☉江蘇省西亭高級中學(xué) 王小亮

對“不等式的基本事實和基本性質(zhì)”的教學(xué)探討

☉江蘇省西亭高級中學(xué) 王小亮

一、引言

章建躍老師在文1中指出“大家都知道等式、不等式的基本性質(zhì)‘是什么’，但為什么把它們稱為‘基本性質(zhì)’？為什么要研究它們？特別是，如何才能讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)？課堂觀察發(fā)現(xiàn)，很少有老師把這些納入教學(xué)視野，實際上也鮮有老師去思考這些問題.”對“把‘能用基本性質(zhì)解決問題’作為目標(biāo)”的做法，章老師認(rèn)為“這樣的教學(xué)缺乏必要的數(shù)學(xué)思想，是‘無根’的教學(xué)，學(xué)生學(xué)到的是沒有生長力的知識，‘學(xué)會思考’更是奢望.”此數(shù)言振聾發(fā)聵！筆者捫心自問，雖然對章老師的某些發(fā)問做過一些粗淺思考，但“五十步笑百步”不可能得到安慰，更不該“感覺良好”！筆者愿意把欠下的“功課”補上，于是有了下面一些思考.

二、探討

對“不等式的基本事實和基本性質(zhì)”這節(jié)內(nèi)容，選取“數(shù)學(xué)邏輯的連貫性和數(shù)學(xué)思想方法的一致性”、學(xué)習(xí)和研究的“基本套路”、問題解決的“出發(fā)點”這三個話題展開一些探討.

1.從“數(shù)學(xué)邏輯的連貫性和數(shù)學(xué)思想方法的一致性”角度分析

“不等式的基本事實和基本性質(zhì)”在高中數(shù)學(xué)課程出現(xiàn)了兩次（有重復(fù)之嫌）：必修5和選修4-5.本文以人教A版教材為載體.

（1）先從“數(shù)學(xué)邏輯的連貫性”角度分析.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，不等關(guān)系是數(shù)量關(guān)系的重要而基本的形式，具有大量豐富的實際背景，故不等式成為數(shù)學(xué)研究的對象是必然、自然的事；進而，確立研究的范圍和出發(fā)點，就像公理寓之于歐式幾何形式系統(tǒng)，實數(shù)的大小關(guān)系的“基本事實”成為不等式研究的“公理”；又如公理推演定理，從“基本事實”出發(fā)便可得“基本性質(zhì)”；最后，“基本事實和基本性質(zhì)”成為解決不等式問題的基本依據(jù)和出發(fā)點.

（2）再看“數(shù)學(xué)思想方法的一致性”.

不等式的“基本事實”用符號語言表示為：a＞b?ab＞0；a=b?a-b=0；a＜b?a-b＜0.

實質(zhì)上是將兩個實數(shù)的大小比較等價轉(zhuǎn)化為它們的差與0的大小比較，或者是差的判號（正數(shù)、負(fù)數(shù)），其中關(guān)鍵是“作差”，是“運算”.

而不等式的6條基本性質(zhì)中的（3）～（6）分別就是從加法、乘法、乘方、開方4種運算角度提出和建立的，正如章建躍老師在文1中所說：“不等式的基本性質(zhì)保證了‘運算中的不變性’.所以，稱它們?yōu)椤拘再|(zhì)’當(dāng)之無愧，它們根源于運算，體現(xiàn)了運算中的不變性.”

所以，如教材（人教A版選修4-5P3）邊框提示語“研究實數(shù)的關(guān)系時聯(lián)系數(shù)的運算，是一種基本的數(shù)學(xué)思想”所表達的，“運算”就是貫穿于不等式基本事實和基本性質(zhì)構(gòu)建過程、保持良好前后一致性的數(shù)學(xué)思想方法.

另外，從更大的視野看，因為“代數(shù)的根源在于代數(shù)運算”，不等式作為代數(shù)系統(tǒng)中的一員，將運算作為它的研究的指導(dǎo)思想，自然很好地體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)思想方法的一致性”.

