邱偉 陶金

摘 要：電偶極子是電介質(zhì)理論和原子物理學(xué)的重要模型。該文研究了電場中的電偶極子的力矩、電勢能與電偶極子的電勢、感生偶極矩、電場線方程。最后，用MATLAB軟件來反應(yīng)電偶極子激發(fā)的電場在空間上的分布情況。

關(guān)鍵詞：電偶極子 ?電場 ?電勢 ?MATLAB

中圖分類號(hào)：0441.1 ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）10（c）-0253-02

在實(shí)際生活中電偶極子的應(yīng)用很廣泛。在以往電偶極子的教學(xué)當(dāng)中，沒有詳細(xì)討論電偶極子，只是給出電偶極子的電場，沒有對電偶極子的力矩、電勢能、電勢電場線作詳細(xì)討論。在接下來將詳細(xì)討論這幾個(gè)問題。

1 電場中的電偶極子

1.1 對電偶極子的力矩

電場中的電偶極子受力矩作用而旋轉(zhuǎn)，使電偶極矩的方向轉(zhuǎn)向外電場方向。電偶極矩簡稱電矩，是其在單位外電場作用下受到的最大力矩。一個(gè)水分子（見圖1），顯示3個(gè)核與電子存在的區(qū)域。電偶極子從氧端（負(fù)的）指向氫端（正的）。如圖2所示在均勻外電場中的偶極子，設(shè)偶極子是一個(gè)大小各為q而中心相距d的兩個(gè)異號(hào)電荷組成的偶極矩與電場成角。由于電場均勻，電場對偶極子的合力為零，所以偶極子的質(zhì)心不移動(dòng)。然而，在帶電末端上力在偶極子上產(chǎn)生一個(gè)繞其質(zhì)心的合力矩。質(zhì)心位于連接兩個(gè)帶電末端的線上，離一個(gè)末端的距離為，而另一個(gè)末端的距離為，根據(jù)，所以合力矩（1）利用電場的大小和偶極矩的大小寫出的大小，所以上式中用代替并用代替，求得的大小為：，我們還可以寫成矢量形式：（對偶極子的力矩）（2），所得結(jié)果與文獻(xiàn)[1]相同。

1.2 電偶極子的電勢能

電偶極子的勢能與其在電場中的取向有關(guān)。當(dāng)電偶極子處于平衡取向具有最小的勢能，而平衡取向是其偶極矩沿電場方向的取向。在所有其他取向的情況下它具有較大的勢能。如圖3所示，角為90°時(shí)勢能為零，根據(jù)計(jì)算當(dāng)電偶極子從90°轉(zhuǎn)到其他任意時(shí)，作用在電偶極子上的電場所做的功，可求出電偶極子在該值時(shí)的勢能。根據(jù)，在任意角處的勢能為：（3）積分后得，寫成矢量形式：（電偶極子的勢能）（4）。

2 電偶極子的電勢

2.1 電偶極子的電勢

設(shè)電場中任意一點(diǎn)到、和電偶極子中心的距離分別是、和，電偶極子中心到點(diǎn)連線和電偶矢徑成角，如圖4所示，由電勢公式與電勢疊加原理，是及在點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。即：（5），根據(jù)電偶極子的定義是非常小的，假設(shè)、和都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于，所以可得出：。得（6）。

由式（6）可以得出，電偶極子電場的電勢分別與距離、夾角、和電距都有關(guān)?？梢栽O(shè)想一下：如果距離一定時(shí)，在電偶極子矢徑的延長線上，，這時(shí)電勢最大，;當(dāng)=180°時(shí)，180°=-1，所以在電偶極子在矢徑的反向延長線上時(shí)電勢最小，;當(dāng)90°時(shí)，°=0，所以電偶極子在中垂面上的電勢為零;當(dāng)<<90°時(shí)，，隨角的增大而減小;當(dāng)90°<<180°時(shí)，，隨角增大而減小;從上面的設(shè)想中可以得出，電偶極子的中垂面是零勢面，這個(gè)零勢面將整個(gè)電場分為正負(fù)兩個(gè)區(qū)域，一側(cè)為正電勢區(qū)域，一側(cè)為負(fù)電勢區(qū)域。電偶極子電場中某點(diǎn)電勢與方位角的關(guān)系如圖5所示。

2.2 感生偶極矩

許多分子，比如：水分子，具有永電偶極矩。在其他的分子（叫做無極分子）和在每個(gè)孤立的原子中，正電中心和負(fù)電中心重合，因而沒有偶極矩形成。然而如果我們把一個(gè)原子或無極分子放置在外電場中，電場使電子軌道變形并使正電中心和負(fù)電中心分離。因?yàn)殡娮訋ж?fù)電，它們趨于沿與電場相反的方向移動(dòng)。這個(gè)移動(dòng)產(chǎn)生指向電場方向的電偶極矩。這個(gè)偶極矩被認(rèn)為是電場感生的，而原子或分子被說成是被電場極化的，當(dāng)電場除去后，感生偶極矩和極化消失。

2.3 用電勢求電場、電場線方程

電偶極子電勢的遠(yuǎn)區(qū)表達(dá)式：（7），電偶極子的軸線與軸重合，其中和分別是和到點(diǎn)的距離。此時(shí)（7）式又可以寫成（8），電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度可由（8）式求梯度得到。因電勢只是坐標(biāo)和的函數(shù)，于是有（9）。

從（8）式和（9）式可以看到，電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)場的電場強(qiáng)度與的三次方成反比，電勢與的平方成反比。根據(jù)（8）式，電偶極子的等電勢面方程可。

將電力線方程寫成球坐標(biāo)形式，此時(shí)電場只有和兩個(gè)分量，有（10），把電場表達(dá)式（9）帶入上式（11），解上式得電偶極子遠(yuǎn)區(qū)場的電力線方程恒量（12）。圖6給出了電偶極子為常數(shù)的平面內(nèi)電偶極子遠(yuǎn)區(qū)場電力線方程中恒量取不同的常數(shù)所對應(yīng)的等電勢線和等電力線。[2]

3 用MATLAB演示電偶極子

用MATLAB演示點(diǎn)偶極子見圖7所示。[3]

4 結(jié)語

通過以上的研究，對電偶極子這個(gè)最基本的物理模型有了更深入的認(rèn)識(shí)，以上研究只是電偶極子的電學(xué)屬性而忽略了力學(xué)屬性，電偶極子在電場中并不是靜止不動(dòng)的，它收到力矩的作用會(huì)在平衡位置進(jìn)行微小的振動(dòng)，如果對均勻電場中的電偶極子的運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行分析和討論，就能更好的掌握電偶極子這一重要的物理模型。模擬出來的圖形若能夠采用動(dòng)畫的形式播放，可以給人以視覺上的享受，把抽象的問題具體化、圖形化。

參考文獻(xiàn)

[1] 哈里德.物理學(xué)基礎(chǔ)[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

[2] 張之翔.電磁學(xué)千題解[M].科學(xué)出版社，2005.

[3] 矯洪楠，侯怒.電偶極子激發(fā)的電場及其MATLAB模擬仿真[J].物理通報(bào)，2014（10）：27-29.