楊兆興

[摘 要]高中物理習(xí)題量大、面廣，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，且思維嚴(yán)密，邏輯性強(qiáng)，所以在選題、命題的過(guò)程中，要嚴(yán)密推演、仔細(xì)推敲，否則，容易出現(xiàn)這樣或那樣的失誤。

[關(guān)鍵詞]商榷 思考 改進(jìn)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）230061

下面是一道關(guān)于機(jī)械能守恒定律的計(jì)算題，在很多參考資料里頻繁出現(xiàn)，本人認(rèn)為題目的答案并無(wú)不妥，但題目所涉及的物理過(guò)程值得商榷。

原題：如圖1所示是一個(gè)橫截面為半圓、半徑為r的光滑圓柱面，一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線兩端分別系著小球A、B，A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量關(guān)系為mA=2mB。由圖示位置從靜止開(kāi)始釋放小球A，當(dāng)小球B達(dá)到圓柱頂點(diǎn)時(shí)，求繩的張力對(duì)小球B所做的功。

圖1

原解：本題要求繩的張力對(duì)小球B做的功，關(guān)鍵是求出小球B到達(dá)圓柱頂點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能。由于柱面是光滑的，故系統(tǒng)重力勢(shì)能的減少量等于系統(tǒng)動(dòng)能的增加量。

系統(tǒng)重力勢(shì)能的減少量為ΔEp=mAgπr2-mBgr

系統(tǒng)動(dòng)能的增加量為ΔEk=12（mA+mB）v2

由ΔEp=ΔEk得v2=πmA-2mBmA+mBgr

……①

將mA=2mB代入①式可得v2=23（π-1）gr

所以繩的張力對(duì)小球B做的功為

W=12mBv2+mBgr=π+23mgr

疑問(wèn)：此題靈活地考查了連接體的機(jī)械能守恒定律，思路及解答也都無(wú)可厚非。但問(wèn)題是：B球在沿柱面上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否脫離柱面，脫離的位置在何處呢？有沒(méi)有可能在還未滑至最高點(diǎn)就脫離了柱面呢？

圖2

解析：如圖2所示，設(shè)半圓的圓心為O，B球與圓心的連線為BO。假設(shè)當(dāng)連線BO與桌面成θ弧度角時(shí)，小球脫離柱面，則此時(shí)柱面對(duì)小球的彈力為0，此時(shí)小球的速度為v，由向心力公式可得

mBgsinθ=mBv2r……②

系統(tǒng)重力勢(shì)能的減少量為ΔEp=mAgrθ-mBgrsinθ

系統(tǒng)動(dòng)能的增加量為ΔEk=12（mA+mB）v2

由ΔEp=ΔEk得

mAgπrθ2-mBgrsinθ=12（mA+mB）v2

……③

聯(lián)立②、③兩式并將mA=2mB代入可得5sinθ-4θ=0，解得θ≈1.13rad≈64.8°。

所以說(shuō)，小球B在未到達(dá)頂點(diǎn)之前就因離心運(yùn)動(dòng)而脫離了柱面，題設(shè)的條件是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

那么，我們要設(shè)定怎樣的條件才能確保小球B不離開(kāi)柱面而運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)呢？

方案一：改變兩球的質(zhì)量關(guān)系

若要使小球B能夠滑至頂點(diǎn)且不脫離柱面，這一過(guò)程中柱面對(duì)B的彈力應(yīng)始終滿足N≥0，設(shè)小球B沿柱面滑至頂點(diǎn)時(shí)的速度為v，由向心力公式mg-N=mv2r，可得，N=mg-mv2r≥0，

則v2≤gr……④

由①、④聯(lián)立可得πmA-2mBmA+mB≤1，即

mA≤3π-1mB≈1.40mB。

所以，只有在滿足mB方案二：固定小球的半圓軌道

圖3

若不改變兩球的質(zhì)量關(guān)系而讓小球能沿柱面到達(dá)頂點(diǎn)，我們也可以在柱面的外側(cè)再固定一個(gè)與原柱面同軸的光滑柱面，如圖3所示，使兩個(gè)柱面之間的空隙剛好能夠容納下B小球；或者干脆把柱面撤掉，如圖4所示，換成半圓形的光滑玻璃管。

圖4

改后題：如圖4所示，在豎直平面內(nèi)固定一半圓形光滑玻璃管，兩管口中心連線恰為一水平直徑，一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線穿管而過(guò)，兩端分別系著小球A、B，其質(zhì)量關(guān)系為mA=2mB，已知半圓半徑為r，B球直徑比玻璃管的內(nèi)徑略小，且可視為質(zhì)點(diǎn)。由圖示位置從靜止開(kāi)始釋放小球A，當(dāng)小球B到達(dá)半圓頂點(diǎn)時(shí)，求繩的張力對(duì)小球B所做的功。

所以說(shuō)，我們?cè)谄綍r(shí)命題、審題的過(guò)程中，不但要把握教學(xué)大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，關(guān)注知識(shí)與能力的考查，還要注重理論聯(lián)系實(shí)際，盡量避免不切實(shí)際的物理過(guò)程出現(xiàn)。

（責(zé)任編輯 易志毅）