葉良銓

摘 ? 要：近年來在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中大量存在著這樣的問題：概念教學(xué)遠離探究、解題教學(xué)缺失探究、對探究教學(xué)的理解產(chǎn)生偏移.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是一種慢藝術(shù)，只有探究的數(shù)學(xué)課堂才能創(chuàng)造自由呼吸的課堂，只有自由呼吸的課堂才能讓學(xué)生自由想象，在他的自由想象的空間里發(fā)展無限的創(chuàng)造力并能付諸實踐，才能感受數(shù)學(xué)的深邃之美.

關(guān)鍵詞：問題;探究;數(shù)學(xué)本質(zhì);能力;素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是一種慢藝術(shù)，缺乏探究的教學(xué)，必然導(dǎo)致缺乏思維空間的學(xué)習(xí)，正如缺乏空氣，缺乏水分的植物，哪會有郁郁蔥蔥的景色？然而在一線的數(shù)學(xué)課堂中探究之魂往往被粗暴地過濾或斬斷于輕描淡寫之中.

問題1：概念教學(xué)遠離探究

一些教師在教學(xué)中為了趕進度，往往略去概念產(chǎn)生的過程，課堂教學(xué)缺乏探究和生機.“題海戰(zhàn)術(shù)”仍倍受青睞，發(fā)現(xiàn)的樂趣被粗暴地過濾，學(xué)生的大腦已然成為被動接受知識的“容器”.他們只看到短期內(nèi)學(xué)生的“分數(shù)”不錯，看不到今后對學(xué)生能力的不利影響（即缺乏可持續(xù)發(fā)展的能力），短期內(nèi)的熟能生“巧”遮住了長遠的熟能生“笨”的事實.

問題2：解題教學(xué)缺失探究

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，而猜想能力的培養(yǎng)又是探究性教學(xué)的重要內(nèi)容.我們知道數(shù)學(xué)是一門富于猜想（合情推理）的學(xué)科，“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”（牛頓）.但有些教師把握不住猜想的“火候”，缺乏思維空間和時間的支持，其“猜想”變成了“空想”和“瞎想”，探究也就成為一種形式.

問題3：對探究教學(xué)的理解產(chǎn)生偏移

一些教師認為數(shù)學(xué)探究性教學(xué)就是數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，其教學(xué)形式主要在課外的研究性學(xué)習(xí)中，即狹義的認為“環(huán)保問題”、“金融問題”、“橋梁設(shè)計”等數(shù)學(xué)探究課題的學(xué)習(xí)才是探究性學(xué)習(xí).

那么在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中我們應(yīng)怎樣進行探究的教學(xué)設(shè)計，怎樣引領(lǐng)學(xué)生去探究，從而在探究中還原數(shù)學(xué)的本真，體會數(shù)學(xué)的深邃之美呢？

一、抓住概念核心，探究概念本質(zhì)

“以直代曲”、“無限逼近”是導(dǎo)數(shù)概念的核心，導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容便是導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)概念的源頭便是導(dǎo)數(shù)的背景知識，它包含了“以直代曲”、“無限逼近”的具體過程，體現(xiàn)了平均變化率與瞬時變化率之間的聯(lián)系，以最為樸實的形式展示著導(dǎo)數(shù)概念思想.

案例1 ? 已知函數(shù)f（x）=x2lnx-a（x2-1），a∈R，若當x≥1時， f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

∴當x>1時，h′（x）>0，即h（x）在x∈（1，+∞）時單調(diào)遞增.

故h（x）>h（1）=0;所以，h（x）>0即g′（x）>0

一切都順理成章，可是，讓學(xué)生無法繼續(xù)往下的原因是：

當x=1時，x2lnx與x2-1的值均為0，因此g（x）無意義，所以不能通過端點來定下確界.

然而，有些教師就告訴學(xué)生，“此題分離參數(shù)法”行不通，只能按既定的方法，扼殺了學(xué)生的思維，失去了一次探究導(dǎo)數(shù)概念的良機.

而事實上，此題包含了數(shù)學(xué)的很多思想方法，如果我們深入探究，就可以帶領(lǐng)學(xué)生一起享受數(shù)學(xué)深邃之美的心路歷程：

只有這樣，我們才能說對導(dǎo)數(shù)概念的理解是深刻的，是多方位的;也只有這樣才能引領(lǐng)學(xué)生揭示問題的本質(zhì)，還原數(shù)學(xué)的本真，感受數(shù)學(xué)的深邃之美.

二、充分用好教材，探究教材例題的數(shù)學(xué)本真

案例2（人教版選修，P41例3） 設(shè)A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求動點M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀.

這個問題的本身并不難，多數(shù)同學(xué)都能快速地設(shè)動點M（x0，y0），由kAM·kBM=-）.所以動點M的軌跡是除去A，B兩點的橢圓.

那么我們在教學(xué)過程中應(yīng)怎樣用好這道例題？課堂上應(yīng)怎樣引導(dǎo)學(xué)生思索，激發(fā)學(xué)生的思維，引領(lǐng)學(xué)生深層次的探究，在探究中還原數(shù)學(xué)的本真呢？

我的實踐：

師：請同學(xué)們對比一下本題的已知條件和結(jié)論，你有哪些聯(lián)想？

生1：我想如果把斜率改成它的相反數(shù)，會是什么軌跡呢？

師：那么，請同學(xué)們試求一下（片刻后投影展示生1的解答過程）.可見此時得到的軌跡是除去A，B兩點的雙曲線，生1同學(xué)的聯(lián)想，同時也給我們提供了探究的一個方向.

