李海霞

[摘 要]線性代數(shù)是高等院校一門重要的基礎(chǔ)課程，但是由于該課程內(nèi)容抽象，教學(xué)課時短，對于教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)上造成了很多困難。本文首先分析該課程的教學(xué)難點(diǎn)，然后根據(jù)其難點(diǎn)提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù)，抽象，概念，運(yùn)算

[中圖分類號]G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1009 — 2234（2015）08 — 0165 — 02

作為高等院校一門重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，線性代數(shù)在自然科學(xué)、工程技術(shù)、統(tǒng)計學(xué)和管理科學(xué)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。但是由于其內(nèi)容過于抽象，對教師的教與學(xué)生的學(xué)都產(chǎn)生了較大的困難。本文將首先分析造成該課程難教難學(xué)的原因，之后給出若干教學(xué)建議，從而降低該課程的教學(xué)難度。

1 線性代數(shù)難教難學(xué)的原因

作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)課程，起主要內(nèi)容有行列式、矩陣、線性方程組、線性空間、二次型等。通過相關(guān)文獻(xiàn)分析與教學(xué)實(shí)踐總結(jié)，筆者認(rèn)為上述內(nèi)容在學(xué)生的學(xué)與教師的教上有如下3個難點(diǎn)。

1.1 概念的抽象

線性代數(shù)所涉及的概念的抽象程度要高于高等數(shù)學(xué)（微積分）課程。大學(xué)數(shù)學(xué)一般包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計等。學(xué)生進(jìn)入大學(xué)面對的第一門課程就是高等數(shù)學(xué)或微積分。主要內(nèi)容為微分學(xué)、積分學(xué)、級數(shù)、空間解析幾何等。而微積分、級數(shù)的研究對象則為函數(shù)與數(shù)列，這兩者與解析幾何都是學(xué)生在中學(xué)多次接觸過的。而且函數(shù)（數(shù)列）極限等概念都能在數(shù)軸上做出很好的幾何解釋，比較符合學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

而線性代數(shù)中的許多概念，如矩陣、線性相關(guān)、線性空間、特征值等等，中學(xué)生幾乎都沒有接觸過。換句話說，雖然課程名稱為“線性代數(shù)”，但是學(xué)生會感到與中學(xué)所學(xué)的代數(shù)有天壤之別。許多學(xué)生在心理上不承認(rèn)“線性代數(shù)”是代數(shù)。很難將以前學(xué)習(xí)代數(shù)的經(jīng)驗(yàn)方法類比遷移到線性代數(shù)中，因此造成了學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。

另外，很多教科書在編寫時注重數(shù)學(xué)自身的邏輯性，往往以概念、定理、例題的形式呈現(xiàn)知識內(nèi)容，沒有給出很多概念的引入實(shí)例，使得許多教師在教學(xué)時很難選取合適的案例來引入新課，造成了教師教與學(xué)生學(xué)的困難。

1.2 運(yùn)算的擴(kuò)充

代數(shù)學(xué)是研究運(yùn)算的數(shù)學(xué)分支。但是線性代數(shù)中定義了很多中學(xué)里沒有的運(yùn)算，中學(xué)里的運(yùn)算多在復(fù)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行，是A×A→A類型的二元代數(shù)運(yùn)算，但是線性代數(shù)中出現(xiàn)了很多新運(yùn)算，如行列式的運(yùn)算，矩陣的運(yùn)算、線性空間中的加法與數(shù)乘，線性變換、內(nèi)積運(yùn)算等。同時很多中學(xué)里成立的運(yùn)算律在線性代數(shù)課程中失效，如乘法的交換律、消去律等。對新運(yùn)算的不熟悉，也是造成學(xué)生難學(xué)，教師難教的原因之一。

1.3 計算復(fù)雜、計算結(jié)果易錯

線性代數(shù)中很多運(yùn)算復(fù)雜程度都很高，例如三階行列式，按照對角線法則就要進(jìn)行17次加減乘運(yùn)算，而兩個三階矩陣做乘法，則要進(jìn)行45次加減乘運(yùn)算。其他的運(yùn)算，如解線性方程組，二次型化標(biāo)準(zhǔn)型，求標(biāo)準(zhǔn)正交基等，運(yùn)算強(qiáng)度之大中學(xué)里都未曾接觸過。如此大的計算量，學(xué)生在初學(xué)時很容易算錯。因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往陷于計算，只見樹木不見森林，不能從整體把握所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。而教師在教的過程中，課時少，如果在課堂上過多在黑板上演示，則會影響到后續(xù)內(nèi)容的教學(xué)，造成了教師教學(xué)的難度。

