☉江蘇省蘇州市陸慕高級(jí)中學(xué)袁衛(wèi)剛

讀懂教材之意，體驗(yàn)理念之真
——記“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”教學(xué)的心路歷程

☉江蘇省蘇州市陸慕高級(jí)中學(xué)袁衛(wèi)剛

2014年12月上旬，筆者所在學(xué)校與蘇州市其他兄弟學(xué)校聯(lián)合舉行了一次課例展示活動(dòng)，筆者有幸開設(shè)了一節(jié)“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”課.在研究教材、研究學(xué)情的基礎(chǔ)上反復(fù)打磨，在不斷思考和實(shí)踐中三次改進(jìn)，逐步完善.整個(gè)歷程使筆者感觸很深，自己對(duì)教材的理解和把握，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)在這個(gè)過程中有了許多提升.現(xiàn)結(jié)合改進(jìn)前后的教學(xué)設(shè)計(jì)和部分教學(xué)實(shí)錄，來談?wù)勛约旱囊恍┧伎迹凑?qǐng)同行指正.

蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》選修2-1“2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義”是在學(xué)生學(xué)習(xí)完必修2“平面解析幾何初步”中橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)之后的內(nèi)容.通過統(tǒng)一定義從總體上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三種圓錐曲線的關(guān)系，并能應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)解決具體問題.所以筆者在第一次備課的時(shí)候，按照“回憶—觀察—發(fā)現(xiàn)—應(yīng)用”的順序推進(jìn).

一、初始設(shè)計(jì)

（1）復(fù)習(xí)拋物線的概念——到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，也就是說這兩個(gè)距離的比值為1，是一個(gè)定值.

（2）通過觀察幾何畫板的演示，發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F（-3，0）的距離和到一條定直線l：x=3的距離的比等于和2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡分別是橢圓和雙曲線.

（3）通過回憶橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，曾得到過這樣一個(gè)方程將其變形為讓學(xué)生解釋這個(gè)方程的幾何意義，緊接著得出圓錐曲線的統(tǒng)一定義.然后給出橢圓（a＞b＞0）的兩條準(zhǔn)線方程，通過驗(yàn)證這一性質(zhì)，再發(fā)現(xiàn)橢圓通過類比給出雙曲線的兩類準(zhǔn)線方程.

（4）通過例題的講解，對(duì)獲得的新知加以鞏固、辨析及應(yīng)用.

【思考】這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生對(duì)整個(gè)知識(shí)是能理解的，對(duì)知識(shí)的獲得是能接受的.但是，筆者仔細(xì)回憶聽其他老師上課時(shí)的感受，發(fā)現(xiàn)課堂中概念的生成顯得不是很自然，只是看到老師在用幾何畫板演示，最后給出了兩個(gè)圖形，就說一個(gè)是橢圓，另一個(gè)是雙曲線.這在本質(zhì)上還是老師所給予的.再者，在回憶橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程這個(gè)環(huán)節(jié)上，學(xué)生由于普遍對(duì)前面所學(xué)的內(nèi)容有所遺忘，而且這個(gè)推導(dǎo)過程在得出標(biāo)準(zhǔn)方程之后就沒怎么用過，所以得出時(shí)學(xué)生普遍感覺陌生，式子給出感覺突然，這其實(shí)也還是老師給予了這個(gè)發(fā)現(xiàn).

二、注重知識(shí)的生成與發(fā)展

波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”.所以為了能讓學(xué)生更自然地得到新的概念，能夠參與到概念的發(fā)生和發(fā)展的過程中去，筆者決定按照“設(shè)問—嘗試—論證—探究”的順序推進(jìn)下去.

試上片斷如下所示.

問題1：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線的定義，請(qǐng)同學(xué)們回顧敘述.

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡是橢圓；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|的正數(shù)）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線；平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離相等的點(diǎn)P的軌跡是拋物線.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.圓錐曲線能不能有一個(gè)統(tǒng)一的定義呢？

拋物線上的點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等，也就是說距離的比等于1.當(dāng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離的比值是一個(gè)不等于1的常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡又是什么曲線呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線的定義，比較它們之間的差別（拋物線只有一個(gè)定點(diǎn)，外加一條定直線，而且距離相等），聯(lián)想考慮圓錐曲線是否有一個(gè)統(tǒng)一的定義.

問題2：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F（-3，0）的距離和到一條定直線l：x=3的距離的比等于或2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生自主探究，讓他們?nèi)ゲ孪脒@個(gè)軌跡的圖形特征，老師通過幾何畫板幫助學(xué)生猜想，得到大概圖形為橢圓和雙曲線.