2.在“基本套路”操作層面上思考

對“不等式的基本事實和基本性質(zhì)”，可從研究整體思路的“基本套路”和研究具體方法的“基本套路”兩個層次來探討.

文2認(rèn)為：“每面對一個數(shù)學(xué)新對象，如果都能引導(dǎo)學(xué)生按‘背景—定義—表示—分類—（代數(shù)）運算、（幾何）性質(zhì)—聯(lián)系’的線索展開學(xué)習(xí)，那么經(jīng)過長期熏陶，前述數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo)就能得到真正落實.”一方面，將不等式作為數(shù)學(xué)對象，可以按這個“基本套路”展開研究，“不等式的基本事實和基本性質(zhì)”作為“子對象”，也可以此為線索展開學(xué)習(xí).

對基本事實，它是不證自明的結(jié)論，是人們在長期實踐活動中通過大量反復(fù)的操作、觀察、抽象、概括得到的.但教學(xué)處理卻不宜直接拋出，為便于學(xué)生更好地感受、理解和接受它，教師有必要給一定的時間，讓學(xué)生從具體的實數(shù)大小的比較體驗、驗證它，確信它的正確性，如3＞2?3-2=1＞0；3＞-2?3-（-2）=5＞0；-3＞-4?-3-（-4）=7＞0等.另一方面，要重視自然語言的敘述，不等式一般是符號語言，相對抽象，自然語言表述有助于對不等式和字母代數(shù)式等的認(rèn)識更深刻.

也正是對基本事實從自然語言表述中認(rèn)識到，對基本性質(zhì)的證明，不單只是基本事實，還需要依賴“正數(shù)”、“負(fù)數(shù)”、“相反數(shù)”等概念和“兩正數(shù)之和（積）為正數(shù)”、“兩負(fù)數(shù)之和（積）為負(fù)（正）”等實數(shù)運算結(jié)論作為依據(jù).如證明“對稱性”的前半部分“如果a＞b，那么b＜a”，因為a＞b，由基本事實知a-b＞0，所以a-b的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，即b-a＜0；又由基本事實有b＜a.從中看出兩次用到基本事實和一次相反數(shù)概念.

基本事實可以用來證明基本性質(zhì)，但很難從基本事實發(fā)現(xiàn)和提出基本性質(zhì)，這就需要對不等式基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和提出尋找合適的“腳手架”，下面是人教A版教科書提供的邏輯圖，它就是數(shù)學(xué)研究方法“基本套路”的圖式，如圖1.

圖1

用這個“基本套路”，我們就可以從橫向和縱向兩個方向發(fā)現(xiàn)和提出問題，具體地說，相等關(guān)系和不等關(guān)系是數(shù)量關(guān)系的兩類基本形式，前者是學(xué)生相對熟悉的，從而以等式的基本性質(zhì)為類比對象，對不等式提出一系列開放命題，自然包括不等式基本性質(zhì)，這也是教材用“探究”形式提出的研究思路；當(dāng)然，也可以考慮“字母問題數(shù)字化”，即先從具體、特殊的數(shù)之間的大小不等關(guān)系出發(fā)，觀察、歸納得出結(jié)論.相對來說，與等式基本性質(zhì)類比要方便經(jīng)濟的多，結(jié)構(gòu)、體系更好，更利于從整體上獲得感受和啟發(fā).不過，對那些記不住結(jié)論、容易犯忽略前提條件的學(xué)生，讓他們學(xué)會用“特殊化”驗證、判斷也還是很有用的.

在“背景—定義—表示—分類—（代數(shù)）運算、（幾何）性質(zhì)—聯(lián)系”這一套路中，主要談?wù)勗凇奥?lián)系”這一環(huán)節(jié)上的思考.

