助于已知數(shù)學(xué)知識和方法進行分析、運算和推導(dǎo)，獲得重要的啟迪和認識，然后再將這些結(jié)果返回到數(shù)學(xué)的相關(guān)問題中，比如《高等數(shù)學(xué)》中的二重積分、定積分、導(dǎo)數(shù)等等就是把曲頂柱體的體積以及物理學(xué)中的非勻速直線運動，變力所做的功，幾何學(xué)中曲邊梯形的面積，平面曲線切線的斜率這些“純粹”的數(shù)學(xué)語言和符號，通過各種數(shù)學(xué)的量，量的關(guān)系以及變化之間進行一系列的推導(dǎo)演算，獲得的一些重要的結(jié)果.也正是由于其抽象概括和分析，推導(dǎo)的過程中沒有客觀事物的任何本質(zhì)屬性，所得的結(jié)果適用于一切具有共同前提的所有問題中，它不僅簡明扼要，而且表達的內(nèi)容深刻，是其他任何語言都無法取代的，在教學(xué)過程中，學(xué)生要深刻理解，并懂得數(shù)學(xué)語言并學(xué)會把問題用數(shù)學(xué)的語言和符號表達出來，然后再求解.

7.有限到無限的思想方法

高等數(shù)學(xué)課程中數(shù)列的極限集中體現(xiàn)了有限與無限的思想，在引出這一概念時，數(shù)學(xué)家劉徽利用了割圓術(shù)，而劉徽則說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，他們使用了極限的思想方法來解決了數(shù)學(xué)中的問題.定積分的概念也是通過不規(guī)則曲邊梯形的面積引入的，在此過程中，我們利用了對曲邊梯形的面積的形象思維，從中抽象出每一個小曲邊梯形的面積可以通過矩形面積近似計算，從而推廣到無限個的情況，從中我們深刻體會到“無限細分，無限求和”這一數(shù)學(xué)思想.只有這些數(shù)學(xué)思想的滲透，學(xué)生才能深刻地對數(shù)學(xué)有更深層次的認識，才有在學(xué)習(xí)二重積分，三重積分時的迎刃而解，而且以后雖然用不到這些具體的數(shù)學(xué)知識，但這種數(shù)學(xué)的思想方法仍會根深蒂固，指導(dǎo)了學(xué)生思考其他的學(xué)科問題，同時讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)美.

8.換元的思想方法

所謂換元思想即是把某些代數(shù)式看成一個新的未知數(shù)來實現(xiàn)變量的替換，其本質(zhì)也就是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，通過轉(zhuǎn)化能夠?qū)崿F(xiàn)化難為易，化繁為簡，化陌生為熟悉.

例 計算以圓域D：x2+y2≤a2為底，D上的曲面是z=e-x2+y2的曲頂柱體的體積.

分析 本題如果直接在直角坐標系下化為累次積分計算，就不能用積分的基本公式積出，所以必須另辟蹊徑，采用換元思想求解.

解 已知曲柱體的體積v=De-x2+y2，

在直角坐標系下，D={（x，y）x2+y2≤a2}，設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ;它將圓域D：x2+y2≤a2變換為D0≤r≤a，0≤φ≤2π

在極坐標系下;D={（x，y）|0≤r≤1，0≤θ≤2π};且（x，y）rφ=r

由公式可得：

v=De-x2+y2dxdy=De-r2rdrdφ=∫2π0dφ∫a0e-r2rdr=2π-12e-r2a0=π1-e-a2.

9.極限的思想方法

所謂的極限思想就是用極限的概念來分析和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想，如圓是曲邊形，它的內(nèi)接正多邊形是直邊行，二者有著本質(zhì)的區(qū)別，但這個區(qū)別又不是絕對的，在一定條件下，圓的內(nèi)接多邊形能夠轉(zhuǎn)化為該圓周，這個條件就是“當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時”， 即注意“無限”二字，因此在無限的過程中直邊行轉(zhuǎn)化曲邊形，即在無限的過程中，由曲邊形的周長數(shù)列得到了該圓的曲邊周長，這就是極限的思想和方法在定義圓周長上的應(yīng)用.《高等數(shù)學(xué)》就是以極限概念為基礎(chǔ)，極限的理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科.初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)有著本質(zhì)的區(qū)別也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)方法的改變，而這種改變也就是引入了極限的思想，把原本“靜止”的東西轉(zhuǎn)化為“運動”的知識，這樣思考問題解決問題的方法沒有變，但數(shù)學(xué)的思想方法已經(jīng)變化了.