師：如何來證明所得圖形就是橢圓呢？

學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

問題3：在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在一定點(diǎn)和定直線，使橢圓上任一點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離的比是一個(gè)定值？

學(xué)生猜想：定點(diǎn)為焦點(diǎn).

師追問：有兩個(gè)焦點(diǎn)，以其中一個(gè)F2為定點(diǎn)，那么定直線呢？比值是什么呢？

問題4：如何表示|PF2|？求|PF2|的最大值與最小值.

|PF2也就是說|PF2|只與P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x有關(guān).

【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)所學(xué)曲線的概念，嘗試找到一個(gè)統(tǒng)一的定義.再通過一組問題串，引導(dǎo)學(xué)生探究出問題中的定直線與定值，對(duì)前面的猜想作出解釋.然后得出橢圓的第二定義，再類比得出雙曲線的定義，和拋物線的定義統(tǒng)稱為圓錐曲線的統(tǒng)一定義，再利用例題進(jìn)一步鞏固.

【思考】這樣的設(shè)計(jì)所提出的問題是前一段時(shí)間經(jīng)常訓(xùn)練的問題——?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題.學(xué)生通過利用前面所學(xué)的處理問題的方法：消元，化簡，配方，能順利且自然地探究得到橢圓（雙曲線）的定直線（準(zhǔn)線），也可以得到解決曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的常用思想方法——化斜為直，也感受到了解析幾何中利用代數(shù)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)并證明幾何性質(zhì)的過程，體現(xiàn)了解析幾何的精髓，為后續(xù)處理定點(diǎn)、定值問題提供了范例.

通過實(shí)際操作，發(fā)現(xiàn)仍有很多方面存在問題.學(xué)生在給出具體實(shí)例探究圖形的時(shí)候幾乎無從下手，找不到符合要求的點(diǎn)，以至于自己得不到對(duì)圖像的感性認(rèn)識(shí)，這部分同學(xué)只能停下手中的筆等待老師用幾何畫板來演示.實(shí)質(zhì)上這些同學(xué)沒有能夠參與到知識(shí)的生成中來，還有一部分同學(xué)干脆直接求出點(diǎn)所滿足的軌跡，其中有的同學(xué)由于感覺運(yùn)算比較復(fù)雜而停止了.只有少部分同學(xué)得出了等式，但是最后還是沒有得到是橢圓這個(gè)結(jié)論.學(xué)生在處理比值是2這個(gè)問題時(shí)基本都無暇顧及，形同虛設(shè).還有聽課同事提出來：把“滿足到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比的點(diǎn)的軌跡問題”反過來問成：“是否存在定點(diǎn)、定直線，使橢圓上任一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是定值”，思維跳躍性比較大，學(xué)生不理解為什么要解決這個(gè)問題，該問題與原問題有何聯(lián)系，這時(shí)，不理解的同學(xué)也沒有參與進(jìn)來.

三、注重學(xué)生參與知識(shí)的建構(gòu)

根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，學(xué)習(xí)者只有通過對(duì)自己經(jīng)驗(yàn)的解釋，才能建構(gòu)自己最真實(shí)的理解；學(xué)習(xí)者只有通過廣泛的思考交流，才能創(chuàng)建具有自主意識(shí)的新知識(shí).學(xué)生是認(rèn)知的主體，是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主動(dòng)建構(gòu)者，在課堂教學(xué)中應(yīng)以學(xué)生為中心，教師是認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)過程的組織者、指導(dǎo)者、促進(jìn)者.所以筆者決定再次修改，以“預(yù)設(shè)—活動(dòng)—演示—引申”為順序進(jìn)行.

借班試上片斷如下所示.

（繼續(xù)之前的復(fù)習(xí)回顧、創(chuàng)設(shè)問題情境）通過復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線的定義，比較之間的差別（拋物線只有一個(gè)定點(diǎn)，外加一條定直線，而且距離相等），引出問題.

問題：平面內(nèi)點(diǎn)F到直線l的距離為6，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l的距離的比等于，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么呢？

學(xué)生最先探究出滿足要求的點(diǎn)在一過點(diǎn)F的橫線上（如圖），繼續(xù)發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)在過點(diǎn)F的豎線上，由直角三角形三邊為3、4、5得出兩點(diǎn)，通過嘗試總結(jié)出了找符合要求的點(diǎn)的規(guī)律，先確定要找點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以確定到直線的距離，再找到定點(diǎn)F的距離符合要求的點(diǎn).這樣同學(xué)們?nèi)菀撞孪氤鲕壽E為一個(gè)橢圓.