首先，基本事實和基本性質(zhì)之間的聯(lián)系.前面主要分析的是“用基本事實證明基本性質(zhì)”.必修5教材說“可以證明”，選修4-5“請同學(xué)們嘗試證明”，但都沒有給出證明.那么在實際教與學(xué)中，真正用基本事實逐一證明每條基本性質(zhì)的老師占多少？學(xué)生主動證明的有多少？說實話，這是心里很沒底的問法.拿筆者自己來說，多次教學(xué)該內(nèi)容，也只是這次因狠下決心要補上以前欠下的“功課”才逐條給出了證明.最大的感受是：口頭說說和動手做做原來是很不一樣的.要學(xué)生去證，教師最好先證；而且實踐出真知.筆者想起張奠宙先生最愛舉的例子“對頂角相等”定理，直觀感知與推理論證在價值和意義上是有差距的，這也許是章建躍老師批評“把‘能用基本性質(zhì)解決問題’作為目標(biāo)”的原因之一：功利短視，缺乏思想方法支撐，實際上也是缺乏“理性精神”的價值取向的表現(xiàn)！不等式基本性質(zhì)中的“對稱性”和“傳遞性”，確實是非常直觀、易于接受認(rèn)可，它們就像“對頂角定理”一樣，不難，但在基本思想方法熏陶、理性精神啟蒙上的作用卻份量不輕！

其次，6條基本性質(zhì)之間的聯(lián)系應(yīng)從運算角度統(tǒng)一為一個整體，然后以由簡到繁、由低級到高級（運算）展開為宜.需要指出的是，教材必修5將同向不等式的可加性和可乘性作為性質(zhì)5、6似乎欠妥，可能主要是出于使用它們方便的原故，而不是從邏輯角度考量；選修4-5將這兩條作為基本性質(zhì)的推論，而不是作為基本性質(zhì)本身這一做法筆者以為更恰當(dāng)，更能體現(xiàn)“基本”二字！

再次，對“聯(lián)系”的思考，可把觸角伸向不等式內(nèi)部系統(tǒng)的一些角落，用基本事實和基本性質(zhì)發(fā)展更多“下線”、證明其他一些重要不等式，如均值不等式、柯西不等式等，具體嘗試放在后面“出發(fā)點”再展開.

最后，將“聯(lián)系”由不等式拓寬到函數(shù)領(lǐng)域，特別是函數(shù)的單調(diào)性這一特殊視角.我們發(fā)現(xiàn)，對基本性質(zhì)可以有新的解讀：基本性質(zhì)第（3）（4）兩條與一次函數(shù)單調(diào)性掛鉤；（5）（6）與冪函數(shù)單調(diào)性聯(lián)系.各條基本性質(zhì)，條件視為自變量大小比較，結(jié)論視為對應(yīng)函數(shù)值大小，具體討論單調(diào)性時除了“定義法”外，還可考慮“導(dǎo)數(shù)法”，這對（5）（6）限制前提條件“正數(shù)范圍”會有更好的理解，對改變條件，調(diào)整結(jié)論會有更深的認(rèn)識.這種“新視角看舊問題”對教師來說是需要的，對學(xué)有余力的學(xué)生也是可以嘗試的.

3.將“基本事實和基本性質(zhì)”作為問題解決的出發(fā)點

教材反復(fù)提到“基本事實是研究不等關(guān)系的一個出發(fā)點”、“基本事實和基本性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù)，研究不等式時，經(jīng)常以它們作為出發(fā)點.”教材的編寫確實也努力體現(xiàn)這一基本思想，如在不等式的證明方法介紹中將“比較法”（出發(fā)點即是基本事實）作為最基本的方法；對基本不等式，特別是三元均值不等式給出作差“比較法”證明（需要一定的因式分解技巧）.下面筆者從不等式系統(tǒng)、函數(shù)與方程的聯(lián)系兩個方面，選取三個典型案例，對用不等式基本事實和基本性質(zhì)作為問題解決“出發(fā)點”進行探討.

案例1證明柯西不等式.

筆者曾在文3中指出：“觀察上式，若從分解展開入手，則‘路漫漫不知其修遠兮’”，實則是自己思考努力不夠.教材采用“構(gòu)造二次函數(shù)（a1，a2，…，an不全為零），通過配方，利用判別式推導(dǎo)出結(jié)果”，確實彰顯了“數(shù)學(xué)的和諧之美、奇異之趣”，但分解真的是“路漫漫不知其修遠兮”嗎？作為反思，筆者從不等式基本事實、計數(shù)原理出發(fā)得到以下三點新的認(rèn)識.

