☉云南省大理市第一中學(xué) 王永生

基于教材的數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的理論與實踐

☉云南省大理市第一中學(xué) 王永生

近期，筆者隨機聽了幾節(jié)平面向量的習(xí)題課，基本上都是教師講授一些學(xué)生有疑難的題，一節(jié)課講了有六七題之多.教學(xué)效率不高.培養(yǎng)學(xué)生的能力更是缺乏措施.習(xí)題課到底該怎么上？筆者從以下幾個方面談?wù)務(wù)J識.

一、高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)現(xiàn)狀分析

習(xí)題課的基本任務(wù)是鞏固和強化所學(xué)知識，解決學(xué)習(xí)疑難.這是共識，可現(xiàn)實情況如何呢？

1.教師未精選習(xí)題，進行精心備課

雖然師生從觀念上認可數(shù)學(xué)習(xí)題課的重要性，可對習(xí)題課的組織缺少理論的支撐，加上習(xí)題課的不確定性，多數(shù)教師還僅停留在經(jīng)驗的層面.具體操作過程中隨意性較大.這主要體現(xiàn)在對習(xí)題的選擇和備課環(huán)節(jié).

作為習(xí)題課的重要載體，習(xí)題的選擇至關(guān)重要. 2004年初審?fù)ㄟ^的人教A版普通高中課程標準實驗教科書的一個顯著特點是增加了大量的習(xí)題.每小節(jié)后有練習(xí)題，每一大節(jié)后有習(xí)題（分A、B兩組），每章結(jié)束后有復(fù)習(xí)參考題（分A、B兩組），此外，還有一定量的實習(xí)作業(yè)等.應(yīng)當說，這些經(jīng)過專家精挑細選的習(xí)題，有很多是值得師生在課堂上進行細細咀嚼的，如何用好這些習(xí)題更是值得探討的一個課題，可文1通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：69.7%的教師并沒有把習(xí)題作為課時作業(yè)來要求，一半以上的教師對教材習(xí)題的使用很隨意，視課堂教學(xué)情況而定.如果教學(xué)時間有余，就從中選幾道作為課堂練習(xí)；如果時間緊張，則留作學(xué)生課后選做.還有19.5%的教師根本不作任何要求，取而代之的是大量教輔書的使用.于是，更多的教學(xué)形式是課堂上師生快速學(xué)完概念、定理、公式后結(jié)合教材例題，學(xué)生做大量的教輔書上的題，教師多數(shù)的習(xí)題課就是選擇教輔書上學(xué)生不會做的題，如此輪回，而教材上的很多經(jīng)典習(xí)題卻被置之不理了.

“由于缺乏對習(xí)題課的深入研究，習(xí)題課在很多教師心目中就變成了習(xí)題‘處理’課.這樣一來，習(xí)題課的教學(xué)模式就變成了對答案、講錯題.”［2］所以相比較而言，習(xí)題課普遍缺乏計劃性，遠不如新授課準備得充分.更可怕的是，高三復(fù)習(xí)課正逐步演變成這樣的形式.難怪我們的學(xué)生永遠也跳不出“題?！?每次教學(xué)常規(guī)檢查，筆者曾有意識地就習(xí)題課的教案進行過普查，很遺憾，幾乎沒人認真?zhèn)溥^這方面的課.頂多將要講的題解一遍，可仍然缺乏系統(tǒng)、科學(xué)的設(shè)計.在整個教學(xué)過程中，何時需進行必要的習(xí)題課？應(yīng)選擇哪些題進行教學(xué)？通過怎樣的教學(xué)組織才能達到教學(xué)目的等一系列的問題似乎都未曾細致地思考過.

2.學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高，課堂教學(xué)效果差

“教師只有精心選題、備課，才能幫助學(xué)生構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu).”［3］選題不認真，未對所選的題進行深入地研究，沒有對所選的題有一個深刻的認識.備課不夠充分會導(dǎo)致諸多課堂問題.而最終的受害者往往是學(xué)生.文2從學(xué)生在習(xí)題課上的學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)行為、教師干預(yù)、學(xué)生收獲4個維度對高中數(shù)學(xué)習(xí)題課的綜合學(xué)習(xí)水平進行調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，習(xí)題課存在學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高，學(xué)習(xí)缺乏主動性，教師包辦過多，課堂交流少，習(xí)題課效果差等諸多問題.

