[摘 要] 初中數學教師應用HPM教學方法引導學生學習，實則是為了讓學生深入地理解某一個重要的數學知識以后，能夠讓學生由這個數學知識為核心，自主地學習與之相關的其他數學知識.本次研究將以勾股定理為例，說明HPM視角下初中數學教學設計的方法.

[關鍵詞] 數學史；勾股定理；教學設計HPM即History and Pedagogy of Mathematics，用HPM視角引導學生學習數學，即將數學史引進到教學當中，讓學生以歷史的角度看待一個數學問題的提出、數學問題的演變、數學問題的應用等. 數學教師如果應用這種方法引導學生學習知識，學生將能深入地理解到探索數學知識的重要意義、人們拓展數學知識系統的整個過程、人們逐步完善數學知識系統的方法. 如果教師能夠引導學生以HPM的視角縱向了解某個數學知識，學生將會以該數學知識為中心，形成一套完善的數學知識系統. 本次研究將會以初中數學勾股定理的教學設計來說明HPM視角在數學教學中的應用方法.

結合歷史，讓學生探究勾股定理的概念

勾股定理，是一個直角三角形的平方和等于斜邊平方的數學定理. 從幾何的角度來說，它是幾何知識的一個重要基礎，從函數的角度來看，它是余弦定理的一個特例. 數學教師如果能在勾股定理這一章節(jié)為學生打下良好的數學基礎，學生就能夠打好學習幾何知識與函數知識的基礎.

如果數學教師僅僅讓學生單純地理解勾股定理這一概念，學生將只能理解“勾三股四弦五”這一條文字概念，教師要學生真正地理解這一條數學概念背后隱藏著各種數學知識，就需要讓學生從數學史的角度去了解勾股定理的知識. HPM視角下的數學教學實際上就是讓學生從宏觀的角度去了解古人是如何摸索出這一條定理、研究這一條定理、應用這一條定理的.

以一名教師引導學生深入的理解勾股定理為例，教師可讓學生看到歐幾里德、鄭爽等人的定理證明方法，然后引導學生思考，為什么前人已經證明過這條數學定理以后，后人還要繼續(xù)探索新的求證方法呢？學生經過思考能夠理解到，在學習數學的過程中不能盲從前人說過的話，而要自己探索、自己思考，直到探索出數學知識的奧秘. 這時教師可引導學生用一套全新的方法證明勾股定理. 有一名學生的證明方法如下：

參看圖1，在直角△ABC斜邊上繪制正方形ABDE，延長CB，從E點作CB延長線的垂直線EG，兩線的焦點為G. 從D繪制CB的垂直線，它相交于CB延長線的K點. 以A點繪制EG的垂直線，它的交點為F. 以D點繪制EG的垂直線，它的交點為.

從圖1繪制的過程可看到△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.

如果將五邊形ACKDE的面積視為S，可得S=SABED+2S△ABC；（公式1）

同時可得S=SACGF+SHGKD+2S△ABC；（公式2）

由公式1、公式2可得c2+2×ab=b2+a2+2×ab；

由此可得c2=a2+b2.

教師引導學生從HPM的視角看待數學知識，并不是單純地為了讓學生了解數學的歷史，而是要讓學生從歷史的角度了解到前人不懈的探索數學知識的精神、古人追尋數學真理的態(tài)度. 當學生了解到這一點后，學生就能了解到自己學習數學知識的目的不是為了記住一個數學概念、數學定理，而是要用自己的頭腦去思考數學的問題、用自己的實踐去驗證數學的知識、用自己的視角去開辟數學的新天地.

數學教師應用HPM視角引導學生學習時，不能僅僅著眼于讓學生去學習數學歷史，而要從引導學生了解數學概念產生、演變、應用出發(fā)，讓學生從中理解到追尋科學、追尋真理的精神，學生只有擁有這種科學探索的精神，才能學好數學知識.

巧設習題，讓學生感受勾股定理的變化

如果以HPM的視角來看，人們全面地了解一個數學知識需要漫長的時間，在探索數學知識的過程中，人們發(fā)現了一個數學概念就會去積極探究這個數學知識，然后人們會逐漸完善數學知識、拓展數學知識. 以勾股定理為例，“勾三股四弦五”只是勾股定理的基本描述，以后人們在了解這條定理的基礎上發(fā)現了“兩條邊的平方和等于斜邊的平方和”這一個規(guī)律. 教師如果在教學的時候能讓學生去探索勾股定理拓展的過程，學生將能領略到數學知識變化的奧妙，他們的學習興趣會被激發(fā)，他們在探索的過程中會初步地形成一個數學知識系統.