然后教師因勢利導(dǎo)，利用學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的規(guī)律，通過幾何畫板描出點(diǎn)的軌跡.

接著，借助比值的變化，發(fā)現(xiàn)比值是大于1的數(shù)時(shí)軌跡變?yōu)殡p曲線，比值越大張口越大，比值小于1時(shí)比值越小得到的橢圓越“圓”，讓學(xué)生把這個(gè)比值與前面學(xué)過的離心率取得聯(lián)系，為后面猜想定值做好鋪墊.

緊接著，老師提問：得到的曲線真是橢圓嗎？你如何加以證明？

生：建立坐標(biāo)系！

師：如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

生：焦點(diǎn)！

師：那好，我們選擇兩個(gè)焦點(diǎn)中的一個(gè)F2（c，0），那么定直線又在哪里？比值是多少呢？

學(xué)生猜想：由曲線的對(duì)稱性，定直線要與x軸垂直，可設(shè)為x=m；比值應(yīng)該是

師：那我們來嘗試一下.我們?nèi)绾伪硎境鰴E圓上任一點(diǎn)P到點(diǎn)F2（c，0）的距離？

接著，通過對(duì)稱性得到與焦點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，以及焦點(diǎn)在y軸上時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，學(xué)生自主類比得到雙曲線的準(zhǔn)線，最后逐步完善得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，再通過例題加以應(yīng)用鞏固.

【思考】這樣的設(shè)計(jì)相比之前，學(xué)生的參與度已比較高了，整個(gè)探究的過程也比較自然順暢，學(xué)生也在描點(diǎn)操作和探究過程中體會(huì)到了化斜為直的思想，經(jīng)歷了從特殊到一般的探究過程.在此過程中，學(xué)生對(duì)概念的運(yùn)用價(jià)值有了一定的認(rèn)識(shí)，在自主探究的過程中也充分利用了自己前面所學(xué)的知識(shí)，為以后學(xué)生處理相關(guān)問題起到了示范作用，也激起了學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的欲望，培養(yǎng)了自主學(xué)習(xí)能力.

但是在建立坐標(biāo)系的時(shí)候，還是有一些同學(xué)想到了和拋物線一樣的坐標(biāo)系，即以F（-3，0）和l：x=3來求軌跡方程，說明部分學(xué)生樂于利用代數(shù)方法在求點(diǎn)的軌跡方面去探究.老師的預(yù)設(shè)是為了能順利地把學(xué)生引入到自己預(yù)設(shè)好的環(huán)節(jié)上來，這樣的設(shè)計(jì)有可能限制了部分學(xué)生的思維，不能完全調(diào)動(dòng)那些學(xué)生的主觀能動(dòng)性，沒有以學(xué)生為主體開展教學(xué).學(xué)生已經(jīng)能通過所學(xué)知識(shí)來求出軌跡，為何不能讓他們自由發(fā)揮呢？

四、注重學(xué)生個(gè)性差異發(fā)展

布魯納（J.S.Bruner）認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)象的表征有活動(dòng)性表征、圖像性表征、符號(hào)性表征，解析幾何問題往往會(huì)有多元表征，而由于學(xué)生個(gè)體偏好差異，和對(duì)前面所學(xué)的知識(shí)的接受程度的差異，以致于學(xué)生有可能用不同的方法來解決問題.教師應(yīng)對(duì)學(xué)生個(gè)體的差異化進(jìn)行差別化設(shè)計(jì)，在學(xué)生自身的最近發(fā)展區(qū)基礎(chǔ)上因勢利導(dǎo)，讓每一個(gè)同學(xué)都感受到解決問題的愉悅.通過同學(xué)展示自己探究出的成果，讓同學(xué)們從不同的方法中進(jìn)行比較，使自己的方法更加優(yōu)化；對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的多元表征在多方面進(jìn)行比較以逐步適應(yīng)各種表征形式，使自己的思維更加開闊.所以最后決定以“疑惑—探究—展示—提煉”展開最后的教學(xué).

教學(xué)實(shí)錄如下所示.

