周爽

【摘要】本文從一道考研題出發(fā)，討論了反例在微積分教學中的必要性，并舉例說明.

【關鍵詞】研究生入學考試；極限；微積分；反例

本研究受中南財經(jīng)政法大學校級教學研究項目（項目代碼：21122911208）資助.

無窮級數(shù)一直是微積分中比較難學的一部分內(nèi)容，學生在碰到這類問題時常常感到無從下手，而在2014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）中就有這樣一道關于級數(shù)的解答題：

本文作者在批閱試卷的過程中，發(fā)現(xiàn)該題的得分率普遍偏低，而（1）的得分率又遠遠低于（2）.下面我們首先來看一下（1）的一些常見解法，再來分析下考生出錯的原因.

從上面列出的四種做法中，我們可以看到這道題的第一問實則是在求數(shù)列的極限，極限貫穿微積分的始終，相對熟悉、熟練些，所以考生在考試時不要被表象迷惑，應靜下心來思考分析，尋找解題方法.下面我們重點來討論下在考卷中最常用的解法4，實際上這恰恰是一種錯誤的解法，其他三種都是正確的.為什么說解法4是錯的呢？很多學生在學習微積分時常常會有這樣一個誤解：如果能求出一個函數(shù)或數(shù)列的極限，那么就說明此函數(shù)或數(shù)列存在極限，而且求出的這個數(shù)就是極限.看看此例：對數(shù)列un，首項為2，遞推公式為un+1=u2n.顯然這個數(shù)列是不存在極限的.但是學生常會求“極限”：假設該數(shù)列極限為A，則A必須滿足遞推公式：A=A2，解出A=0 或 1.這里，0，1都不可能是極限.之所以會得到這種結(jié)果，原因就在于這個數(shù)列的極限雖然不存在，但通項逐漸趨于無窮大，對無窮大而言，是不能用A=A2求的.即使你還能證明某個數(shù)列是有界的，用上述求所謂極限的辦法求出來的數(shù)也可能不是此數(shù)列的極限.考慮遞推式為un+1=sinun的數(shù)列就會知道，這個數(shù)列雖然有界但不存在極限，而A=sinA的一個解是A=0（這點通過畫圖就可以看到），顯然0并不是這個數(shù)列的極限.

那么上述例子是不是說明我們不能通過列方程的方法求數(shù)列的極限呢？事實上，此方法解題的正確順序是證明存在極限然后求極限，而不是反過來，不能先假設有極限然后去求它.這里，我們再次體會到了數(shù)學這門學科在邏輯上的高度嚴密性，解決任何一個數(shù)學問題，無論是代數(shù)或是幾何，證明題還是計算題，都要做到言必有據(jù)，因此解題時要時刻做到每步有依據(jù).即使較明顯的事實也要有理有據(jù)，學習時切忌憑想象自我發(fā)明創(chuàng)造.

上述問題也應引起我們的反思，一是廣大考生在準備研究生入學考試時，除了要注重題海戰(zhàn)術外，還應該花一些時間和精力搞清楚各種解題方法的原理本質(zhì)，常總結(jié)在解題過程中容易犯的錯誤，學會用反例來加深理解；同時，這也提醒了數(shù)學教師在教學過程中，不要僅僅停留于教學生在碰到一道數(shù)學問題時應該怎么做，更重要的是告訴他們?yōu)槭裁纯梢赃@樣做，理論依據(jù)是什么，這些原理應怎樣 “正確”地使用！以微積分為例，它作為一般高校最重要的一門基礎課程，是進一步學習線性代數(shù)、概率論、復變函數(shù)等后續(xù)課程的基礎，它集科學性、嚴密性與連貫性于一體，系統(tǒng)性與邏輯性強.對于剛剛進入大學的學生來說，在從初等數(shù)學（用非極限方法研究常量數(shù)學）到高等數(shù)學（用極限方法研究變量數(shù)學）的轉(zhuǎn)變過程中，此課程的學習尤為關鍵.該課程包含了一整套抽象而且形式化的嚴謹?shù)睦碚擉w系，特別是許多重要的概念和定理都是用抽象的數(shù)學語言給予形式化的精確描述，學生在理解上、應用上有一定的難度，也常常會產(chǎn)生一些誤解.鑒于此情況，在微積分教學中，教師可以考慮使用反例來修正學生對知識理解時出現(xiàn)的錯誤，同時也可使學生養(yǎng)成嚴格推理、全面分析的能力.