[摘 要] 讓學(xué)生學(xué)得輕松，作為教師，就要講究策略. 若能告訴學(xué)生一類(lèi)問(wèn)題的解法通則，則是解題教學(xué)的一種策略. 本文以幾何證明題中添輔助圖為例，加以闡述.

[關(guān)鍵詞] 輔助圓；構(gòu)造法；三角形；線(xiàn)段如何減輕學(xué)生過(guò)重學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，促使學(xué)生全面發(fā)展是擺在學(xué)科教師面前的一個(gè)重要話(huà)題. 要讓學(xué)生學(xué)得輕松，作為教師就要講究教學(xué)策略，使學(xué)生在課堂上易懂、易學(xué)，從而愛(ài)學(xué)、樂(lè)學(xué)，這在解題教學(xué)中更顯重要. 若能告訴學(xué)生一類(lèi)問(wèn)題的解法通則，就是解題教學(xué)的一種策略. 下面以幾何證明題中添輔助圓為例，加以闡述.

初中數(shù)學(xué)中有些問(wèn)題看似與圓無(wú)關(guān)，但如果我們根據(jù)題目中的已知條件構(gòu)造輔助圓，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，往往能起到化隱為顯、化難為易、化繁為簡(jiǎn)的解題效果. 那么，何時(shí)構(gòu)造合適的“輔助圓”，使得解題舉重若輕，柳暗花明呢？

當(dāng)需確定等腰三角形或直角個(gè)數(shù)時(shí)

例1 （2013昆明）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有________個(gè).

解析：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，因?yàn)镺，A兩點(diǎn)固定不動(dòng)，相當(dāng)于已知等腰三角形一邊OA，OA既可作底，又可作腰，因?yàn)榈妊切沃杏袃蛇呄嗟?，所以我們可以利用同圓中半徑相等這一性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造圓來(lái)解決.此題應(yīng)分三種情況考慮：

①當(dāng)OA為腰、∠AOP為頂角時(shí)，可以以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑作圓，交y軸于P1，P3點(diǎn)， 交x軸于P2，P4點(diǎn)；

②當(dāng)OA為腰、∠OAP為頂角時(shí)，可以以點(diǎn)A為圓心、OA為半徑作圓，交y軸于P5點(diǎn)，交x軸于P6點(diǎn)；

③當(dāng)OA為底時(shí)，作OA的中垂線(xiàn)交y軸于P7點(diǎn)，交x軸于P8點(diǎn)；

綜上，符合條件的點(diǎn)P共有8個(gè).

例2 （2006陜西）如圖2，矩形ABCG（AB

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

[D][A][B][C][P][G][F][E][圖2]

解析：要使∠APE=90°，則可以構(gòu)造以AE為直徑的圓，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，如果此圓與線(xiàn)段BD有幾個(gè)交點(diǎn)，則使∠APE為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)就有幾個(gè)，通過(guò)作圖（如圖3所示）可知，以AE為直徑的圓O與BD有兩個(gè)交點(diǎn)，所以使∠APE為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是2.

[D][A][B][C][G][F][E][O]

例3 （2014南寧）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=x2+（k-1）x-k與直線(xiàn)y=kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè). 拋物線(xiàn)y=x2+（k-1）x-k（k>0）與x軸交于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線(xiàn)y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

[D][A][B][C][x][Q][y][O]

解析：本題有多種解法，但若能領(lǐng)悟到“存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°”的含義即以O(shè)C為直徑的圓與直線(xiàn)AB相切于點(diǎn)Q，從而構(gòu)造“輔助圓”，不失為一種好的解題方法.

當(dāng)出現(xiàn)有公共端點(diǎn)且長(zhǎng)度相等的線(xiàn)段時(shí)

例4 （2008濟(jì)寧）如圖6，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，則∠CBD=____度.

[D][A][B][C]

解析：根據(jù)圓的定義：到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合. 本題中已知AB=AC=AD，即點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)A的距離相等，容易想到構(gòu)造以A為圓心，AB為半徑的圓（如圖7），則B，C，D都在☉A上，所以∠CAD是弧CD所對(duì)的圓心角，∠CBD是弧CD所對(duì)的圓周角，所以∠CBD=∠CAD=38°.

[D][A][B][C]

例5 如圖8，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=AC=AD=2.5，CD=3，求BD的長(zhǎng).