雖然習(xí)題課在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有很重要的地位，但由于教師未精心選題，不進行認真?zhèn)湔n，課堂組織不合理，學(xué)生學(xué)習(xí)效果差已是不爭的事實.可問題是大家都清楚習(xí)題課的重要性，實際進行組織時卻未曾將其認真對待，只是簡單地將其等同于習(xí)題“處理”課.加之，各級行政管理部門也未對其進行必要的引導(dǎo)和指導(dǎo)，從來未見各種公開課和課賽以習(xí)題課形式出現(xiàn)的.可事實是，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，習(xí)題課卻大量存在著.應(yīng)該像習(xí)題是教材的重要組成部分一樣，習(xí)題課應(yīng)該非常正式地納入教學(xué)計劃中，具體確定所用課時，針對各個章節(jié)的教學(xué)配置相應(yīng)的習(xí)題課，而且習(xí)題課也應(yīng)該有詳細具體的教案.［2］

二、關(guān)于數(shù)學(xué)習(xí)題課的相關(guān)理論研究

“習(xí)題是數(shù)學(xué)知識的載體，是數(shù)學(xué)思想方法的生長點，蘊含著巨大的教育潛能.”［2］“數(shù)學(xué)習(xí)題課是數(shù)學(xué)課的一種重要課型，它的主要任務(wù)是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，形成熟練的技能、技巧，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高問題解決的能力.”［4］新課標強調(diào)對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，而習(xí)題課正是通過訓(xùn)練學(xué)生解題，達到鍛煉學(xué)生各方面能力的目的.由此可見，數(shù)學(xué)習(xí)題課在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有很重要的地位，深入研究習(xí)題課教學(xué)不僅是當下現(xiàn)實教學(xué)的迫切需要，而且對高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效提升具有更深層次的現(xiàn)實意義.

1.數(shù)學(xué)習(xí)題課的設(shè)計要求

基于數(shù)學(xué)習(xí)題課的任務(wù)和特點，在具體進行設(shè)計時要“按照整體、有序和適度的原則，做到有目的、有層次、有實效地逐步提高.”［4］

首先，教學(xué)目標要具有開放性.數(shù)學(xué)習(xí)題課的主要任務(wù)是通過典型的習(xí)題讓學(xué)生掌握問題解決的策略.那么對于典型的習(xí)題，其解決策略不應(yīng)是單一的、僵化的，而更應(yīng)該可以從多角度思考，全方位引申.結(jié)合學(xué)生的具體情況進行開放性的設(shè)計是一節(jié)好的習(xí)題課的先決條件.

其次，教學(xué)內(nèi)容要具有層次性.教材習(xí)題的編寫是按練習(xí)、習(xí)題（分A、B組）和復(fù)習(xí)參考題（分A、B組）的順序進行的.這已經(jīng)充分考慮到了層次性.可一般說來，數(shù)學(xué)習(xí)題有以下三個層次：第一個層次是基本練習(xí)，其主要作用是幫助學(xué)生回憶、鞏固所學(xué)的新知識.第二個層次是深化練習(xí)，其主要功能是加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，提高應(yīng)用水平.第三個層次是綜合題訓(xùn)練，其主要目的是加強知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)綜合運用知識、問題解決和創(chuàng)新的能力.由此可見，基于學(xué)生的認知水平，在習(xí)題的選擇和教學(xué)設(shè)計上應(yīng)充分考慮循序漸進、逐層上升的原則，對于難度相對有些難的綜合問題，必要時還須搭一些支架，扶著學(xué)生逐級而上.當然，習(xí)題的選擇應(yīng)盡可能以現(xiàn)有教材上的題為主，適當兼顧一些教輔資料上的題，并逐步引導(dǎo)學(xué)生嘗試求解一些具有一定訓(xùn)練價值的高考題，如此，方能給學(xué)生營造一種高考的根在教材，學(xué)習(xí)時不能好高騖遠、舍本逐末，過早陷入“題?！钡膶W(xué)習(xí)氛圍.

最后，教學(xué)活動要具有靈活性.數(shù)學(xué)給人的印象是枯燥的，數(shù)學(xué)習(xí)題的求解是艱辛和乏味的.所以，在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)充分考慮如何組織教學(xué)活動方能讓師生在愉悅的課堂中真正實現(xiàn)教學(xué)相長.當然，教學(xué)活動的組織形式多種多樣，可從學(xué)生的實際出發(fā)，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，在解題的實踐和探索的過程中實現(xiàn)能力的提高.此時，教師應(yīng)充分發(fā)揮自身的特長，適時引導(dǎo)和指導(dǎo)學(xué)生完成課堂教學(xué)，力爭做到既不缺位也不越位.切不可從頭講到尾，忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)感受.

2.數(shù)學(xué)習(xí)題課的常用模式

一方面要提倡教學(xué)活動的靈活性，給師生充分的自由，在問題解決的空間中遨游，但另一方面，作為一種重要的數(shù)學(xué)課型，其一定也存在著一些規(guī)律性的東西需要大家遵循，如此才不至于迷失方向.下面介紹兩種常用的習(xí)題課教學(xué)模式：［5］

一是“觀察—引導(dǎo)”模式，其操作過程如圖1所示.

