金巖

摘要：整體意識(shí)是影響學(xué)生思維方式，正確、合理地處理問題的重要意識(shí)。在實(shí)踐中，追尋三重境界：第一，著眼整體，考察聯(lián)系，體悟思想;第二，鳥瞰全局，把握實(shí)質(zhì)，突破常規(guī);第三，研究全面，理清脈絡(luò)，周密思考。整體意識(shí)能促進(jìn)人素養(yǎng)的整體提升，進(jìn)而促進(jìn)人的和諧發(fā)展。

關(guān)鍵詞：整體意識(shí);數(shù)學(xué)教學(xué);聯(lián)系;實(shí)質(zhì);全局

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2015）09A-0072-04

一個(gè)人離開學(xué)校之后，在學(xué)校學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)可能很快就會(huì)遺忘，但積淀下來的數(shù)學(xué)意識(shí)可能影響他工作、學(xué)習(xí)和生活中處理問題的方式和方法。在數(shù)學(xué)意識(shí)中，整體意識(shí)是影響學(xué)生思維方式，正確、合理地處理問題的重要意識(shí)。碎片化的知識(shí)學(xué)習(xí)往往容易造成學(xué)生機(jī)械、單一地看問題。長(zhǎng)此以往，學(xué)生看待問題往往是片面的，缺乏對(duì)影響問題的各種因素的聯(lián)系和結(jié)構(gòu)的考察，這樣就不能從整體上把握問題，給問題解決帶來障礙。這潛在地導(dǎo)致學(xué)生將來面臨復(fù)雜問題時(shí)，不能宏觀、整體、系統(tǒng)把握，可能會(huì)方向偏離，甚至錯(cuò)誤地處理問題，造成問題解決的失當(dāng)和失敗。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，我們就要有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生的整體意識(shí)，跳出細(xì)枝末節(jié)，用整體、聯(lián)系的眼光研究問題，積累用整體意識(shí)解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為方法論和思維方式的形成奠定基礎(chǔ)。

目標(biāo)境界之一：著眼整體，考察聯(lián)系，體悟思想

一次研討課的失敗經(jīng)歷，讓筆者覺醒，并開始反思，再落實(shí)到行動(dòng)。

【案例1】

在四年級(jí)的乘法分配律的運(yùn)用中，有這樣一道題目：56×99+56。教師沒有給學(xué)生任何提示，讓學(xué)生嘗試探索。

生1：99接近100，把99看作100來乘，再把多算的減去 56×99+56=56×（99+1）-56+56

=56×100-56+56=5544+56=5600。

生2：我把99看作100-1，56×99+56=56×（100-1）+56=56×100-56×1+56

=5600-56+56=5600。

生3：把56看作56×1，56×99+56=56×99+56×1=56×（99+1）=56×100=5600。

師：同學(xué)們，你喜歡哪種方法？

生4：我喜歡第一種方法，因?yàn)?9接近100，就先把它看作100，多算了再減。

生5：把99看成100與1的差，利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，我覺得第二種方法更好。

生6：第三種方法，把56看成56與1的乘積后，就符合乘法分配律形式，轉(zhuǎn)化為56乘99與1的和，非常簡(jiǎn)便，所以我喜歡第三種方法。

學(xué)生們各抒己見，最后教師說：“每位同學(xué)都有自己喜歡的方法，喜歡哪一種方法就用哪一種方法做吧！”

課后交流時(shí)，教師們普遍認(rèn)為學(xué)生們應(yīng)用乘法分配律的水平參差不齊，教師缺乏引領(lǐng)和提升，不少學(xué)生停留于自己的原有認(rèn)知水平，并沒有獲得應(yīng)有的發(fā)展。不能不說，這節(jié)課是失敗的。在聽取他們意見的基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步反思。