[D][A][B][C]

解析：由條件AB=AC=AD=2.5，想到構(gòu)造以A為圓心，AB為半徑的圓，則點(diǎn)C，D均在☉A上（如圖9），延長(zhǎng)DA交☉A于點(diǎn)E，連結(jié)BE，由AD∥BC可以推得BE=CD=3，在Rt△BDE中，BE=3， DE=5，由勾股定理可得BD=4.

[D][A][B][C][E]

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線(xiàn)段所張的角為定值時(shí)

例6 （2014陜西）（1）如圖10，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn).當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使得∠EQF=90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)；

[E][A][B][C][D][F]

（2）有一山莊，它的平面圖為如圖11所示的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線(xiàn)段CD上選一點(diǎn)M安監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)視邊AB.現(xiàn)只要使∠AMB約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270 m，AE=400 m，ED=285 m，CD=340 m. 問(wèn)在線(xiàn)段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

[E][A][B][C][D]

解析：（1）由條件“當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF=90°”，動(dòng)點(diǎn)Q對(duì)定線(xiàn)段EF所張的角為直角，由“直徑所對(duì)的圓周角是直角”想到構(gòu)造以EF為直徑的☉O.

如圖12，以EF為直徑作☉O，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BC，垂足為Q，連結(jié)EQ，F(xiàn)Q，易證OQ=OE=3，從而☉O與BC相切，符合條件的點(diǎn)Q唯一，再過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G. 所以EG=3，所以四邊形OEGQ是正方形.

[E][A][B][C][D][F][G][Q][O]

在Rt△EBG中，∠B=60°，EG=3， 所以BG=，所以BQ=GQ+BG=3+.

（2）要滿(mǎn)足動(dòng)點(diǎn)M對(duì)定線(xiàn)段AB所張的角∠AMB=60°，由此聯(lián)想到“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”，于是先構(gòu)造以AB為底邊，頂角為120°的等腰三角形OAB，再以點(diǎn)O為圓心，AB為半徑作圓O，若該圓與線(xiàn)段CD有交點(diǎn)M，則∠AMB=60°.

如圖13，先判斷☉O與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系，作OH⊥CD于點(diǎn)O，OP⊥AB于點(diǎn)P， 則AP=AB=135. 在Rt△OAP中，∠OAP=30°，則☉O的半徑OA=90，OH=DE-AP=150<90，所以☉O與直線(xiàn)CD相交，現(xiàn)要考查☉O與線(xiàn)段CD是否有交點(diǎn)，且交點(diǎn)有幾個(gè).設(shè)☉O與直線(xiàn)CD的交點(diǎn)為M，則在若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，則DM=DH+HM=400-45+30>CD，此時(shí)點(diǎn)M不在線(xiàn)段CD上，

綜上所述，在線(xiàn)段CD上存在唯一的點(diǎn)M，使∠AMB=60°，此時(shí)DM的長(zhǎng)為（400-45-30）米.

例7 （2013呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），B（-6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_________.

解析：要滿(mǎn)足動(dòng)點(diǎn)C對(duì)定線(xiàn)段AB所張的角∠ACB=45°，根據(jù)“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”，想到構(gòu)造以AB為斜邊的等腰直角三角形PAB，以P為圓心，PA為圓心作☉P，則該圓與y軸的交點(diǎn)就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn).

本題根據(jù)點(diǎn)C的位置可分兩種情況：

綜上，細(xì)心觀(guān)察題目所給出的條件及所要解決的問(wèn)題，若能與圓結(jié)緣，構(gòu)造一個(gè)輔助圓，以它為載體，去重新認(rèn)識(shí)題中所給出的角、線(xiàn)段、三角形等基本圖形，再結(jié)合圓的一些特有性質(zhì)，去分析和探討問(wèn)題，往往能使我們柳暗花明，豁然開(kāi)朗. 當(dāng)然，能構(gòu)造“輔助圓”情況遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止文中所給出的三種，只要我們多觀(guān)察，多思考，多探究，數(shù)學(xué)解題就會(huì)變得充滿(mǎn)活力和樂(lè)趣，使學(xué)生愛(ài)學(xué)，樂(lè)學(xué)數(shù)學(xué)，從而使得“減負(fù)提質(zhì)”真正落到實(shí)處.