圖2

“觀察—引導(dǎo)”模式一般從貌似簡單的問題入手，通過教師引導(dǎo)學(xué)生進行觀察和思考，最終尋找出其中隱含的規(guī)律，其常適用于對新知識的鞏固和提高；而“探究—解決”模式則是直接呈現(xiàn)比較困難的問題，通過層層設(shè)問，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在步步探究中發(fā)現(xiàn)解題策略，其常用于對舊知識的復(fù)習(xí)、總結(jié).事實上，教無定法，只要能從學(xué)生實際出發(fā)，設(shè)計出好的問題情境，選擇什么教學(xué)模式并不重要.

三、以教材習(xí)題為主的習(xí)題課教學(xué)設(shè)計

在“平面向量”整章學(xué)習(xí)的最后，安排一兩節(jié)習(xí)題課就顯得非常有必要了.但這樣的課就不能安排成簡單的習(xí)題處理課，而更應(yīng)該立足于學(xué)生的實際，結(jié)合本章的核心知識和方法，通過精選習(xí)題，設(shè)計有層次、靈活和開放的課堂，方能達成較好的教學(xué)效果.

考慮到平面向量的數(shù)量積兼具“數(shù)”和“形”的特征，是溝通代數(shù)、幾何和三角的一座橋梁，同時也是高考重點考查的內(nèi)容之一，所以可選擇求平面向量的數(shù)量積為突破口.

應(yīng)選擇什么樣的習(xí)題才能讓學(xué)生體會求數(shù)量積的基本方法，而且還不顯得那么吃力呢？現(xiàn)成的高考題較多，教輔資料上有關(guān)這方面的習(xí)題也不少，可考慮到學(xué)生還是初學(xué)這部分知識，其基本的解題能力還有待進一步培養(yǎng)，加之，教材上還有那么多習(xí)題，尤如一顆顆散落的珍珠，教師只要做一個有心人，將其盡可能地串成一條項鏈豈不更好.那應(yīng)選擇什么樣的教學(xué)方式才能讓這些習(xí)題之花在課堂教學(xué)中完美地盛開呢？前面兩種教學(xué)模式固然可選擇.可同樣考慮到這節(jié)課要立足中下層學(xué)生，并最終實現(xiàn)班級全體的有效教學(xué).那不妨借用文6所倡導(dǎo)的“低起點，小步子，樹信心，引方法，勤反饋，上臺階”的教學(xué)思路來進行設(shè)計.其交互作用如圖3所示，這猶如一朵美麗綻放的蓮花，不正是筆者所期待的效果嗎？基于此，筆者進行了如下的教學(xué)設(shè)計，為便于表述，特將人教社A版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修4簡稱為教材.

圖3有效教學(xué)基本思路要素的耦合關(guān)系圖

1.利用低起點，激活學(xué)生思維

師：同學(xué)們，平面向量是溝通“數(shù)”和“形”的一座橋梁，而平面向量的數(shù)量積以平面向量為載體，其結(jié)果卻是數(shù)的形式，如此別具一格的特征使其成為了高考的重點內(nèi)容，那如何求平面向量的數(shù)量積呢？讓我們從教材中的一些習(xí)題開始今天的探求之旅吧！

例1（教材第108頁習(xí)題2.4A組第2題）已知△ABC中，a=5，b=8，∠C=60°，求

師：誰上來到黑板上做？其他同學(xué)在下面求解.

師：同學(xué)們，生1做對了嗎？

生：（有些疑惑）……

圖4

生：噢！

師：同學(xué)們，此題很簡單吧?。▽W(xué)生沒反應(yīng)，估計此時不敢輕易下此結(jié)論了）確實，生1是有些輕敵了，做題時看似馬虎，實質(zhì)上是概念不清，加之又沒有作出圖形，用形來啟發(fā)思考，從而導(dǎo)致了這樣的錯誤.事實上，此題求解用數(shù)量積的定義不假，如圖5所示，a·b= |a|·|b|cosθ，其中θ=〈a，b〉∈［0，π］，其幾何意義為：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積.若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+ y1y2.

圖5

師：同學(xué)們，錯誤并不可怕.其實，哲學(xué)家黑格爾曾說：“錯誤本身仍是達到真理的一個必然環(huán)節(jié).”只要能夠理清錯因，那你離真理也就不遠了.

例2（教材第120頁復(fù)習(xí)參考題B組第1題（7））等邊三角形ABC的邊長為1c+c·a等于（）.

設(shè)計意圖：從教材上一道極易出錯的習(xí)題開始，通過學(xué)生間的辨析，深化對平面向量數(shù)量積定義中兩向量夾角的認識.同時利用教材上的一道習(xí)題可進一步強化定義法求數(shù)量積這一基本方法.