【反思】

尊重學(xué)生算法的多樣化，并不意味著不去進(jìn)行方法的比較與優(yōu)化。作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生，課堂上有發(fā)表自己想法的權(quán)利。作為主導(dǎo)的教師，更有責(zé)任和義務(wù)將學(xué)生的算法作為進(jìn)一步展開教學(xué)的資源，從學(xué)生真實(shí)的起點(diǎn)出發(fā)，引發(fā)各種算法間的碰撞和交流，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生新的思考，反思并改進(jìn)自己的算法，提升運(yùn)算能力。筆者的問題在于，不但沒有引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注算法的優(yōu)化，更深層次的是缺乏從整體意識(shí)的高度關(guān)注學(xué)生的思考。只從局部孤立地看算式中的一部分“56×99”，應(yīng)用乘法分配律計(jì)算后再與56相加，雖然不乏合理成分，但缺乏對(duì)算式結(jié)構(gòu)的整體把握和聯(lián)系思考。當(dāng)我們整體上來考察算式時(shí)，更應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生觀察整個(gè)算式中各部分的特征和聯(lián)系，比如，除了發(fā)現(xiàn)“×99”，還應(yīng)當(dāng)看到兩個(gè)“56”，從而思考結(jié)構(gòu)上的關(guān)聯(lián)。另一方面，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系后，對(duì)照乘法分配律的結(jié)構(gòu)，我們發(fā)現(xiàn)缺失后能夠?qū)λ闶竭M(jìn)行構(gòu)造，這種構(gòu)造就是一種基于整體觀察的“再創(chuàng)造”。這樣的“再創(chuàng)造”不僅豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，也使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的乘法分配律的結(jié)構(gòu)具有了開放性和包容性，成為一種容量更大的模塊，更便于提取和應(yīng)用。

筆者的第二次實(shí)踐：

1.出示：在□里填上合適數(shù)，在○里填上運(yùn)算符號(hào)。（題略）

2.讓學(xué)生嘗試計(jì)算56×99+56后，組織交流算法。

出現(xiàn)的方法與上面相類似，讓學(xué)生們比較幾種方法，并說說覺得哪種方法最簡(jiǎn)便。

小組交流后，意見趨于統(tǒng)一。這時(shí)，教師要求學(xué)生體會(huì)：為什么第三種方法簡(jiǎn)便？它的“過人之處”在哪？

生1：它巧妙地把56寫成一個(gè)乘法算式，這樣就符合了乘法分配律的形式，應(yīng)用乘法分配律后，99與1就湊成了100，計(jì)算就很簡(jiǎn)便了。

師：你還能舉幾個(gè)這樣的例子嗎？

生2：27+27×99

生3：35×98+70

師：咦！這樣的算式還能用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便嗎？

此時(shí)，學(xué)生們已是爭(zhēng)先恐后，紛紛嚷著：把70改寫成35×2。

……

【思考】

第二次實(shí)踐首先以填空的形式對(duì)乘法分配律進(jìn)行正和反的簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓學(xué)生熟悉其結(jié)構(gòu)，在頭腦中形成圖式，便于檢索和應(yīng)用。實(shí)踐表明：學(xué)生通過觀察完全能調(diào)動(dòng)起已有的相關(guān)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)達(dá)成這樣的認(rèn)識(shí)：99個(gè)56加1個(gè)56，即100個(gè)56。再將這種理解與乘法分配律的結(jié)構(gòu)模型實(shí)現(xiàn)“對(duì)接”，即可實(shí)現(xiàn)運(yùn)算律的靈活應(yīng)用。從“56”到“56×1”不僅是一種數(shù)與式的變換，更重要的是把握整體、考察算式內(nèi)在的聯(lián)系后，順應(yīng)運(yùn)算律結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)模型化的一次對(duì)數(shù)學(xué)思想本質(zhì)的深度體悟。在課堂中，教師不能輕易放棄這種絕好的觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)、發(fā)展整體意識(shí)的契機(jī)。而從“70”到“35×2”又是一次思維跨度上的躍進(jìn)。無疑著眼整體，考察算式內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)構(gòu)化、開放化地應(yīng)用乘法分配律已成為學(xué)生的自覺意識(shí)。

無論是在低年級(jí)的數(shù)的大小比較、有關(guān)數(shù)的運(yùn)算，還是中年級(jí)的其他運(yùn)算律，筆者都以著眼整體，考察聯(lián)系，體悟思想為目標(biāo)進(jìn)行了嘗試，均取得了讓人驚喜的效果。