以上這些難點(diǎn)對于重點(diǎn)高校的生而言，也許并非難點(diǎn)。但是對于獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生而言，難度還是很大的。因?yàn)楸疚尼槍ι鲜鼋虒W(xué)難點(diǎn)，分別給出幾條教學(xué)建議，從而盡量降低學(xué)生的學(xué)與教師的教的難度。

2.線性代數(shù)教學(xué)建議

2.1通過實(shí)例引入概念

線性代數(shù)概念雖然抽象，但是這些概念均是從實(shí)際問題或眾多初等的數(shù)學(xué)背景中抽象出來的。如果教師在教學(xué)中能夠指出這些概念的出處，并指出這些概念在解決實(shí)際問題中的巨大應(yīng)用，則能收到良好的教學(xué)效果。下面以矩陣概念的引入為例進(jìn)行說明。

矩陣不止在線性代數(shù)學(xué)上有著巨大的工具性價值，在泛函分析、動力系統(tǒng)以及群表示論上都有著廣泛的應(yīng)用。因此教學(xué)上要突出矩陣的工具性。對于低年級的學(xué)生，可以從一些學(xué)生熟悉的問題入手，引入矩陣概念。如首先指出矩陣是一種工具，可以用它來研究一些基本的平面幾何中的圖像（向量）變。之后通過若干實(shí)際問題情景，從經(jīng)濟(jì)學(xué)、隨機(jī)現(xiàn)象、解線性方程組、圖論的角度引入矩陣的具體例子，并得到了m行n列矩陣的概念和n階方陣的概念。而對于矩陣的運(yùn)算，逆矩陣等都是由具體的幾何變換引出的。盡量創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情景，從多種角度來引出新概念、新性質(zhì)。使學(xué)生更好地了解矩陣的來源于應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的興趣， “強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)、注重數(shù)學(xué)應(yīng)用”、“高中數(shù)學(xué)應(yīng)提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值”、“高中數(shù)學(xué)應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系”、“數(shù)學(xué)課程要通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使得學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程”的理念有關(guān).

2.2 通過模型幫助學(xué)生理解運(yùn)算

線性代數(shù)中很多抽象的運(yùn)算都有具體的背景來源，如矩陣的乘法來源于幾何變換以及經(jīng)濟(jì)中才投入產(chǎn)出模型，二次型化標(biāo)準(zhǔn)型來源于解析幾何中的二次曲線化簡，內(nèi)積運(yùn)算則來源于平面（空間）向量的數(shù)量積運(yùn)算。下面以矩陣的乘法為例說明如何在教學(xué)中通過具體背景幫助學(xué)生理解運(yùn)算。

對于矩陣的加法，其定義很自然，學(xué)生不難理解。但是很多學(xué)生會對矩陣乘法的定義感到很奇怪，不明白為何要這樣定義。其實(shí)，矩陣的乘法有著很生動的現(xiàn)實(shí)來源。比如，對經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生，可以利用投入產(chǎn)出模型來引入矩陣的乘法，例子如下。

其中aik，是第i個工廠生產(chǎn)的第k種產(chǎn)品的數(shù)量，bk1和bk2分別是第k種產(chǎn)品的單位價格和單位利潤。用ci1和ci2分別表示第i個工廠甲乙兩種產(chǎn)品的總收入及總利潤。這樣就很自然的看出矩陣乘法定義的原因。

這個例子不僅很好的解釋了矩陣乘法的實(shí)際背景。并且顯示了線性代數(shù)在解決實(shí)際問題中的功能。并且使得在教學(xué)過程中盡可能多地滲入線性代數(shù)在相關(guān)專業(yè)上的的應(yīng)用，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的動力和興趣。在學(xué)習(xí)矩陣乘法時，學(xué)生往往不太理解乘法的運(yùn)算法則，而是一味地死記硬背，如果能在講授這個知識點(diǎn)插入投入產(chǎn)出模型，學(xué)生在具體的實(shí)例中去理解運(yùn)算法則，會使得學(xué)習(xí)效果倍增。