（1）從基本事實出發(fā)：要證（*）式，只需證“左-右≥0”即可.

（2）由計數(shù)原理和排列組合知識知，左邊展開共n2項，每項結(jié)構(gòu)是（i，j=1，2，…，n）；右邊展開項的結(jié)構(gòu)有兩種形式，n個（i=1，2，…，n）和（i，j=1，2，…，n）.

（3）由（1）（2）知，左右兩邊作差消去相同的n個a2ib2i（i=1，2，…，n）；左邊還剩n2-n=n（n-1）個a2ib2j（i，j=1，2，…，n且i≠j），正好與右邊的n）“配對”，即得到個“完全平方差”，所以左-右=

至此，可以看出筆者以前的“想當(dāng)然”實在是一種“偷懶”、“淺思”、“無思”的表現(xiàn)，教材“直接展開比較麻煩”的說法也不足取，它往往使得師生“望而卻步”，膽怯者連嘗試的勇氣都沒有了，這與課程目標(biāo)“形成契而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度”、“形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神”相去甚遠！筆者本人就是一個很好的反面例子！

案例2函數(shù)單調(diào)性與不等式.

函數(shù)單調(diào)性定義就是用不等式語言形式化定義的，譬如對單調(diào)遞增，我們先嘗試用文字語言表述：自變量大的函數(shù)值也大；再寫出形式化定義：?x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù).用定義證明單調(diào)性就是典型的“從不等式的基本事實出發(fā)”.

奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性的證明需用到不等式基本性質(zhì)（4）.

對兩個單調(diào)函數(shù)的和、差、積、商來討論函數(shù)的單調(diào)性，則更是以不等式基本性質(zhì)作為出發(fā)點的好例子.

問題1：函數(shù)y=f（x）、y=g（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（或遞減），試討論下列函數(shù)的單調(diào)性.

（1）y=f（x）+g（x）；（2）y=f（x）-g（x）；（3）y=f（x）·g（x）.

分析：對（1）可以用基本性質(zhì)的可加性證明；對（3）學(xué)生最容易誤認(rèn)“兩個增函數(shù)之積仍是增函數(shù)”為真命題，實質(zhì)上是由于對不等式可乘性前提條件“正數(shù)范圍”的認(rèn)識不足造成的；對（2）則可舉反例否定，從另一側(cè)面認(rèn)識不等式性質(zhì).

案例3方程根的討論.

問題2：若方程x2+（2k-1）x+k2=0有兩個大于1的實根，求實數(shù)k的取值范圍.

分析：僅從不等式角度討論.設(shè)方程兩個實根分別為x1，x2，將題中條件直譯為不等式組典型錯誤是認(rèn)為①與等價.從不等式基本性質(zhì)考慮，可以發(fā)現(xiàn)①只是②的充分而不必要條件，與①“貨真價實”等價的應(yīng)是對大家熟悉的從函數(shù)（圖像）建立不等式（組）的方法就不再討論了.

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)中不知還有許多重要而基本的東西，也或多或少地“沒納入教學(xué)視野”、“鮮去思考”，這實在是讓人“汗顏”、“良心難安”！筆者通過這次“亡羊補牢”的“功課”補還，對加強“四基”教學(xué)有了更深切的感受，特別是提高了對“基本思想方法應(yīng)當(dāng)是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的主線”（史寧中教授語）的認(rèn)識；“數(shù)學(xué)思想方法的力量無限，它蘊含于數(shù)學(xué)知識中，需要用心挖掘，應(yīng)成為數(shù)學(xué)教與學(xué)的根、手和船”，讓我們成為教學(xué)的有心人，大家多努力！

1.章建躍.數(shù)學(xué)思想方法的力量［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2013（10）.

2.章建躍.邏輯的連貫性和思想方法的一致性［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2013（6）.

3.方厚良.配方法的三個“經(jīng)典”［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2013（5）.F