由于例1的起點較低，通過教師的引導(dǎo)和學(xué)生的反饋，在澄清錯誤的過程中激活了學(xué)生的思維，樹立了進一步解決問題的信心.

2.借助小步子，拓展學(xué)生思維

師：已知兩個向量的模長和其夾角的余弦值時，可直接用定義求其數(shù)量積.但若其中有不明確給出的量時，又該如何求數(shù)量積呢？

例3（例1改編）如圖6，在△ABC中，AB=2，AC=8，若點P為線段BC的中點，求的值.

圖6

師：此題若直接用定義則相對難求，但考慮到已知AB和BC的長度，若選擇為基底，利用向量的幾何運算，將都用基底表示則可完成求解，即

此法容易想到，由于選擇了用已知量作為基底通過轉(zhuǎn)化完成了計算，所以可稱為基底法.當然，從定義出發(fā)仍可求解，只不過此時利用幾何意義可能相對要容易一些，即過A點作BC的垂線，垂足為D.設(shè)BD=m，DC=n，由勾股定理可知4-m2=64-n2?n2-m2=60，則由數(shù)量積的幾何意義可知可以看作的長度與上的投影的乘積，因為所以

此法較簡單，但確實不容易想到，若掌握了此法，則成為解決此類問題的一把利器.

師：以上兩種方法都是從形的角度進行的，別忘了平面向量兼有數(shù)的特征，那此題能否從數(shù)的角度進行思考呢？

生3：（思考片刻后）如圖7，以B為原點，BC為x軸建立直角坐標系，若設(shè)A（x，y），C（2a，0），P（a，0），則由4a2-4ax=60，所以

圖7

師：真是不容易，計算有些煩瑣，可此法也是求平面向量數(shù)量積的常用方法，至此，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會了四種方法：定義法、基底法、投影法和坐標法，下面請同學(xué)們嘗試用以上方法解決下面的問題.

例4（教材第108頁習(xí)題2.4B組第4題改編）如圖8，在圓C中，若AB=2，求的值.

圖8

設(shè)計意圖：例3直接從例1改編而來，目的是通過此題的求解，讓學(xué)生進一步掌握平面向量數(shù)量積的另外三種求法，雖然步子較小，但這些方法學(xué)生不易想到，所以必須借助教師的引導(dǎo)和講授方能達成目的，通過學(xué)習(xí)和后面練習(xí)（例4）的訓(xùn)練，學(xué)生基本掌握了數(shù)量積的常用求法，學(xué)習(xí)信心將進一步大增.

3.趁勢上臺階，優(yōu)化學(xué)生思維

師：同學(xué)們，我們已學(xué)會了求平面向量數(shù)量積的幾種方法，若將例3改為下面的問題，則應(yīng)如何求解為好呢？

例5（例3改編）如圖9，在△ABC中，AB=2，AC=8，若點P為△ABC的外心，求的值.

圖9

師：同例3一樣，基底法、投影法和坐標法仍可適用，下面請三位同學(xué)上臺分別板演三種求解方法，其余的同學(xué)任選一種求解.

生：（學(xué)生求解，教師適當進行指導(dǎo)和點評）……

師：從結(jié)果上看，結(jié)合例3，你有何發(fā)現(xiàn)？能總結(jié)出一般性的結(jié)論嗎？

師：能結(jié)合求解過程進行解釋嗎？

師：很好.最后請大家完成下面的題.

圖10

例6（教材第120頁復(fù)習(xí)參考題B組第8題）在△ABC中，若那么點O在△ABC的什么位置？

設(shè)計意圖：應(yīng)當說，例3學(xué)完后，學(xué)生的思維已經(jīng)上了一個臺階，此時設(shè)計例5的目的一方面是為了鞏固從例3所學(xué)到的方法，另一方面是為了引導(dǎo)學(xué)生再往上走一步，直到弄清此類問題的本質(zhì)，雖然要求有些高，可由于是趁勢而上，有一種水到渠成之感.

教材上的習(xí)題應(yīng)是習(xí)題課首選的題目.分析清楚每一道習(xí)題的解法，結(jié)合自身教學(xué)的需要，充分挖掘每一道習(xí)題的功能，“將那些思想性強，反應(yīng)數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)容、習(xí)題進行大膽取舍整合”，［7］讓教材上的習(xí)題之花在課堂教學(xué)中完美地盛開.這不僅是每位數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的需要，更是讓學(xué)生重視教材，不盲目陷入“題?！钡男枰?

對高中數(shù)學(xué)習(xí)題課再怎么深入研究都不為過，此處只是對高一、高二平常學(xué)習(xí)過程中習(xí)題課的一種嘗試，那么對高三復(fù)習(xí)過程中的習(xí)題課應(yīng)如何設(shè)計為好呢？這仍是一個十分值得研究的課題，期待大家能夠在這個方面進行探討.

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