布魯納等人曾做一實(shí)驗(yàn)，受試學(xué)生分為兩組。一組采取整體法的策略，即從整體出發(fā)注意各部分的關(guān)系以解決問題;另一組采取部分法的策略，即從部分出發(fā)將各部分總合起來以解決問題。他們的任務(wù)是從一系列的卡片中，根據(jù)內(nèi)容的特性抽出概念，擬定假設(shè)、解決問題。研究結(jié)果表明，不論問題的難易或特性的多少，問題的解決都是整體法優(yōu)于部分法。數(shù)學(xué)是一種模式的科學(xué)。當(dāng)我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生應(yīng)用模式時(shí)，有意識(shí)地滲透要不拘泥于問題的局部，著眼于問題的整體，考察問題的條件之間內(nèi)在聯(lián)系和問題的結(jié)構(gòu)等思想是教師不可或缺的理念。我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生更關(guān)注數(shù)學(xué)概念、法則、定律、公式的結(jié)構(gòu)，同時(shí)對(duì)這些數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)同要形成具有開放結(jié)構(gòu)的認(rèn)知圖式。這樣，才能增加思維的跨度，增強(qiáng)直覺思維能力，在面臨新的問題時(shí)善于將問題結(jié)構(gòu)化，從而達(dá)到數(shù)學(xué)知識(shí)的順利應(yīng)用。唯其如此，我們的學(xué)生才能逐步形成宏觀把握、整體思考的初步意識(shí)。

目標(biāo)境界之二：鳥瞰全局，把握實(shí)質(zhì)，突破常規(guī)

初嘗成功的甜頭后，筆者又定位于能鳥瞰全局，把握實(shí)質(zhì)，突破常規(guī)的目標(biāo)。下面就是筆者的一次嘗試。

【案例2】

“長(zhǎng)方形周長(zhǎng)”的練習(xí)課中，教師出示了這樣一個(gè)問題供學(xué)生解決：右圖是兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形拼成的。它的周長(zhǎng)是多少厘米？

或許由于不斷強(qiáng)化周長(zhǎng)的概念，學(xué)生們努力去尋找圍成這個(gè)圖形每條邊的長(zhǎng)。不少學(xué)生遇到了一定的困難。在數(shù)學(xué)上善于發(fā)現(xiàn)的亦涵首先找到突破口：“我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)和差問題，長(zhǎng)寬之和是16厘米，長(zhǎng)寬之差是4厘米。因此，16+4=20（厘米）就是兩條長(zhǎng)之和了。寬就是10-4=6厘米。”受她的啟發(fā)，思萌說：“我們也可以用（16-4）÷2=6（厘米）求出寬……”教師環(huán)顧四周，發(fā)現(xiàn)她倆的響應(yīng)者并不多，畢竟“和差問題”的解決方法對(duì)于不少同學(xué)來說有些困難。更重要的是，關(guān)注局部，去尋找每條邊的長(zhǎng)，再求周長(zhǎng)并非解決問題的最佳策略。教師清楚地意識(shí)到學(xué)生們已經(jīng)形成了一種思維定勢(shì)：要求周長(zhǎng)，就要先知道每條邊的長(zhǎng)。如何突破這樣的定勢(shì)，著眼整體去考慮呢？教師話鋒一轉(zhuǎn)：“同學(xué)們，還能找到其他方法嗎？”同學(xué)們的思維陷入困境。教師加以誘導(dǎo)：“求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，同學(xué)們喜歡用長(zhǎng)與寬的和乘2來算。那么，這個(gè)由兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成L形的周長(zhǎng)與原來長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬之和有什么關(guān)系呢？”這樣啟發(fā)后，學(xué)生們不再糾纏于去尋找每條邊的長(zhǎng)了，紛紛跳出了原有的“框框”，開始從整體上來考慮這一組合圖形的周長(zhǎng)與原來的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)之間的聯(lián)系，把長(zhǎng)寬之和作為一個(gè)整體去“度量”眼前這個(gè)新圖形。不一會(huì)兒，學(xué)生們興奮地舉起手：“我發(fā)現(xiàn)！我發(fā)現(xiàn)！”。楊磊說：“老師，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)可以看成原來長(zhǎng)方形的三個(gè)長(zhǎng)寬之和還多4厘米。所以，可以用16×3+4來算?！毙缾偨又f：“把右上角的兩條邊平移后變成一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)不變。這樣，也能夠看出圖形的周長(zhǎng)是三個(gè)長(zhǎng)寬之和加上4厘米?！?/p>