2.3 利用計算機(jī)突出算理，降低計算難度

之前提到，線性代數(shù)計算量大、復(fù)雜，計算結(jié)果容易出錯。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，往往糾纏于計算，而忽視了對整個課程知識系統(tǒng)的把握。

圍繞線性代數(shù)全部課程的一個重要內(nèi)容就是解線性方程組，在二次型化標(biāo)準(zhǔn)型，計算特征向量，線性變換的核與像中都會用到解線性方程組。這是一個相當(dāng)繁瑣的過程。過于強(qiáng)調(diào)計算不利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生厭煩，反而使學(xué)生忽略了所學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。教師應(yīng)該強(qiáng)調(diào)方程組在這里只是一個工具，只為了學(xué)生還是要弄清楚上述知識本身的特點(diǎn)。其實(shí)很多相關(guān)的的計算都可以通過專門的數(shù)學(xué)軟件來完成?，F(xiàn)在隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一方面數(shù)學(xué)的應(yīng)用變得更為廣泛，另一方面，也給我們提供了更多可以選擇的豐富資源。在針對不同專業(yè)的教學(xué)過程中，對于書本上的某個知識點(diǎn)，在講授完抽象的定義、定理后，如果能適當(dāng)合理地講授該專業(yè)相關(guān)的應(yīng)用，學(xué)生的積極性會大大提高，同時讓學(xué)生感受到學(xué)有所用、學(xué)以致用。

在教學(xué)如使用MATLAB等數(shù)學(xué)軟件解決線性代數(shù)中的計算問題，把MATLAB滲透到線性代數(shù)課程的教學(xué)中去。線性代數(shù)的整個理論體系，并不因使用計算機(jī)而有所改變，只是有些理論可以通過計算機(jī)來驗(yàn)證，而且可以把大量的應(yīng)用問題納入課程的習(xí)題或大作業(yè)中，加強(qiáng)它的工程背景，從而轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，樹立新的教學(xué)理念，提高學(xué)生的科學(xué)計算能力、創(chuàng)新能力及理論與實(shí)踐相結(jié)合的能力。下面是應(yīng)用MATLAB軟件求解線性方程組的實(shí)例。

2.4 重視歸納類比在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

歸納是從特殊到一般的推理，而類比則是由特殊到特殊的推理。歸納類比是重要的數(shù)學(xué)想方法，也可以一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。在教學(xué)中善于使用歸納類比，既可以降低學(xué)習(xí)難度，也能夠增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與創(chuàng)造的方法。

下面以向量空間為例，談?wù)剼w納類比的作用。向量空間是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容，一般出現(xiàn)在線性方程組一章，也是大學(xué)生第一次接觸到空間的概念，學(xué)好它對于線性代數(shù)的后續(xù)內(nèi)容，如線性空間、線性變換、歐式空間乃至其他后繼課程如泛函分析都有著巨大幫助。中學(xué)里雖然也談到向量，但是為平面向量與空間向量，中學(xué)生最多也就接觸到3維空間。但是線性代數(shù)中的向量空間則為n維的，更具抽象性，缺少幾何直觀幫助學(xué)生理解。其實(shí)教師在教學(xué)過程中，可以與中學(xué)所學(xué)的平面向量進(jìn)行類比。平面向量可以用坐標(biāo)表示，也就意味著每一個向量可以用一組有序數(shù)對表示，空間向量也可以由有序數(shù)對表示。這時再引導(dǎo)學(xué)生去觀察線性方程，歸納出每一個線性方程可以由其系數(shù)組成的有序數(shù)對決定，而方程組的每一組解，都是一組有序數(shù)對，并且改變數(shù)的順序，這個解就不成立了。然后繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察，通過幾個特殊的例子，學(xué)生可以歸納出，對于齊次方程組而言，若干解疊加之后，依然是解，所以由不同解組成的集合之間有加法，同樣也有數(shù)乘，這與向量間的加法與數(shù)乘是類似的，由此歸納出向量空間的概念。

3 結(jié)束語

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，只要搞清楚線性代數(shù)教學(xué)困難的原因，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知狀況，對癥下藥，就能化簡該課程的教學(xué)難度，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

〔參 考 文 獻(xiàn)〕

〔1〕 姚立，王樹華.線性代數(shù)〔M〕.北京：高等教育出版社：2008.〔責(zé)任編輯：侯慶?！?/p>