（復(fù)習(xí)和問題情境環(huán)節(jié)保持不變，提出具體問題還是給出坐標(biāo)系和點(diǎn)坐標(biāo)）

問題：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F（-3，0）的距離和到一條定直線l：x=3的距離的比等于的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么呢？

學(xué)生活動(dòng)：網(wǎng)格紙已給出點(diǎn)的坐標(biāo)，有部分學(xué)生還是利用描點(diǎn).學(xué)生探究完之后，用實(shí)物投影儀投出導(dǎo)學(xué)案，并自己作出解釋.

生1：我先發(fā)現(xiàn)（-1，0）、（-9，0），因?yàn)檫@兩點(diǎn)都在x軸上，此時(shí)的距離都可用水平的線段來表示.后來發(fā)現(xiàn)了（-3，3）、（-3，-3），這兩點(diǎn)到點(diǎn)F的距離可以利用兩條豎直線段來表示，再發(fā)現(xiàn)（-7，3）、（-7，-3），因?yàn)橛兄苯侨切稳厼?、4、5，得到斜線段為5.

師：還能作出其他點(diǎn)嗎？

生1：不太好作，不過可以先確定這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再以點(diǎn)F為圓心作以為半徑的圓就能確定這點(diǎn)了.

師：好！我們利用幾何畫板幫助生1完成這個(gè)工作吧！

老師用電腦演示，學(xué)生猜想出軌跡為橢圓，再把比值變化一下看出軌跡，從橢圓變到拋物線、雙曲線.

師：怎么證明你所得的圖形就是橢圓呢？生2，你是怎么做的？

生2：我直接解出了軌跡方程，但不知道表示什么圖形.

經(jīng)過全班同學(xué)合作，把生2得到的方程（x+3）2+y2=展開、化簡、配方整理，得到

師：也就是說，這個(gè)橢圓上的點(diǎn)到F（-3，0）與到一條定直線l：x=3的距離的比為.若橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)仍應(yīng)有這樣的性質(zhì)，那么，此時(shí)這個(gè)點(diǎn)、這條直線在哪里呢？

生2：我知道了，是橢圓！只要把坐標(biāo)系適當(dāng)調(diào)整就能得到標(biāo)準(zhǔn)方程了，而且這個(gè)點(diǎn)F就是橢圓的焦點(diǎn)！

【設(shè)計(jì)意圖】通過逐步引導(dǎo)學(xué)生平移圖形，最終讓學(xué)生明白，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)橢圓，其上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與到一條定直線的距離之比是小于1的常數(shù)，接下來繼續(xù)探究這個(gè)定點(diǎn)與定直線.

師：好，這樣就把生1的疑問解決了！在一般情況下，在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，這個(gè)點(diǎn)F是哪個(gè)，這條直線是哪條，這個(gè)比值是多少？

生：從上面的方程可得到點(diǎn)F也為焦點(diǎn).

師：接下來怎么處理呢？

生：可以先表示出曲線上任一點(diǎn)P到點(diǎn)F2（c，0）的距離，可化簡成我們?cè)谇懊嫣幚磉^曲線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大值和最小值問題，當(dāng)時(shí)就發(fā)現(xiàn)了，就是不知道它原來還是一個(gè)性質(zhì).

師：所以以后處理點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為到這一直線的距離了，是吧？

師：我們還可以得到雙曲線也有類似的性質(zhì)！拋物線有嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)逐步得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并通過類比完成課本上的表格，使知識(shí)更具有系統(tǒng)性，最后通過例題鞏固所學(xué)新知，整個(gè)過程比較流暢.

一節(jié)好課與教師周密的教學(xué)設(shè)計(jì)是分不開的.教師還要努力提升自己的教學(xué)理論，通過反復(fù)的思考總結(jié)調(diào)整，使自己所上的課能更加符合教學(xué)規(guī)律，能更加注意任務(wù)的呈現(xiàn)方式，關(guān)注學(xué)生的參與程度，更能從學(xué)生個(gè)體認(rèn)知水平出發(fā)，使每一個(gè)學(xué)生都能有所收獲，都能感受到學(xué)習(xí)的快樂.本節(jié)課通過三次修改，分別關(guān)注了知識(shí)的生成與發(fā)展，使之更加自然流暢，又針對(duì)學(xué)生能真正主動(dòng)參與而修改設(shè)計(jì)，調(diào)整了任務(wù)給出的形式，也關(guān)注了學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知水平，讓他們自由探究展示成果，注重了學(xué)生個(gè)體的發(fā)展．最終整個(gè)課堂更加靈動(dòng)、本真.

1.黃榮金，李業(yè)平.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究［M］.上海：上海教育出版社，2010.A