【思考】

拘泥于局部，機(jī)械地尋找每條邊的長(zhǎng)度，就會(huì)讓學(xué)生鉆進(jìn)繁瑣分析、復(fù)雜推理的“胡同”。顯然，這個(gè)“胡同”讓缺乏相應(yīng)知識(shí)和方法準(zhǔn)備的學(xué)生遭遇障礙。如果為順應(yīng)這個(gè)方法，去補(bǔ)教“和差問題”而“曲線救國”，顯然失卻了問題探究的最大價(jià)值。教師在學(xué)生利用常規(guī)思維遭阻，到了“不憤不啟”的狀態(tài)時(shí)，適時(shí)介入，引導(dǎo)學(xué)生跳出“桎梏”，從全局的高度審視長(zhǎng)方形周長(zhǎng)概念和計(jì)算公式，淡化先入為主的程式化步驟，把長(zhǎng)寬之和作為一個(gè)整體考量，打開了一扇探究的新窗戶。當(dāng)學(xué)生以此作為尺度進(jìn)行度量時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)意外的精彩。長(zhǎng)寬之和在學(xué)生心目中不僅是運(yùn)算過程，更是一種結(jié)構(gòu)化的對(duì)象和工具。超越于公式，回到概念本質(zhì)上去整體把握問題，更有利于學(xué)生活化思維，形成新的問題策略。正如整體原理所說：不僅要發(fā)揮各部分的功能，更要發(fā)揮相互聯(lián)系的各部分所組成的結(jié)構(gòu)的功能。事實(shí)上，今后學(xué)生在解決“已知以圓的半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積，求該圓的面積”等這樣的問題時(shí)，這樣的整體思維能夠幫助學(xué)生打破常規(guī)思維，著眼于圓面積與正方形面積之間的關(guān)系，尋找到簡(jiǎn)明的問題解決方案。

我們需要模式，但千萬不能模式化，否則學(xué)生容易墜入僵化的局部思維方式。這就要求教師切不可機(jī)械訓(xùn)練公式的運(yùn)用，而應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地呈現(xiàn)諸如只提供長(zhǎng)寬之和求周長(zhǎng)，只提供上下底之和、高求面積，只提供速度和與時(shí)間求路程等這樣的問題，促使學(xué)生回到本原去思考解決問題的最根本的要素，從而形成一種整體著眼，抓住問題本質(zhì)的思維策略。長(zhǎng)此以往，學(xué)生面對(duì)新問題時(shí)，就不會(huì)輕易投入精力立即去進(jìn)行演算，而是能鳥瞰全局，整體把握問題的本質(zhì)要素，尋找可能的解決路徑，并對(duì)自身解決問題過程進(jìn)行有效的監(jiān)控和調(diào)適，避免鉆進(jìn)思維的“死胡同”。更為長(zhǎng)遠(yuǎn)地看，學(xué)生將來面對(duì)更為錯(cuò)綜復(fù)雜的問題時(shí)，能善于進(jìn)行系統(tǒng)考察，把握問題的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，整體規(guī)劃解決問題的方案。

目標(biāo)境界之三：研究全面，理清脈絡(luò)，周密思考

善于對(duì)問題從多方面進(jìn)行整體研究，是整體意識(shí)較高層次的反映。設(shè)計(jì)良好的開放性問題，對(duì)于發(fā)展學(xué)生多角度思考問題、形成周密全面思考的高層次思維品質(zhì)有著不可替代的作用。

【案例3】

一次復(fù)習(xí)三角形的活動(dòng)課上，教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題：有一個(gè)三角形，小東發(fā)現(xiàn)一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的2倍，小明發(fā)現(xiàn)有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的3倍。這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角各是多少度？

相當(dāng)一部分同學(xué)大有“太小瞧我”的意思，不假思索地說：“三個(gè)角度數(shù)的比就是3∶2∶1，所以三個(gè)內(nèi)角分別是90°、60°、30°?！闭f完后頗有“大功告成”之得意。教師卻不置可否：“哦？?jī)H僅是這樣嗎？”同學(xué)們驚訝地瞪大眼睛，再次審視問題。李昕首先匯報(bào)她的發(fā)現(xiàn)：“小東觀察的角度和小明可能不同?！苯處煱选扒颉碧呓o學(xué)生：“誰理解她的想法？”同學(xué)們恍然大悟般地“哦”起來。潘瞳迫不及待地站起來說：“小東和小明在比較時(shí)，可能不是跟同一角比的?！卑茬餮a(bǔ)充道：“也就是比較的標(biāo)準(zhǔn)可能不一樣?！苯處煾F追不舍：“這樣看來，可能有哪些情形呢？”同學(xué)們?cè)诩埳险J(rèn)真對(duì)各種情形進(jìn)行分類考慮。小組討論后，進(jìn)行了匯報(bào)。

子杰走到黑板前有條不紊地邊寫邊講述起來：“我把最大的角稱為∠1，中等大小的角稱為∠2，最小的角稱為∠3。如果小東是以∠3為標(biāo)準(zhǔn)，小明卻是以∠2為標(biāo)準(zhǔn)，那么，三個(gè)角度數(shù)的比就是6∶2∶1。還有一種可能是小東以∠2為標(biāo)準(zhǔn)，而小明卻是以∠3為標(biāo)準(zhǔn)，這時(shí)，三個(gè)角度數(shù)的比就是6∶3∶1?！本实姆治鲒A得了全班同學(xué)的掌聲。而教師不滿足于此，要求學(xué)生們根據(jù)比較的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，將思考的過程有條理地整理出來。