生2：（迫不急待地）如果把斜率改成±1，不是更特殊嗎？

師：±1在圓錐曲線中確實太特殊了，請大家試求一下，看看是怎樣的軌跡？

生3：我得到的結(jié)果是，當斜率為1時，軌跡是除去A，B兩點的等軸雙曲線;當斜率為-1時，軌跡是除去A，B兩點的的圓.

師：在常數(shù)中±1是要特殊考慮的.

生4：在向量中是經(jīng)常特殊考慮的，那么在常數(shù)中我覺得應(yīng)該考慮一下0.

師：同學(xué)們還聯(lián)想到了什么呢？（有些同學(xué)開始躍躍欲試，熱情高漲）

生5：（急切地）這樣逐個地試，何時是盡頭;我的想法是把-改成更一般的常數(shù)呢？是否能得到一般性的結(jié)論？

師：想法非常大膽，生5給我們提出了一個從特殊到一般的思考方向.接下來我們一起來探究他提出的問題.

根據(jù)前面已有的探究，學(xué)生很快得到了點M的軌跡方程：=1（x≠±25）.

師：我們可以看出這個方程的模型大致是圓錐曲線，那么它可以是哪一種圓錐曲線呢？

（同學(xué)們踴躍的討論，教師補充、歸納、板書），很自然地得到了如下幾條結(jié)論：

①當m∈（-∞，-1）時，點M的軌跡是焦點在y軸上的除去A，B兩點的橢圓.

②當m=-1時，點M的軌跡是除去A，B兩點的圓.

③當m∈（-1，0）時，點M的軌跡是焦點在x軸上的除去A，B兩點的橢圓.

④當m∈（0，1）∪（1，+∞）時，點M的軌跡是焦點在x軸上的除去A，B兩點的雙曲線.

⑤當m=1時，點M的軌跡是除去A，B兩點的等軸雙曲線.

教材凝聚著編寫者們對課程標準精確理解的集體智慧的結(jié)晶.每一道例題都是編者團隊從茫茫題海中反復(fù)斟酌、精挑細選后才編上教科書的.它代表了解答過程的示范性和問題類型的典型性，更富有學(xué)后反思探索性.作為教師的我們，要深挖教材，引領(lǐng)學(xué)生品出例題的內(nèi)涵和精髓，體味數(shù)學(xué)的深邃之美.

三、適時引導(dǎo)變式探究，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)

案例3（人教版選修2-2P30例5改編） 已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x（x∈R）.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間; ? ? （2）求f（x）的極值.

波利亞說：“拿一個有意義又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這一道題，就好象通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域.”所以在教學(xué)過程中我們不應(yīng)當就問題而解決問題，應(yīng)該透過問題的表象去揭示問題的本質(zhì)，通過對一個問題的變式探究來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

我的實踐：

生1（變式1）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x，x∈[0，]，求f（x）的最值.

生2（變式2）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+ax，在區(qū)間（1，2）為減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）為增函數(shù)，求實數(shù)a的值.

生3（變式3）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+ax，在區(qū)間（1，2）為減函數(shù)，求實數(shù)a的范圍.

師（變式4）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x，求證：對任意的x1，x2∈[0，]，不等式f（x1）-f（x2）<恒成立.

師（變式5）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2，g（x）=a-4x，試問實數(shù)a取何值時，兩函數(shù)的圖象有且僅有三個公共點.

師（變式6）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x，g（x）=8x2+6x-k（其中k為實數(shù)），若對任意x1∈[0，3]，總存在x2∈[0，3]，使得g（x1）=f（x1）成立，求k的取值范圍.

習(xí)題變式教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教師經(jīng)常應(yīng)用的一種教學(xué)手段.一題多變，變的是形式，不變的是本質(zhì).問題的變式，增強了學(xué)生對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系認識的廣度與深度，增強了思維的廣闊性.它能幫助辨析正誤，提高教學(xué)效率、升華數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)探究、創(chuàng)新精神.

四、多角度探究解題思路，提升學(xué)生思維品質(zhì)

著名的數(shù)學(xué)家波利亞說得好，“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題方法的產(chǎn)生.”所以在解題時，我們怎樣把題設(shè)和結(jié)論聯(lián)系起來，聯(lián)想、類比以前所學(xué)的知識，引導(dǎo)學(xué)生探究出所研究問題的方法的心路歷程比解決問題的本身更重要.

在解題教學(xué)中，教師應(yīng)適時引導(dǎo)學(xué)生探究該問題與之前哪些問題是有相通的，有哪些不同的思路？過程能否簡化？方法能否優(yōu)化？運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？引導(dǎo)學(xué)生從多層次，多維度，全方位地來探究所研究問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

總之，只有探究的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)才能創(chuàng)造自由呼吸的課堂，只有探究的數(shù)學(xué)教學(xué)才能感受數(shù)學(xué)的深邃之美.我們可能一時半會還不具備歐拉的直覺、高斯的嚴謹、牛頓的靈感、笛卡爾的創(chuàng)新，但我們必須要清醒地認識到培養(yǎng)學(xué)生的這些品質(zhì)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育永恒的追求.