黃玉蘭

摘 要：本文從分子分母的極限特點(diǎn)出發(fā)，總結(jié)了不同特點(diǎn)的分式形式的函數(shù)求極限的方法，并舉例進(jìn)行了說(shuō)明.

關(guān)鍵詞：分式；函數(shù)；極限

一、引言

極限是《高等數(shù)學(xué)》教材的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，分式形式的函數(shù)求極限是極限知識(shí)中的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，在分式形式各異時(shí)，求極限的方法也不近一致，很多學(xué)生在遇到求分式形式的函數(shù)極限時(shí)，不知該用哪種方法來(lái)解答，甚至不知如何動(dòng)手。本文從分子分母的極限特點(diǎn)出發(fā)，對(duì)分式形式的函數(shù)求極限方法進(jìn)行了分類和總結(jié)。

二、方法分類

若 f（x）=A， g（x）=B （A，B為常數(shù)或） ，下面根據(jù)A，B的取值特點(diǎn)對(duì)分式 在x→x0時(shí)極限常見(jiàn)情況進(jìn)行分類討論.

（1）當(dāng)A，B均為常數(shù)，且B≠0時(shí)，由極限的運(yùn)算法則有：

= = （B≠0）

（2）當(dāng)A，B均為常數(shù)，且B=0而A≠0時(shí)，則有： =∞分析：由于分母為無(wú)窮小，分子極限為不等于0的常數(shù)，則無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。

分析：分子極限為3，分母極限為0.

（3）當(dāng)A=B=0時(shí)， 為 “ ”型的未定式，求極限方法還可細(xì)分：1） 當(dāng)分子，分母可以因式分解約分化簡(jiǎn)時(shí)，則考慮約分.例3、求 解： = = =6。2）當(dāng)分子，分母中有根式時(shí)，則考慮有理化.例4、求 解： =lim = =。3）當(dāng)分子上有與sinx聯(lián)系的三角函數(shù)且形式較簡(jiǎn)單時(shí)，則考慮與第一個(gè)重要極限 =1的聯(lián)系，利用結(jié)論 =1求解.例5、求 解： = ×2=2。4）當(dāng)分子分母滿足羅比達(dá)法則的三個(gè)條件時(shí)，則采用羅比達(dá)法則求解.例6、求 解： = = = （2+ ）

（4）當(dāng)分子分母為無(wú)窮大時(shí)：1）滿足羅比達(dá)法則的三個(gè)條件時(shí)，考慮用羅比達(dá)法則求解.例7、求 解： = = = =0。2）分子，分母為x的多項(xiàng)式時(shí)，考慮用以下結(jié)論.一般地，當(dāng)a0≠0，b0≠0，m和n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有 =

三、結(jié)語(yǔ)

對(duì)于形式為分式的函數(shù)求極限，一定要具體問(wèn)題具體分析，根據(jù)分子，分母極限取值情況的特點(diǎn)來(lái)選擇合適的方法，應(yīng)多練習(xí)以求熟能生巧，更應(yīng)注重方法和方法的結(jié)合.

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2007：23-31.

[2] 周志燕，程黃金.高等數(shù)學(xué)[M].東北大學(xué)出版社，2014：11-15.