于是，教師看到如下的分類整理：

1.都以∠3為標(biāo)準(zhǔn)，三個(gè)角度數(shù)比是3∶2∶1。

2.小東以∠3為標(biāo)準(zhǔn)，小明以∠2為標(biāo)準(zhǔn)，三個(gè)角度數(shù)比是6∶2∶1。

3.小東以∠2為標(biāo)準(zhǔn)，小明以∠3為標(biāo)準(zhǔn)，三個(gè)角度數(shù)比是6∶3∶1。

【思考】

分類是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)問題解決的突破往往都是從確定分類標(biāo)準(zhǔn)，合理進(jìn)行分類開始的。在解決問題時(shí)，不過早地投入到具體的解決問題步驟和算法中，而首先從整體上對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類標(biāo)準(zhǔn)的思考，再進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類進(jìn)行分別討論，從而求得對(duì)問題的完整解決，對(duì)于學(xué)生來說是一種非常重要的系統(tǒng)思維策略。分類討論的意識(shí)從小學(xué)開始就要培養(yǎng)。分類討論可將條件與結(jié)論的因果關(guān)系，局部與整體的邏輯關(guān)系揭示得更加準(zhǔn)確、清楚。有人可能認(rèn)為設(shè)計(jì)這樣的問題對(duì)小學(xué)生有點(diǎn)勉為其難。然而，筆者認(rèn)為這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生全面考察問題，形成嚴(yán)密思考問題的習(xí)慣大有裨益。上述問題情境中，有關(guān)小東和小明的發(fā)現(xiàn)表達(dá)的一致性，使學(xué)生容易從字面上誤認(rèn)為兩個(gè)所指的“另一個(gè)角”即同一個(gè)角，從而造成“丟解”。抓住這樣的契機(jī)往往就是發(fā)展學(xué)生整體意識(shí)的關(guān)鍵。學(xué)生并非沒有發(fā)現(xiàn)的潛力，因此，教師的作用不是直白地“告訴”（這種告訴對(duì)學(xué)生的發(fā)展來說甚至是“蒼白”的），而在于點(diǎn)撥，讓學(xué)生意識(shí)到自己考慮問題欠全面，從而重新認(rèn)識(shí)問題，考察其他可能的情形。注意到觀察主體變換的學(xué)生，開始對(duì)“另一個(gè)角”的指向性產(chǎn)生懷疑，因而也就有了關(guān)于比較標(biāo)準(zhǔn)所有可能情形的討論，最終把握住分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到有序地考慮問題，避免了答案的重復(fù)和遺漏。學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)經(jīng)歷了從平衡到不平衡再到平衡的螺旋上升的過程，對(duì)分類研究的方法有了更深刻的體驗(yàn)。

實(shí)踐中，筆者多次設(shè)計(jì)有價(jià)值的開放性問題并合理運(yùn)用，如，“租車方案”、“購票中的學(xué)問”、“設(shè)計(jì)包裝盒”等數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。多樣化的開放性活動(dòng)讓學(xué)生有了積極投入到探究問題中的熱情，感悟到的是新穎而富有挑戰(zhàn)性。學(xué)生們?cè)诨顒?dòng)中常常通過觀察、猜測(cè)、假設(shè)、嘗試、類比、特殊化、一般化等途徑去尋找答案，全面觀察，廣泛聯(lián)想，多角度、多層次思考等思維方式從整體上得以優(yōu)化，深刻性、靈活性、敏捷性、批判性、創(chuàng)造性等思維品質(zhì)不斷提升，不斷體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的理解也不斷加深。作為教師，有意識(shí)地開發(fā)這樣的開放性問題，并引導(dǎo)學(xué)生探索和自我開發(fā)，能夠促進(jìn)學(xué)生整體意識(shí)的不斷發(fā)展，這樣形成的元認(rèn)知能力和態(tài)度的發(fā)展將會(huì)對(duì)學(xué)生的思維方式、生活方式甚至生存方式形成質(zhì)的影響，促進(jìn)其素養(yǎng)的整體提升，進(jìn)而促進(jìn)人的和諧發(fā)展。

責(zé)任編輯：石萍