阿不都克熱木·阿吉

摘 要：數(shù)學(xué)分析是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息計(jì)算科學(xué)和統(tǒng)計(jì)分析等專業(yè)的學(xué)生的必修課，也是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門課程。數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開(kāi)極限。因此，極限的概念是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，極限的存在性和求極限問(wèn)題是極限理論的基本問(wèn)題。在數(shù)學(xué)分析教材中，作者詳細(xì)介紹了數(shù)列極限、函數(shù)的極限、數(shù)列極限的存在性及其求法以及函數(shù)極限的存在性及其求法等。在該文中，通過(guò)引進(jìn)正則函數(shù)列的概念，給出求數(shù)學(xué)分析中一些典型級(jí)數(shù)的極限的一種新方法。

關(guān)鍵詞：函數(shù)列 ?正則性 ?級(jí)數(shù) ?極限

中圖分類號(hào)：D11 ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）10（c）-0246-02

數(shù)學(xué)分析是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息計(jì)算科學(xué)和統(tǒng)計(jì)分析等專業(yè)的學(xué)生的必修課，也是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門課程。數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開(kāi)極限。因此，極限的概念是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，極限的存在性和求極限問(wèn)題是極限理論的基本問(wèn)題。在數(shù)學(xué)分析教材中，作者詳細(xì)介紹了數(shù)列極限、函數(shù)的極限、數(shù)列極限的存在性及其求法以及函數(shù)極限的存在性及其求法等，見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。在該文中，通過(guò)引進(jìn)正則函數(shù)列的概念，給出求數(shù)學(xué)分析中一些典型級(jí)數(shù)的極限的一種新方法。

1 正則函數(shù)列

在這一部分中，我們引進(jìn)正則函數(shù)列的定義，并且給出函數(shù)列為正則的充分必要條件。

定義1：設(shè)是定義上的函數(shù)列，

（1）

是可求和的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其部分和為并且作級(jí)數(shù)

（2）

若對(duì)于每個(gè)，級(jí)數(shù)（2）是可求和的，其普通和為，并且當(dāng)時(shí)，向量值函數(shù)收斂于，則稱級(jí)數(shù)（1）按函數(shù)列是廣義求和的，稱為級(jí)數(shù)（1）關(guān)于函數(shù)列的廣義和。

定義2：設(shè)由函數(shù)列如上給出一個(gè)廣義求和法，若每個(gè)可求和的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也是按函數(shù)列是廣義求和的，而且廣義和等于普通和，則稱函數(shù)列是正則的。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，可以得到以下結(jié)論：

定理1：設(shè)是定義在上的函數(shù)列。若函數(shù)列是正則的，則

（1）;

（2）;

反之，若函數(shù)列除了滿足（1），（2）以外還滿足

（3）對(duì)任意，存在常數(shù)，使≤，則函數(shù)列是正則的。

定理2：設(shè)是定義在上的函數(shù)列。若函數(shù)列是廣義的，則

（1）;

（2）;

反之，若函數(shù)列除了滿足（1），（2）以外還滿足

（3）對(duì)任意，存在常數(shù)，使≤，則函數(shù)列是正則的。

2 數(shù)學(xué)分析中一些典型級(jí)數(shù)的極限

在這一部分中，我們用函數(shù)列的正則性來(lái)討論數(shù)學(xué)分析中的一些典型級(jí)數(shù)的極限。

例1：設(shè)，都是數(shù)列，并且滿足

;

（2）;

（3）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，并且。

證明：由條件（2）與（3）可證，當(dāng)時(shí)，

級(jí)數(shù)收斂。根據(jù)級(jí)數(shù)的乘法規(guī)則，我們有

=

如果令，則，

又令，，，則滿足

（1）;

（2）;

（3）對(duì)任意，

因此，根據(jù)定理1，函數(shù)列是正則的，

從而

故。

例2：若，則證明

。

證明：的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為，若令，則滿足

（1）;

（2）;

（3）對(duì)任意，

因此，由定理2，函數(shù)列是正則的，即

故，

運(yùn)用函數(shù)列的正則性，我們可以討論類似的很多問(wèn)題，在這里我們不再一一舉例說(shuō)明。

參考文獻(xiàn)

[1] 歐陽(yáng)光中，姚允龍，周淵.數(shù)學(xué)分析[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2011.

[2] 阿布都克里木·阿吉.廣義求和法的幾種推廣[J].新疆大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1993，10（3）：28-35.