10.導(dǎo)數(shù)的思想方法

導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)的核心概念之一，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，把它運用于求變速運動的瞬時速度及求曲線上某一點處的切線得斜率，兩類問題都可以歸結(jié)為變量變化的快慢程度.牛頓和萊布尼茲分別從兩個問題出發(fā)，給出了導(dǎo)數(shù)的概念以及用導(dǎo)數(shù)的運算處理函數(shù)性質(zhì)的一般性，把運算引用于導(dǎo)數(shù)，可使我們擴展知識，感悟數(shù)學(xué)，而且這些方法是全面研究微積分的重要方法和理論工具，它應(yīng)用于生活的各個領(lǐng)域.

11.數(shù)形結(jié)合的思想方法

著名數(shù)學(xué)家拉格朗日指出：“只要代數(shù)和幾何分道揚鑣，他們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善.”數(shù)和形作為數(shù)學(xué)的兩個基本對象，是現(xiàn)實世界的數(shù)量與空間形式的反映，在解析幾何學(xué)中二者達到了有機的統(tǒng)一.這種統(tǒng)一曾為微積分、近世代數(shù)、泛函分析等學(xué)科提供了必要的工具.在《高等數(shù)學(xué)》中，要有意識地賦抽象概念以直觀的“形態(tài)”與現(xiàn)實背景，注重形象思維的訓(xùn)練，強調(diào)數(shù)的本質(zhì)與形的直觀相結(jié)合，對有明顯幾何意義的概念，一定要結(jié)合圖形講解，使學(xué)生易接受，記憶深刻，靈活自如的運用，如在講解函數(shù)極值時，要引導(dǎo)學(xué)生想象平面的曲線，三維空間曲面上的點，利用多媒體技術(shù)將數(shù)學(xué)語言、符號、圖形、動畫及視頻有機結(jié)合，增強學(xué)生的直觀性，生動性和創(chuàng)造性.

12.對稱性的思想方法

《高等數(shù)學(xué)》以它簡潔的思維、嚴謹?shù)恼撌鲆约胺柣募寄芗记?、形式的對稱等給人以美學(xué)的感受，其中的“對稱”在幾何圖形中，有點的對稱，線的對稱以及面對稱等，規(guī)則的球面，則即是關(guān)于點的對稱，又是關(guān)于線的對稱，還關(guān)于面的對稱，所以，它顯得更美，點、線、面的這種幾何對稱性，給我們以美的感受，更重要的是這種幾何對稱性體現(xiàn)在函數(shù)中的“變量”的某種對稱，對論證以及計算將帶來更大的方便，利用奇偶性作圖，函數(shù)的奇偶性與區(qū)域?qū)ΨQ性來計算各種積分，利用函數(shù)的對稱性來求導(dǎo)數(shù)，《高等數(shù)學(xué)》中的另一種形式的對稱.運算符號的對稱性與運算法則的對稱性，這種形式的對稱，不僅帶來了計算的方便，且給人以思維的啟迪，使我們產(chǎn)生聯(lián)想，促進我們創(chuàng)造性思維的發(fā)展.

13.算法化的思想方法

算法化的思想是指把同類問題的解決方法整理成可機械化操作的有序解題步驟，對于高等師范生滲透算法化的思想有很重要的意義，算法化的思想廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實世界中的各個方面，提高了人們的生活質(zhì)量以及各個行業(yè)的生產(chǎn)效率.其次算法化的思想解題方法要求操作者嚴格執(zhí)行每一個步驟，最終得到答案，訓(xùn)練了學(xué)生的一絲不茍的認真精神.

三、結(jié)束語

高師院校的數(shù)學(xué)教育教學(xué)的過程中要加強對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透，不僅有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識的探索，學(xué)習(xí)，追求的興趣，也有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，學(xué)習(xí)能力，分析能力與創(chuàng)新能力的綜合素質(zhì)，且對提高學(xué)生的就業(yè)競爭力，也為日后的終身學(xué)習(xí)做長遠的發(fā)展夯實基礎(chǔ).

【參考文獻】

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