以教師引導學生看兩個習題為例：

習題1：參看圖2，AM是△ABC中BC邊的中線，求證：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.

[A][B][C][D][M]

一名學生的求證方法如下：

從A點繪制BC邊的垂直線，交點為D，由c2=a2+b2可得AB2=AM2+BM2+2BM·MD；（公式3）

由此可推知，在△ACM中，AC2=AM2+MC2+2MC·MD；（公式4）

AM是△ABC中BC邊的中線，可得MB=MC；

由公式3與公式4可得AB2+AC2=2（AM2+BM2）.

學生從這個證明的過程中能推知三角形的中線長公式，他認為假設△ABC的邊長分別為a，b，c，它們對應的中線長為ma，mb，mc，那么中線長的公式為：

ma=，

mb=，

mc=.

當學生能夠從勾股定理推知三角形的中線長規(guī)律時，學生就能感受到數學知識蘊藏很多變化.

此時教師可引導學生再做習題2：

求證：四邊形四條邊的平方和為對角線的平方和與對角線中連線平方之4倍.

由于學生有習題1作為基礎，他們可以較為輕松地找到求證的方法，這名學生的求證過程如下：

參看圖3，四邊形ABCD的對角線分別為AC，BD，由三角形中線長的定律，可得BQ2+DQ2=2PQ2+2·2

2=2PQ2+；

將之簡化可得2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2；（公式5）

[A][B][C][D][O][P][Q]

圖3

結合習題1中證明的三角形中線長公式，可得

BQ2=（2AB2+2BC2-AC2）；（公式6）

DQ2=（2AD2+2DC2-AC2）；（公式7）

將公式6和公式7代入公式5中，可得（2AB2+2BC2-AC2）+（2AD2+2DC2-AC2）=4PQ2+BD2，于是AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.

學生在做習題2的時候，能從三角形中線長公式中研究出一種新變化.

從教師引導學生從勾股定理開始，教師可讓學生探索三角形中線長的公式，再引導學生靈活應用三角形中線長的公式，在這個學習過程里學生能了解到數學知識的變化、感受到數學知識的樂趣. 當學生能夠從勾股定理中拓展出新的數學知識時，他們將能感受到數學知識系統形成的脈絡.

數學教師應用HPM的方式引導學生學習數學的時候，可以從數學史的角度給學生布置習題，學生在體驗數學知識演變的過程中能初步形成數學知識系統，這是他們完善數學知識系統的基礎.

結合實踐，讓學生理解勾股定理的系統

當教師從HPM的角度引導學生感受到數學知識系統的脈絡以后，教師可引導學生嘗識系統地總結數學知識，學生在總結數學知識以后，將能從HPM的角度看到數學知識系統的形成，這個數學知識系統將成為學生深入地學習與之相關數學知識的基礎.

以教師引導學生學習勾股定理為例，教師在讓學生以HPM的角度縱向地了解到勾股定理以后，引導學生系統地總結勾股定理的描述，有一名學生的描述如表1：

表1為學生總結的勾股定理的知識系統，學生完整地總結出這個知識系統以后，就可以應用這套知識解決與之相關的數學知識，從而拓展出新的數學系統.

以學生學習勾股定理為例子，教師以HPM視角引導學生學習數學知識，學生就能夠以該知識為基礎，學習與之相關的其他數學知識，比如學生可以進一步探索勾股定理的逆定理、直角三角性的性質以及判定、直角三角形的邊與角之間的關系等幾個方面的知識，從而學生的數學知識系統將能層次分明、聯系緊密，學生如果能熟知數學知識與數學知識之間的內在聯系，他們以后就可靈活地應用這些知識解決數學問題.

本次研究以勾股定理的教學案例為參考，說明了HPM視角的教學設計方法.初中數學教師應用HPM視角引導學生學習時，要引導學生深入地理解數學知識、引導學生探索數學知識的變化、引導學生系統地學習數學知識.初中數學教師應用這種教學方法引導學生學習，實則是為了讓學生深入地理解某一個重要的數學知識以后，能夠讓學生由這個數學知識為核心自主地學習與之相關的其他數學知識，在這個過程中，教師能夠培養(yǎng)出學生探索科學知識的精神、激發(fā)學生學習數學的習趣、提高學生認識事物的能力.